cosα1 =ax/a= –sinωt = – x/R,

cosβ1 = ay/a = –cosωt = –y/R, cosγ1 = az/a =0.

С другой стороны,

x/R = cosα, y/R = cosβ,

где α, β – углы, образованные R с осями х, у соответственно. Но это означает, что ускорение направлено вдоль радиуса к оси цилиндра.

2.1.6 Оси естественного трехгранника. Числовые значения скорости. Касательное и нормальное ускорение точки

Понятие осей естественного трехгранника используется, когда закон движения задан естественным, или траекторным, способом.

В этом случае проекции скорости и ускорения строятся в осяхMτnb, движущихся вместе с точкой М. Оси этого так называемого естественного трехгранника направлены следующим образом:

• ось τ направлена по касательной к траектории в сторону положительных значений s;

• ось n направлена по нормали к траектории, расположенной в соприкасающейся плоскости и направленной в сторону вогнутости траектории;

• ось b направлена по нормали к τ и n таким образом, чтобы в итоге система осей была правой.

n носит название главной нормали, b – бинормали.

В этих осях скорость точки определяется только одной проекцией на ось τ, причем vτ = ± v , т.е. проекция скорости может отличаться только

Знак v совпадает со знаком ds, т.е. при движении в положительном направлении s будет v > 0.

Вектор ускорения а всегда находится в соприкасающейся плоскости Mτn. Следовательно, проекция этого вектора на ось b всегда равна нулю. Остается определить две другие проекции. Обозначим проекции вектора dv на оси τ и n соответственно через dvτ и dvn; тогда

aτ = dvdtτ ,an = dvdtn .

Модуль вектора dvn (рисунок 2.7):

52

dvn = vdϕ, dϕ – угол смежности.

Отношение dϕ/ds определяет так называемую кривизну траектории dϕ/ds = k = 1/ρ,

где ρ – радиус кривизны. Тогда

ds vdvn M d

d

Рисунок 2.7 – Определение кривизны траектории

Если траектория – плоская кривая, то можно ввести понятие угловой скорости ω = dϕ/dt, тогда an = v ω – нормальное ускорение равно произведению скорости точки на угловую скорость поворота касательной к траектории.

Полное ускорение точки

2.1.7Частные случаи движения точки

1.Прямолинейное движение

В этом случае радиус кривизны траектории равен бесконечности и

ρ=∞, аn = 0 и а = аτ = dv/dt.

Направление движения не меняется, т.к. касательное (оно же и полное) ускорение характеризует изменение только числового значения скорости.

53

2. Равномерное криволинейное движение

В случае равномерного криволинейного движения скорость по величине не изменяется. В силу криволинейности траектории в этом случае скорость меняет только направление

v = const, aτ = 0.

Ускорение

аn n = v2/ρ,

причем вектор ускорения аn направлен по нормали к траектории. Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению.

Закон равномерного криволинейного движения следует из равенства

∫s ds = ∫t vdt,

s0 0

что дает

s = s0+vt. Если s0 = 0, то s= vt, v = s/t.

3.Равномерное прямолинейное движение

Вэтом случае an = aτ = 0. Это означает, что при равномерном прямолинейном движении (и ни в каких других случаях!) ускорение точки равно нулю.

4.Равнопеременное криволинейное движение

Движение называется равнопеременным, если аτ = const. В этом случае

v = v0 + aτt, s = s0 + v0t + aτt2/2.

Сопоставляя направления векторов a и v, можно ввести понятия ускоренного (угол между a и v острый) и замедленного (угол между a и v тупой) движения. Если скорость и ускорение имеют одинаковые знаки, то движение равноускоренное, если разные– равнозамедленное.

5. Гармонические колебания

Движение представляет собой простые гармонические колебания, если оно подчиняется уравнению

x = A coskt,

где A, k – постоянные величины, А – амплитуда колебаний.

Т.к. функция косинус периодическая с периодом 2π, то Т = =2π/k – период колебаний. Скорость и ускорение определяются из закона движения однократным и двойным дифференцированием по времени соответственно:

54

Таким образом, при гармонических колебаниях все характеристики движения – координата, скорость и ускорение– меняются по гармоническому закону.

Все полученные выше результаты остаются в силе, если закон колебаний задать в виде

x = A sin kt,

только знаки у скорости и ускорения после дифференцирования могут быть другими.

Гармоническое движение (колебания) и все его закономерности могут быть справедливы при криволинейном движении, только вместо координаты х вводится величина s, отсчитываемая вдоль траектории:

s = A cos kt.

В этом случае имеется касательное ускорение, направленное по касательной к траектории, а нормальная составляющая ускорения определяется как

an = v2 / ρ.

2.1.8 Графики движения, скорости и ускорения точки

Если в декартовых координатах по оси абсцисс откладывать время, а по оси ординат – расстояние s, то графиком движения точки будет кривая s = f (t).

Совершенно аналогично строятся графики скорости v(t) и ускорения

полного a(t), касательного aτ(t) и нормального an(t). На рисунке 2.8 приведены зависимости положения точки (s), скорости (v) и ускорения (а) от времени t для трех разных законов движения – равномерного (рисунок 2.8, а), равнопеременного (рисунок 2.8, б) и гармонического (рисунок 2.8,

в).

55