2.13 Основные теоремы дифференциального исчисления

В этом разделе, за исключением теоремы 7, изучаются скалярные функции одного аргумента.

Теорема 1. Пусть функция f имеет в точке x0 конечную производную f ′(x0). Если f ′(x0) > 0, то существует окрестность U (x0) точки x0 такая, что f (x) > f (x0)

для x U +(x0) и f (x) < f (x0) для всех x U −(x0). Если f ′(x0) < 0, то в соответствующих полуокрестностях выполнены противоположные неравенства.

Доказательство. По определению производной

и если f ′(x0) > 0, то по теореме 4 из п. 1.5.5 существует окрестность U (x0) такая, что

откуда и следует справедливость теоремы.

Определение. Точка x0 X называется точкой наибольшего (наименьшего) значения функции f (x) в области X , если для всех x X выполнено неравенство f (x) ≤ f (x0) ( f (x) ≥ f (x0)).

Теорема 2 (Ферма). Пусть функция f (x) определена на промежутке (a, b) и в точке c этого промежутка принимает наибольшее или наименьшее значения. Тогда, если существует f ′(c), то f ′(c) = 0.

Действительно, если предположить, что f ′(c) 6=0, например f ′(c) > 0, то из теоремы 1 следует справедливость неравенств f (x) < f (c) для всех x из U −(x0) и f (x) > f (c) для всех x из U +(x0). Это противоречит тому, что f (c) — наибольшее значение.

Теорема 3 (Ролля). Если:

1)f (x) определена и непрерывна на отрезке [a, b];

2)существует конечная производная f ′(x) на (a,b);

3)f (a) = f (b),

то существует такая точка c, a < c < b, что f ′(c) = 0.

Доказательство. Так как f (x) непрерывна на [a, b], то по второй теореме Вейерштрасса она принимает на [a, b] свои наибольшее M и наименьшее m значения.

1. M = m. Тогда f (x) = M для всех x [a, b] и f ′(x) = 0 на (a,b). В качестве c можно взять любую точку из (a,b).

2. M > m. Так как f (a) = f (b), то одно из этих значений достигается во внутренней точке c. По теореме 2 в этой точке f ′(c) = 0.

Теорема 4 (Лагранжа). Если:

1)f (x) определена и непрерывна на отрезке [a, b];

2)существует конечная производная f ′(x) на (a, b),

то найдется такая точка c, a < c < b, что

формула Лагранжа о конечных приращениях. Так как точка c лежит между x и x + x, то можно положить c = x + ΘΔx, где 0 ≤ Θ ≤ 1.

Теорема 5 (Коши). Если:

1)функции f (x) и g(x) определены и непрерывны на [a, b];

2)существуют конечные производные f ′(x) и g′(x) на (a,b);

3)g′(x) 6=0 для всех x (a, b),

то существует точка c (a, b) такая, что

Доказательство. Из теоремы Ролля и условия 3 данной теоремы следует, что g(b) 6=g(a). Формулу (2.30) можно получить применением теоремы Ролля к функ-

ции F(x) = f (x) − f (b) − f (a)(g(x) − g(a)). g(b) − g(a)

Необходимым условием дифференцируемости функции является существование производной матрицы. Остановимся теперь на достаточных условиях дифференцируемости.

Теорема 6. Если функция f : X R → Y R имеет в точке x0 конечную производную f ′(x0), то функция f дифференцируема в этой точке.

f (x0 + x) − f (x0) = f = f ′(x0) x + β(x0, x) x, т.е. функция f (x) дифференцируема в точке x0.

Для функций двух и более аргументов существования производной матрицы в точке недостаточно для дифференцируемости функции. Для них справедлива следующая теорема.

Теорема 7. Если функция f : X Rn → Y R имеет в точке ξ0 конечную производную и эта производная непрерывна в точке ξ0, то функция f дифференцируема в этой точке.

Доказательство проведём для функций двух переменных. Пусть ξ0 = (x0, y0).

1, если x = 0;

5)f5(x) = |x|.

Для каких из этих функций выполнены все условия теоремы Ролля?

2.13.2Запишите формулу Лагранжа для функции f (x) = x2 + 4x + 2 на отрезке [−1, 1]. Найдите значение константы c, фигурирующей в записанной формуле.

2.13.3Дана функция f (x) = x2 + 4x + 2 на отрезке [−1, 3]. Пользуясь теоремой

Лагранжа, найдите координаты точки M0(x0, y0), в которой касательная к графику данной функции параллельна хорде, соединяющей конечные точки этого графика.

2.14 Правило Лопиталя

При отыскании пределов часто не удаётся применить теоремы о пределе суммы, произведения, частного, степени, так как возникают неопределённости типа

0 , ∞, 0 · ∞, 00, 1∞, ∞0, ∞ − ∞. Все виды неопределённостей путём алгебраических

0 ∞

преобразований или логарифмирования удаётся свести к неопределённости 0 или

∞ 0 ∞.

Теорема 1 (Лопиталя). Если:

1)функции f (x) и g(x) определены на (a,b);

2)lim f (x) = 0, lim g(x) = 0;

3)всюду на (a, b) существуют производные f ′(x) и g′(x), причём g′(x) 6=0;

4)существует предел lim f ′(x) = k,

′(x)

то существует и предел lim f (x), также равный k:

x→a g(x)

Доказательство. Положим f (a) = g(a) = 0, тогда функции f и g непрерывны на [a, x], a < x < b и удовлетворяют на [a, x] условиям теоремы 5 (Коши). Поэтому

Теорема 1 верна и при x → ∞. Чтобы убедиться в этом, достаточно сделать

замену y = 1 , x = 1 . x y

Теорема 2 (Лопиталя). Если:

1)функции f (x) и g(x) определены на (a,b);

2)lim f (x) = ∞, lim g(x) = ∞;

3)всюду на (a, b) существуют производные f ′(x) и g′(x), причём g′(x) 6=0;

4)существует предел lim f ′(x) = k,

′(x)

f (x)g(x)

Неопределённости 00, 1∞, ∞0 сводятся к 0 · ∞ путём логарифмирования выражения φ(x) = f (x)g(x).