Геометрические построения
.pdf
Рис. 94
Если основные дуги проведены разными радиусами, то овал имеет только одну ось симметрии и называется овоидом (рис. 95). Овоид можно рассматривать как фигуру, состоящую из половины окружности и половины овала.
Рис. 95
Очерки овала и овоида относятся к коробовым кривым. Коробовой кривой называется плоская кривая, состоящая из ряда сопряженных дуг окружностей.
Способ построения овала зависит от того, какие параметры кривой известны. Если известны оси овала, построения можно выполнять следующими способами.
Способ 1 (рис. 96). Построение овала по заданным осям. Для нахождения центров О1 и О2 дуг необходимо:
Рис. 96
40
1) отложить на малой оси отрезок ОЕ = ОА (длину большой полуоси);
2) провести прямую АС и отложить на ней от точки C отрезок СК = СЕ;
3)восстановить серединный перпендикуляр n к отрезку АК;
4)на пересечении с заданными осями овала отметить положения центров О1 и О2. Два других центра О3 и О4 симметричны центрам О1 и О2 относительно точки O пересечения осей овала;
5)из центров О1 и О3 провести дуги окружностей радиуса R2;
6)на продолжении лучей О1О2, О2О3,О4О1 и О4О3, соединяющих найденные центры, отметить точки сопряжения 1, 2, 3, 4 и соединить их дугами окружностей радиусов
R1 = О22; R2 = О32.
Способ 2. Построение овала по заданным осям при заданном соотношении осей АВ = √3CD (рис. 97):
Рис. 97
1)из центра О пересечения осей овала радиуса ОА провести дугу до пересечения
спродолжением малой оси CD и отметить точки О2 и О4;
2)аналогично радиусом ОС описать дугу до пересечения с большой осью АВ в
точках О1 и О3;
3)провести лучи через полученные центры О1, O2, O3, О4;
4)провести дуги сопряжения радиусов R1 = О4D; R2 = О1А до пересечения с лучами в точках 1, 2, 3 и 4.
Способ 3. Построение овала делением большой оси на четыре равные части (рис. 98):
Рис. 98
41
1)через центр O большой оси АВ перпендикулярно АВ провести малую ось;
2)из того же центра O радиусом ОО1 = ОА/2 описать окружность и на ее пересечении с малой осью отметить центры О3 и О4;
3)из центров О1 и О2 описать дуги окружностей радиуса R1 = О1А;
4)на продолжениях лучей, соединяющих центры малых и больших дуг, отметить точки сопряжения 1, 2, 3 и 4 при их пересечении с дугами радиуса R1;
5)из центров О3 и О4 провести дуги окружностей радиуса R2 = О31, замыкающие
овал.
Способ 4. Построение овала делением большой оси на три равные части (рис. 99):
Рис. 99
1)разделить большую ось АВ овала на три равные части, отметив центры О1 и О2;
2)описать из центров О1 и О2 окружности радиуса R1 = АВ/3 и отметить точки О3
иО4 их взаимного пересечения как центры сопрягаемых дуг овала;
3)на лучах, соединяющих центры сопрягаемых дуг, при их пересечении с окруж-
ностями радиуса R1 отметить точки сопряжения 1, 2, 3, 4; описать дуги окружностей из центров О3 и О4, замыкающие овал.
ЛИТЕРАТУРА
Геометрические построения: Метод. указания / Н.А. Никитина, В.М. Марков, В.И. Гусев, М.А. Скороходова. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 32 с.
Левицкий В.С. Машиностроительное черчение и автоматизация выполнения чертежей. М.: Юрайт, 2010.
440с.
Чекмарев А.А., Осипов В.К. Справочник по машиностроительному черчению. М.: Высш. шк., 2001. 493 с.
