Связанные полосковые линии и устройства на их основе. Часть 2

Рис. 6.6. Геометрические характеристики расчетных многоугольных областей (окончание)

Рис. 6.7. Прямое и обратное конформные отображения полосы на верхнюю полуплоскость: а – соответствие точек границы; б – отображение фрагмента полосы w (h=1; –1 u 1) на верхнюю

полуплоскость Im(z)>0 функцией z exp wh

51

Визуализация отображения прямоугольной сетки фрагмента полосы (h=1, –1 u 1), полученная в MathCAD, показана на рис. 6.7, б.

Как видим из рис 6.7,б, вертикальные линии отображаются в полуокружности, горизонтальные линии – в лучи, исходящие из начала координат, т.е. прямоугольная сетка отображается в полярную сетку. Данное отображение не является симметричным относительно вертикальной (мнимой) оси, которая отображается в полуокружность единичного радиуса. При этом левая половина исходной полосы отображается во внутренность полукруга с центром в начале координат и единичным радиусом, а правая – во внешность того же полукруга.

Симметричные прямое и обратное отображения задаются

лизированы на рис. 6.8.

Рис. 6.8. Симметричное отображение фрагмента полосы w (h=1, –1 u 1) на верхнюю полуплоскость Im(z)>0 функцией

гиперболический тангенс z th w 2h

Теперь запишем прямое и обратное отображения полуполосы

z ch( w / h) , w h Arc h z , визуализированные на рис. 6.9.

52

а)

б)

Рис. 6.9. Прямое и обратное конформные отображения полуполосы на верхнюю полуплоскость: а – соответствие точек границы; б – отображение фрагмента полуполосы w (h=1, 0 u 0,5) на верхнюю полуплоскость Im(z)>0 функцией гиперболический косинус

z ch( w / h) .

Прямое и обратное отображения прямоугольника

sn w, k – эллиптический синус, F(z, k) и K – неполный и пол-

ный эллиптические интегралы первого рода, соответственно. Они зависят от модуля k, который ищется из соотношения

hl KK , где K – дополнительный полный эллиптический инте-

грал первого рода, в свою очередь зависящий от дополнительно-

го модуля k 1 k 2 .

53

б)

Рис. 6.10. Прямое и обратное конформные отображения прямоугольника на верхнюю полуплоскость: а – соответствие точек границы; б – отображение прямоугольника w (h=1, ℓ=0,8) на верхнюю полуплоскость Im(z) >0 функцией эллиптический синус

Отображение верхней полуплоскости на прямоугольник показано на рис.2.7, из которого видно как искривляются линии прямоугольной координатной сетки, а «бесконечность» стягивается в одну точку iK´ мнимой оси iv.

Другие более сложные области, например четырехугольник в виде полосы с вырезом по лучу, пятиугольник в виде квадранта с вырезом по отрезку и семиугольник в виде прямоугольника с вырезом по отрезку имеют сложные отображающие функции, определяемые обращением ИКШ.

54

Рис. 6.11. Отображение верхней полуплоскости Im(z) >0 на прямоугольник w (h = iK’ = 2,157, ℓ = K = 1,686) функцией

эллиптический интеграл первого рода w F z, k , k = 0,5.

Результаты построения методик отображения указанных областей, а также результаты их тестирования станут предметом нижеследующего изложения.

6.2.5. Отображение квадранта с вырезом по лучу на верхнюю полуплоскость

Для того чтобы получить все параметры отображения квадранта с вырезом по лучу (четырехугольника) w на верхнюю полуплоскость z (рис. 6.12), а именно найти соответствие всех граничных точек отображаемых областей, применим интеграл Кристоффеля-Шварца.

Рис. 6.12. Отображение четырехугольника (квадранта с вырезом по лучу) (a) на верхнюю полуплоскость (б) функцией обратной ИКШ

55

Таблица 6.4. Зависимость параметра многоугольника a/h от константы интеграла Кристоффеля-Шварца b

Зная отображающую функцию и все ее параметры (константы), можно найти отображения соответствующих участков границы области. Что необходимо для поиска краевых (граничных) точек электродов при расчете частичных емкостей структур.

1. Участок вещественной оси x ] ... 1] верхней по-

луплоскости z отображается на положительную часть мнимой оси vh области w (рис. 6.13) функцией

щением этой функции (6.5) численным методом, например методом бисекций.

а) б)

Рис. 6.13. Отображение некоторых точек границы квадранта с вырезом по лучу W (a) на вещественную ось верхней полуплоскости Z (б) функцией обратной ИКШ

2. Отрезок вещественной оси x [ 1 ... 0] верхней

полуплоскости z (см. рис. 6.13) отобразится на положительную часть вещественной оси u/h области w/h функцией

58

Обратное отображение x x(u / h) осуществляется обращением функции (6.6) численным методом, например методом бисек-

В частности, этой функцией (6.7) отображаются две различные точки x1 и x2 области z на одну точку u1 области w. Об-

ратное отображение x1,2 x1,2 (u1 / h) осуществляется обраще-

нием этой функции численным методом, например методом бисекций. Некоторые соответствующие точки выреза u1/h в области w и положительной вещественной полуоси x1,2 полуплоскости z, полученные в результате вычислений с двойной точностью, представлены в табл. 6.5

Таблица 6.5. Соответствие точек, расположенных на границе исходного многоугольника W и на вещественной оси x верхней полуплоскости

Z

Продолжение таблицы 6.5

Численный эксперимент показал, что при использовании переменных двойной точности исходные данные должны удо-

влетворять следующему условию 0 u1 a 8...10 . После полу- h

чения всех расчетных соотношений по отображению областей, можно перейти к выводу соотношений для частичных емкостей конкретных типов элементарных четырехугольных ячеек.

6.2.6. Отображение квадранта с вырезом по отрезку на правый верхний квадрант

Для получения всех параметров отображения квадранта с вырезом по отрезку (пятиугольника) w на правый верхний квадрант z (рис. 6.14), а именно для нахождения соответствия всех граничных точек отображаемых областей, применим интеграл Кристоффеля-Шварца (ИКШ).

Рис. 6.14. Отображение канонического квадранта z на расчетный пятиугольник (квадрант с вырезом по отрезку) w = w(z) с помо-

щью интеграла Кристоффеля-Шварца

60