Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая математика. Дифференциальное исчисление-1.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

1.08 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 4025 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

3.8 Непрерывность функции

115

3.7.17 Выделите главную часть вида γ(x) =

следующих бесконечно

больших при x → x0:

(x − x0)

а) ϕ1(x) =

(√

− 3)(x3 − 1)

, x0 = 1;

8 +xx

б) ϕ2(x) =

, x0 = 2;

[ln(x − 1)]4

в) ϕ3(x) =

tg(x2 − 16)

, x0 = 4.

4)2 +

4 (x

4)5

Ответы:

а)

−

p; б) −

; в)

2)4

(x − 4)1/4

(x − 1)2

(x −

3.7.18 Выделите главную часть вида γ(x) = Cxr следующих бесконечно больших

при x → ∞:

x4 + 2x + 1

а) ϕ1(x) = 1 + x2

+ 3x√x5 + 1; б) ϕ2

(x) =

5x2 + 2

Ответы: а)3x9/4;

б)(1/5)x2.

3.7.19 Докажите, что функция: а) f (x, y) =

x6 + y6

x2 + y2

является бесконечно малой при (x, y) → (0,0);

→

б) f (t) = t2 +

является бесконечно малой при t

t− 2

ибесконечно большой при t → 2.

3.8Непрерывность функции. Классификация разрывов функции

Рекомендуется изучить п. 1.6.

Задача характеристики точек разрыва сводится к отысканию односторонних пределов или доказательству, что хотя бы один из них не существует.

3.8.1 Охарактеризуйте точку x = 2 для функции f (x) =

x2 − 4

|x − 2|

Решение. Данная

функция

имеет

область определения (−∞, 2)

(2, +∞). Точка x0 = 2 является предельной

для

области

определения, в са-

мой точке x0 = 2 функция не определена.

Вычисляем односторонние пределы:

f (2 + 0) = lim

x2 − 4

lim

(x − 2)(x + 2)

= 4,

x→2+0 |x − 2|

x→2+0

x − 2

поскольку при x > 2 величина |x − 2| = x − 2;

f (2 0) =

lim

x2 − 4

lim

(x − 2)(x + 2)

= 4,

−

→

−

→

−

так как если x < 2, то |x − 2| = −(x − 2).

Как видим, существуют конечные правый и левый пределы, не равные между собой. Поэтому точка x0 = 2 является точкой разрыва первого рода.

116		3. Методические указания

		√
3.8.2 Охарактеризуйте точку x0 = 0 функции	f (x) =	1 − cos 2x		.
			x

Решение. Точка x = 0 является предельной для области определения f (x). На-

ходим

√

f (0 + 0) = lim

1 − cos 2x

= lim

2 sin

= lim

2|sin x|

√x→0+0

= √

x→0+0

= lim

sin x

x→0+0 x

Заметим, что |sin x| = sin x, если 0 < x < (π/2);

√

f (0

0) =

lim

1 − cos 2x

lim

− 2 sin x

−

→

так как |sin x| = −sin x, если −π/2 < x < 0. Поскольку f (0 + 0) и f (0 − 0) существуют и конечны, но f (0 + 0) 6=f (0 − 0), то точка x0 = 0 является точкой разрыва первого рода.

3.8.3 Охарактеризуйте точку x0 = 1 для функции

Решение.

							1		= lim 2t
f (1	−	0) =		lim			2			= 0
								x−1
				x→1−0					t→−∞
(сделали замену				1		= t, когда x → 1 − 0, t → −∞);
			x	−	1
							1		= lim 2t	= +∞
f (1	+ 0) =			lim			2	x−1
				x→1+0					t→+∞

(та же замена, но при x → 1 + 0, t → +∞).

f (x) = 2 x−1 .

Так как один из односторонних пределов обращается в ∞, то точка x0 = 0 — точка разрыва второго рода.

Если в точке x0 функция определена, то вводят понятие односторонней непрерывности. Если окажется f (x0 − 0) = f (x0), то функцию называют непрерывной в точке x0 слева, если же f (x0 + 0) = f (x0), то функцию называют непрерывной

, если x

=1,

x−1

в точке x0 справа. Например, функция ϕ(x) =

если x =61

непрерывна в

точке x0 = 1 слева, но разрывна справа.

3.8.4 Охарактеризуйте точку x0 = 1 для функции

f (x) =

x + 2

если

x ≤ 1,

x2 − 4

x + 4

если

x2 − 16 ,

→

Решение. Находим односторонние пределы при x

lim

f x

lim

x + 2

−3 = −

− 0) = x→1−0

(

) = x→1 x2 − 4

lim

x + 4

−15 = −

3 .

(1 + 0) = x→1+0

(

) = x→1 x2 − 16

Так как левый и правый пределы существуют, конечны, но неравны, то точка x0 = 1 является точкой разрыва первого рода.

3.8 Непрерывность функции	117

3.8.5 Найдите все точки разрыва и охарактеризуйте их для следующих функ-

ций:

tg x

при

x ≤ 0,

x2 − 4

ex − e4

f1(x) =

; f2

(x) =

x2 − 16

2)2

при

sin(x

−

деления двух непрерывных функций может

Решение. Заметим, что частное от

иметь разрыв только в тех точках, в которых знаменатель обращается в нуль. Та-

кими точками для функции f1(x) являются x1 = 0,

x2 = 2 и x3 = 4. Исследуем эти

точки.

