Связанные полосковые линии и устройства на их основе. Часть 2

7.4. Анализ связанных микрополосковой и копланарно-желобковой линий

Одним из конструктивно простых типов линий с сильной связью являются связанные микрополосковая и копланарножелобковая линии (МП КПЖЛ) (рис.7.10, а), подобные которым

–полосковые линии с лицевой связью, копланарные линии с лицевой связью и их варианты – ранее рассматривались рядом авторов, например [9, 73]. Также исследовалась и одиночная копланарно-желобковая линия [48].

Здесь будут рассмотрены неодинаковые связанные линии

–МП КПЖЛ; представлен их анализ в квазистатическом приближении с использованием комбинированного метода МЧЕКО [74]. Получены аналитические выражения для вычисления погонных емкостей и индуктивностей исследуемых линий. Приведены результаты моделирования линий в сравнении с известными из литературы, а также с экспериментальными данными; выявлена приемлемая для практики погрешность анализа. Предложенная модель легко интегрируется в состав САПР.

Декомпозиция поперечного сечения связанных линий.

Рассмотрим поперечное сечение связанных МП КПЖЛ (рис.7.10, а), которые условно можно отнести к классу структур на подвешенных подложках. Введем и обозначим следующие основные параметры сечения структуры: w1 – ширина центрального проводника копланарной линии; w2 – ширина микрополоскового проводника; s – зазор между центральным проводником копланарной линии и боковыми экранами; h1 – глубина желоба; h2 – толщина подложки; a – ширина желоба; – диэлектрическая проницаемость подложки.

С целью упрощения анализа учтём вертикальную симметрию, позволяющую вычленить половину сечения структуры, установив в плоскости симметрии (принцип зеркальных отображений) магнитную стенку (см. рис. 7.10,а). Далее, продолжая декомпозицию структуры, выделим три расчетные частичные области: пятиугольную область (рис. 7.10,б), треугольную область (полуполосу) (рис. 7.10,в) и прямоугольную область (рис. 7.10,в). Все они с однородным диэлектрическим заполнением: пятиугольник и прямоугольник имеют относительную ди-

121

электрическую проницаемость равную единице; полуполоса –(такая модификация проницаемости у полуполосы связана с ее полным вхождением в состав пятиугольной области).

Рис. 7.10. Поперечное сечение связанных микрополосковой и копла- нарно-желобковой линий (МП КПЖЛ) (а) и её частичные области в виде пятиугольника (б), полуполосы (в), прямоугольника (г)

Так как связанные МП КПЖЛ несимметричны относительно горизонтальной межлинейной плоскости, то рассматривать традиционный четный и нечетный типы возбуждения здесь в строгом смысле некорректно. И поэтому будем рассматривать три парциальных режима возбуждения, задаваемых поочереднопопарным соединением проводников между собой. Трехэлектродность структуры приводит к особенности применения КО – завершающей канонической областью является прямоугольная область плоского конденсатора с тремя электродами, два из которых – эквипотенциальны (или другими словами область с двумя электродами, один из которых расщеплен).

Рассчитаем наборы погонных емкостей для каждой выделенной подобласти, и далее все погонные параметры связанных МП КПЖЛ.

Параметры пятиугольной области (рис. 7.10,б),

(рис. 7.11,а). В пятиугольной области выделим три проводника (электрода), расположенные на границе, рассмотрим три

122

парциальных режима их возбуждения и вычислим

соответствующие им емкости – С5011/2, С5022/2, С50/2. Последовательности всех отображений, переводящих расчетную

пятиугольную область на три трехэлектродных плоских конденсатора, показана на рис. 7.11. Заметим, что первое «разворачивающее» отображение пятиугольника на канонический квадрант будет одинаковым для всех трех режимов, но дальнейшие отображения индивидуальны для каждого режима возбуждения.

Обозначенные на границе расчетной пятиугольной области особые точки можно свести в четыре группы: а) точки, которые в поперечном сечении соответствуют краям электродов

– краевые точки (1, 2, 3, 4, 5, 7); б) точки, которые в поперечном сечении соответствуют вершинам многоугольной области – угловые точки (1, 4, 5, 6, 7); в) точки, которые одновременно являются и угловыми и краевыми (1, 4, 5, 7); г) межэлектродные и внутриэлектродные точки, не отражающие особенностей структуры и потому практического интереса для определения емкостей не представляющие; здесь всего одна внутриэлектродная точка – 6. Итак, координаты всех особых точек (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), лежащих на границе исходной расчетной пятиугольной области z0, следующие (рис. 7.11,а):

y01 x01 ; y02 w1 / 2 s; y03 w1 / 2; y04 0; x05 h2 ; x06 iy06 h2 iw2 / 2; x07 h2.

Функция, отображающая первичную каноническую область (квадрант) z на исходную расчетную пятиугольную область z0, выводится из общей формы интеграла КристоффеляШварца и записывается компактно через стандартные эллиптические интегралы и функции следующим образом (см. п.

