Связанные полосковые линии и устройства на их основе. Часть 2

нахождения этих параметров отображения, стоящих в числителепроизведении, произведение представляется суммой членов степенного ряда с неизвестными коэффициентами aki, которые и подлежат определению. Для лаконичности последующих выкладок используется краткое обозначение знаменателя

2N 2

D(z) z xm . (6.22)

m 1

Соотношение (6.21) задаёт k-е отображение верхней полуплоскости z=x+iy во внутренность прямоугольника p=Re(p)+iIm(p) с разрезами (см. рис. 2.19). При этом все полоски кроме k-й свернуты, а k-я полоска развернута и располагается на верхней стороне прямоугольника. Два заземленных электрода (пластины-плоскости) “0” и N+1 развернуты, соприкасаются и располагаются на нижней стороне прямоугольника (прямоугольного конденсатора) (см. рис.

6.23, б).

Отсюда, k-е отображение должно удовлетворять системе N условий, устанавливающих факт того, что все полоски кроме k-й свернуты.

i 1

где Wk – ширина полоски (прямоугольника) в плоскости p, на которую выполнено отображение; с учётом (6.22) коэффициенты Fij записываются

Теперь, рассчитаем расстояния между полосками skj по периметру прямоугольника в преобразованной плоскости p (см. рис. 6.23, б). При интегрировании вдоль зазоров по оси Х в верхней полуплоскости z для k-го отображения имеем

91

Отсюда, расстояние между j-м проводником и нижней заземленной плоскостью “0”– (N+1) (см. рис. 6.23, б) для k-го отображения вычисляется как сумма межэлектродных промежутков:

i 1

Теперь, введя матрицы F=[Fij], A=[aij], W=diag{Wk} (i, j, k = 1, 2,…, N), соотношение (2.23) может быть переписано в ком-

пактной матричной форме

–W = AF. (6.28)

Отсюда матрица А, полностью определяющая систему из N конформных отображений в терминах произвольно заданных ширин полосок Wk (k = 1, 2,…, N) в преобразованной плоскости р, запишется:

Введя матрицы G=[Gij] и s=[sij] (i, j = 1, 2,…, N), соотношение (2.25) с учетом (2.29) можно переписать:

(6.30)

Теперь, введем в анализ нижнюю L и верхнюю U треугольные матрицы (при этом U=LT) и их обращенные, определяемые компактно следующим образом:

1, если i j;

Uij 1 -1,если j i 1;

0, иначе;

При N=4 вышеприведённые матрицы в развёрнутом виде запишутся:

92

Отсюда, матрица погонных емкостей для рассматриваемой многопроводной копланарной линии передачи (многоэлектродной копланарной ячейки) (см. рис. 2.19) окончательно запишется так:

В случае, если проводники и зазоры в многопроводной копланарной линии передачи поменять местами (см. рис. 6.22 а), то получим многопроводную планарную полосковую линию (см. рис. 6.22, б), для которой вывод матрицы погонных емкостей будет аналогичен, а сама матрица емкостей выразится следующим образом

Численные методы для определения матриц F и G. Мат-

рицы F и G в соотношении (6.32) и других определяются в терминах гиперэллиптических интегралов, которые в частных случаях N=1 или N=2 сводятся к полным эллиптическим интегралам первого рода. Однако, в общем случае такие упрощения не выполнимы. Хотя гиперэллиптические интегралы и могут быть аналитически выражены в терминах обобщенных гипергеометрических функций, это не доставляет вычислительных удобств. Из-за того, что интегралы сингулярны на границах интервала интегрирования, при вычислении интегралов будем использовать квадратурную формулу Гаусса.

Окончательные приближенные выражения для матричных элементов Fij и Gij, полученные с использованием квадратурной формулы Гаусса-Чебышева М-го порядка, записываются следую-

93

щим образом:

где координаты узлов квадратурной формулы вычисляются так:

Здесь, вектор х с элементами xm (m = 1, 2,...2N+2) – это набор координат полосок (включая заземленные экраны) и зазоров между ними на оси вещественных (см. рис. 6.23, а).

Представленные формулы реализованы в подпрограмме GHIONE(x,C,N,M,i), написанной на языках Паскаль, Фортран, а также в системе MathCAD.

Изложим три варианта реализации MathCAD-программ: 1) вычисление ИКШ-интегралов с использованием встроенных MathCAD-процедур; 2) вычисление ИКШ численным методом; 3) вычисление ИКШ численным методом, реализованным в виде MathCAD-подпрограммы.

94

--------------------------------------------------------------------------------------

m 1