−

1(0 ± 0) = x→0±0 x x

− 4

∞

lim

−

следовательно, в точке x1 = 0 разрыв второго рода;

(2 + 0) =

lim

(x − 2)(x + 2)

ex − e4

= 2 +

e2 − e4

x→2+0

x(x − 2)

x − 4

−2

так как |x − 2| = (x − 2) при x > 2;

−

0) = lim

(x − 2)(x + 2)

ex − e4

−

2 +

e2 − e4

x→2−0 −

x(x − 2)

x − 4

−2

так как |x − 2| = −(x − 2) при x < 2. Поскольку

f1(2 + 0) 6=f1(2 − 0), то в точке

x2 = 2 разрыв первого рода;

0) = lim

(x2

e4(ex−4 − 1)

+ e4,

−

x→4±0 x

−

следовательно, в точке x3 = 4 устранимый разрыв.

Для функции f2(x) только в точках x1 = −4,

x2 = 0, x3 = 1, x4 = 3 возможен

разрыв. Исследуем эти точки.

2(−4 ± 0) = x→−4±0 x2 − 16 = ,

lim

tg x

∞

следовательно, в точке x1 = −4 разрыв второго рода;

2(0 − 0) = x→0−0 x2 − 16

= 0,

lim

tg x

(0 + 0) = lim

sin(x − 3)

−

sin 3

x→0+0 x2 − 4x + 3

т.е. в точке x2 = 0 разрыв первого рода;

0) =

lim

sin(x − 3)

= ∞,

−

1)(x

−

→

в точке x3 = 1 также разрыв второго рода;

0) =

lim

sin(x − 3)

−

1)(x

−

→ ±

следовательно, в точке x4 = 3 имеем устранимый разрыв.

118	3. Методические указания

Задачи для самостоятельного решения

3.8.6 Исходя из определения, докажите непрерывность следующих функций: а) f (x) = x2 + 3x + 1 при любом x; б) f (x) = x3 при любом x.

3.8.7 Используя теоремы о непрерывности суммы, произведения и частного, докажите непрерывность при любом x следующих функций:

sin x + arctg 2x

cos x + x2

а) f1(x) =

; б) f2(x) =

x2 + 1

2x + 4

3.8.8 Охарактеризуйте указанную точку x0 для функций:

а) f (x) =

arcsin(x − 1)

x0 = 1; б) f (x) =

arcsin(x − 1)

, x0 = 1;

|x2 − 1|

x2 − 1

в) f (x) =

arcsin

x − 1

, x0 = −1.

x2 − 1

Ответы:

а) 1-го рода;

б) устранимый;

в) 2-го рода.

3.8.9 Охарактеризуйте точку x0 = 0 для следующих функций:

(x) =

(

;

f2(x) =

если

x 6=0,

ln 1 + 3x)

ln(1 + 3x)

если

x = 0;

(x) =

, если

6=0,

ln(1 + 3x)

если

x = 0.

Ответы: а) и в) точка устранимого разрыва; б) точка непрерывности. 3.8.10 Найдите точки разрыва данных функций и охарактеризуйте их:

f1(x) = arctg	1	+	sin(4 − x2)	;	f2	(x) =	sin(x + 2)	+	tg x	.
	x2 − 4						\|x2 − 4\|
			x2 − 2x						5x

Ответы: а) x1 = −2 и x2 = 2 — точки разрыва первого рода, x3 = 0 — точка

разрыва второго рода;

б) x1 = −2 — точка разрыва первого рода; x2 = 0 — точка

устранимого разрыва; x3 = 2 — точка разрыва второго рода.

3.8.11 Найдите точки разрыва данных функций и охарактеризуйте их:

ln(x + 5)

а) f1(x) =

при

≤

б) f2(x) =

·x2 − 16

≤

− 4

при

x 0,

e − e

при

x > 0;

при

x > 0.

x2 −

x2 − 1

Ответы:

−

2 = 0

— разрыв первого рода,

а) x

— разрыв второго рода, x

x3 = 1 — устранимый разрыв;

б) x1 = −4 — устранимый разрыв, x2 = 0 — точка

непрерывности, x3 = 3 — разрыв второго рода.

3.8.12 Можно ли подобрать число A таким, чтобы функция

f (x) =

−

, если

x 6=0,

+ x2

√1

если

x = 0

была непрерывной в точке x = 0?

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 4025 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023330.07 Кб8Выпускная квалификационная работа.-7.pdf
#
05.02.2023457.43 Кб1Выпускная квалификационная работа..pdf
#
05.02.20231.41 Mб18Высшая математика I. Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии.pdf
#
05.02.20231.32 Mб11Высшая математика III. Функции комплексного переменного. Ряды. Интегральные преобразования.pdf
#
05.02.2023764.74 Кб10Высшая математика IV. Теория вероятностей.pdf
#
05.02.20231.08 Mб7Высшая математика. Дифференциальное исчисление-1.pdf
#
05.02.2023783.68 Кб7Высшая математика. Дифференциальное исчисление.pdf
#
05.02.20232.02 Mб7Вычислительная математика. Часть 2.pdf
#
05.02.20232.42 Mб6Вычислительная математика.-1.pdf
#
05.02.2023915.58 Кб4Вычислительная математика.-2.pdf
#
05.02.2023915.77 Кб4Вычислительная математика.-3.pdf