6.2.6):

123

Рис. 7.11. Пятиугольная область с тремя электродами (а) в трёх парциальных режимах возбуждения (б, в, г), при которых эквипотенциальны различные пары электродов

124

соответствующие трем парциальным режимам возбуждения трехэлектродной структуры.

При поиске емкости пятиугольника С5011/2, последовательность сворачивающих отображений (рис. 7.11,б), приводящая к области трехэлектродного плоского конденсатора, состоит из следующих четырех функций:

где z – обозначает величину комплексно сопряженную с величиной z, а модуль k1 эллиптического интеграла вычисляется по формуле:

Из этих отображений координаты интересующих краевых точек электродов, расположенных на границах (координатных осях) всех рассматриваемых областей z11, z12, z13, z14 будут выражаться следующим образом:

где k1 – модуль, определяется из (7.22), Im – функция выделения мнимой части комплексного аргумента. Отсюда, зная все размеры трехэлектродного плоского прямоугольного конденсатора в области z14 (см. рис. 7.11,б), находим его погонную емкость С5011/2 по формулам (7.33), представленным ниже.

При поиске следующей емкости пятиугольника С5022/2 (рис. 7.11,в) конформное сворачивающее преобразование реализуются всего одной функцией - эллиптическим интегралом первого рода z21 F(z1, k ), в котором модуль k

ранее был определен из соотношения (7.19). Теперь, координаты краевых точек электродов, лежащих на границе прямоугольной области z21, запишутся следующим образом:

126

Отсюда, используя соотношение (7.33), находим С5022/2. При поиске емкости пятиугольника С50/2

последовательность сворачивающих конформных отображений (рис. 7.11,г), приводящая к области трехэлектродного плоского конденсатора, состоит из следующих трех функций:

где модуль k2 вычисляется по формуле:

k2 (x313 x312 )(1/ k 2 x312 ).

Для этой последовательности отображений координаты интересующих краевых точек электродов в областях z32 и z33 будут находиться:

Отсюда, используя соотношение (7.33), находим С50/2. Закончив отображения пятиугольника, перейдем к

отображениям полуполосы и поиску ее частичных емкостей.

Частичные емкости на полуполосе (рис. 7.10,в). Найдем частичные емкости структуры на полуполосе при воздушном заполнении, находящейся в трех парциальных режимах С3011/2,

С3022/2, С30/2 (рис. 7.12). Кроме того, заметим, что промежуточные результаты для пятиугольника п.2 и полуполосы п.3 не пе-

ресекаются, поэтому в обоих случаях примем одинаковые системы обозначений и нумерации областей. Это не вызовет путаницы.

Из рис. 7.12,а видно, что координаты особых точек, ле-

127

жащих на границе исходной расчетной области z0 следующие:

x06 w1 / 2 s.

Для выполнения первого отображения, переводящего полуполосу z0 на верхнюю полуплоскость z1 существует множество функций, но для удобства дальнейших преобразований выберем гиперболический косинус z1 ch( z0 / h2 ). Отсюда можно

найти отображения всех особых точек полуполосы z0 (краевых точек электродов – 1,..,6 и угловых точек полуполосы – 1,3,4), на соответствующие точки вещественной оси x1 полуплоскости z1 (см. рис. 7.12):

Последующие отображающие функции, переводящие полуплоскость на прямоугольную область трехэлектродного плоского конденсатора (рис. 7.12,б) при поиске емкости С3011/2, запишутся следующим образом:

где модуль эллиптического интеграла k3 вычисляется по формуле: k3 (x116 0,5)(x115 0,5) . В последовательности отоб-

ражений z11, z12, z13 координаты особых (краевых) точек представляются:

Отсюда, используя соотношение (7.33), находим С3011/2.

128

Рис. 7.12. Полуполоса с тремя электродами (а) в трёх парциальных режимах возбуждения (б, в, г), при которых эквипотенциальны

различные пары электродов

129

Последовательность отображающих функций (рис. 7.21,в), необходимая для поиска емкости С3022/2, будет несколько короче:

где модуль k4 вычисляется по формуле: k4 ( 1 x12 )(1 x12 ) . А координаты особых точек в плоскостях z21 и z22 записываются:

где Re – функция выделения вещественной части комплексного аргумента. Отсюда, используя соотношение (7.33) , находим

С3022/2.

При поиске емкости С30/2 последовательность отображений (рис. 7.12,г) следующая:

k5 (x15 x12 )(x16 x12 ). Откуда, координаты особых точек в плоскостях z31 и z32 выражаются следующим образом:

Отсюда, используя соотношение (7.33), находим С30/2.

Ёмкости системы прямоугольного поперечного сечения с однородным диэлектриком и с тремя электродами. Во всех предыдущих отображениях (7.23), (7.24), (7.26), (7.29), (7.30), (7.32) конечной отображаемой областью является прямоугольная трехэлектродная система с парой эквипотенциальных электродов, такая как показана на рис. 7.13. Рассмотрим ее, вве-

дя следующие обозначения: w , w , s , h. Найдем ее емкость

C , выполнив декомпозицию.

130