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
1. Вводная часть. Геометрические множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
3 |
2. Деление отрезков прямых и углов. Перпендикуляр к прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
4 |
2.1. Деление отрезка прямой пополам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
4 |
2.2. Деление отрезка прямой на заданное число частей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
4 |
2.3. Деление отрезка прямой на пропорциональные части . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
5 |
2.4. Деление отрезка прямой в среднем и крайнем отношении (правило золотого сечения) . . . . . . . . . . . . . |
5 |
2.5. Построение отрезков прямой с заданным отношением сторон . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
6 |
2.6. Построение перпендикуляра к прямой, проходящего через точку, лежащую вне этой прямой . . . . . . |
6 |
2.7. Построение перпендикуляра к прямой в точке, принадлежащей данной прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
6 |
2.8. Деление угла пополам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
7 |
2.9. Построение угла 30◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
7 |
2.10. Построение угла 60◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
8 |
2.11. Построение угла 75◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
8 |
2.12. Построение треугольника по трем заданным сторонам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
8 |
2.13. Построение равных многоугольников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
9 |
3. Деление окружности на равные части и построение правильных многоугольников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
9 |
3.1. Определение центра дуги . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
9 |
3.2. Определение центра окружности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
10 |
3.3. Деление окружности на три, шесть и двенадцать частей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
10 |
3.4. Деление окружности на четыре и восемь частей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
10 |
3.5. Деление окружности на пять и десять частей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
11 |
3.6. Деление окружности на семь частей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
11 |
3.7. Деление окружности на n равных частей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
12 |
3.8. Построение правильных многоугольников по заданной стороне . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
12 |
4. Сопряжения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
13 |
4.1. Алгоритм построения cопряжений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
13 |
4.2. Построение прямой, касательной к окружности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
15 |
4.3. Сопряжение пересекающихся прямых с помощью дуги окружности заданного радиуса R. . . . . . . . . . |
15 |
4.4. Сопряжение трех пересекающихся прямых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
16 |
4.5. Сопряжение окружности и прямой с помощью дуги окружности заданного радиуса R. . . . . . . . . . . . . |
16 |
4.6. Сопряжение двух окружностей с помощью дуги окружности заданного радиуса R . . . . . . . . . . . . . . . . |
17 |
4.7. Построение касательной к окружности, проведенной через заданную точку, лежащую вне |
|
окружности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
18 |
4.8. Построение касательной к двум окружностям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
19 |
4.9. Сопряжение окружности и прямой при условии, что дуга сопряжения проходит через заданную |
|
точку на окружности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
19 |
4.10. Сопряжение окружности и прямой при условии, что дуга сопряжения проходит через точку |
|
на прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
20 |
4.11. Сопряжение двух неконцентрических дуг окружностей третьей дугой заданного радиуса . . . . . . . . |
20 |
4.12. Сопряжение окружности в заданной точке с окружностью, проходящей через данную точку . . . . . . |
20 |
4.13. Сопряжение двух параллельных прямых двумя дугами при заданных точках сопряжения . . . . . . . . |
21 |
5. Уклоны и конусность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
22 |
5.1. Уклоны. Обозначение, построение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
22 |
44
5.2. Конусность. Обозначение, построение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 6. Лекальные кривые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6.1. Эллипс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 6.2. Парабола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 6.3. Гипербола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 6.4. Спирали . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 6.4.1. Спираль Архимеда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 6.4.2. Синусоида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 6.5. Циклические кривые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 6.5.1. Циклоида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 6.5.2. Эпициклоида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 6.5.3. Гипоциклоида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
7. Циркульные кривые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 7.1. Завиток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 7.2. Овал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Учебное издание
Горячкина Александра Юрьевна Горюнова Ирина Анатольевна
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ ПЛОСКИХ ФИГУР
Учебное пособие
Редактор Е.К. Кошелева Корректор Е.В. Авалова
Компьютерная верстка В.И. Товстоног
Подписано в печать 01.10.2012. Формат 60×84/8. Усл. печ. л. 5,58. Тираж 2500 экз.
Изд. № 105. Заказ
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана. 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5.
ДЛЯ ЗАМЕТОК
ДЛЯ ЗАМЕТОК