Геометрические построения

4.10. Сопряжение окружности и прямой при условии, что дуга сопряжения проходит через точку на прямой

Центр дуги сопряжения O1 (рис. 47, а — внешнее касание; рис. 47, б — внутреннее касание) определяется точкой пересечения перпендикуляров m и n; m — перпендикуляр к прямой t, проведенный через точку A; n — серединный перпендикуляр к отрезку OB (отрезок AB равен радиусу R заданной окружности). Поскольку точка касания двух окружностей находится на линии, соединяющей их центры, то точка K — точка сопряжения; O1K — радиус дуги сопряжения.

Рис. 47

4.11. Сопряжение двух неконцентрических дуг окружностей третьей дугой заданного радиуса R

Даны две дуги, описанные из центров O1 и O2 радиусами R1 и R2. Для сопряжения их дугой заданного радиуса R (рис. 48) проведем из тех же центров две вспомогательные дуги радиусов R1 + R и R2 − R. Пересечение этих дуг позволяет определить искомый центр сопряжения — точку O. Точки сопряжения K и M лежат на линиях, соединяющих центр сопряжения и соответствующие центры дуг.

Рис. 48

4.12. Сопряжение окружности в заданной точке с окружностью, проходящей через заданную точку

Центр О1 дуги сопряжения (рис. 49, а — внешнее касание; рис. 49, б — внутреннее касание) определяется точкой пересечения прямой, проведенной через центр O и заданную точку сопряжения B, с перпендикуляром, восстановленным из середины хорды AB; O1B — радиус искомой окружности.

20

Рис. 49

4.13. Сопряжение двух параллельных прямых двумя дугами при заданных точках сопряжения

Для построения центров сопряжения O1 и O2 (рис. 50) заданные точки сопряжения A и B соединены отрезком AB. На отрезке AB выбрана произвольная точка M. Восстановлены серединные перпендикуляры к отрезкам AM и MB. Искомые центры сопряжения O1 и O2 находятся в точках пересечения серединных перпендикуляров с соответствующими перпендикулярами, проведенными к заданным прямым из точек сопряжения A и B. Радиусы сопрягаемых дуг: R1 = O1A; R2 = O2B. Касание дуг происходит в точке M, находящейся на линии центров O1O2. Если AM = MB, то

R1 = R2.

Рис. 50

Примеры использования сопряжений в инженерной практике представлены на рис. 51 и 52.

Рис. 51

21

Рис. 52

5.УКЛОНЫ И КОНУСНОСТЬ

5.1.Уклоны. Обозначение, построение

Уклоном прямой по отношению к какой-либо другой прямой называется величина ее наклона к этой прямой, выраженная через тангенс угла между ними (рис. 53).

Рис. 53

Обозначение уклонов на чертеже выполняют в соответствии с ГОСТ 2.307–2011 «Нанесение размеров и предельных отклонений». Уклон указывают с помощью линиивыноски, на ее полке наносят знак уклона и его значение. Знак уклона должен соответствовать уклону определяемой линии: одна из прямых знака уклона должна быть горизонтальной, а другая — наклоненной в ту же сторону, что и определяемая линия уклона. Угол уклона линии знака составляет примерно 30◦. На чертеже уклоны указывают либо в процентах (рис. 54), либо дробью в виде отношения двух чисел (рис. 55). Незначительный уклон допускается изображать на чертеже с увеличением.

Прямую заданного уклона b : a (по отношению к горизонтальной линии) проводят через точку А следующим образом (рис. 56). Из данной точки А проводят горизонтальный луч и на нем от точки А откладывают длину a (равную числовому значению делителя в выражении данного уклона) — получают точку В, через которую проводят вертикальную линию, и на ней от точки В откладывают длину b (численно равную значению делимого в выражении данного уклона) — получают точку С. Прямая, проведенная через точки А и С, будет иметь требуемый уклон.

22

Рис. 56

5.2. Конусность. Обозначение, построение

Конус вращения определяется двумя размерами; усеченный конус определяется тремя размерами (рис. 57), задаваемыми в зависимости от условий различным образом: углом α или α/2, одним из диаметров и размером L.

Рис. 57

Конусностью C называется отношение разности диаметров двух поперечных сечений конуса вращения к расстоянию между ними (см. рис. 57). Это отношение равно удвоенному тангенсу половины угла при вершине конуса, т. е. конусность равна удвоенному уклону образующей конуса к его оси.

23

Нормальные конусности и углы конусов выбирают из ряда значений, установленных ГОСТ 8593–81 «Нормальные конусности и углы конусов».

В конических соединениях, т. е. в случаях, когда конический стержень вставляют в коническое отверстие, конусность указывают обязательно (рис. 58).

Рис. 58

Конусность может быть задана отношением двух чисел (см. рис. 58) или десятичной дробью (рис. 59). Знак конусности , острый угол которого должен быть направлен в сторону вершины конуса, наносят перед размерным числом, располагая в зависимости от положения оси конуса так, как показано на рис. 60.

Определение конусности по чертежу и проведение наклонных линий — образующих конуса — согласно данному числовому значению конусности аналогично определению уклонов и проведению прямых заданного уклона.

Рис. 59

Рис. 60

24

6. ЛЕКАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ

Все множество плоских кривых можно подразделить на лекальные и циркульные кривые. Лекальную кривую можно рассматривать как линию, состоящую из бесчисленного количества бесконечно малых дуг окружностей при постепенном изменении места их центров и радиусов кривизны. К лекальным кривым относятся кривые второго порядка, спирали, циклические кривые и др.

Среди лекальных кривых наибольший интерес представляют кривые второго порядка: эллипс, парабола и гипербола.

Эти плоские кривые линии можно получить как линии пересечения прямого кругового конуса с плоскостями, различно расположенными по отношению к оси конуса, поэтому эти кривые называют кривыми конических сечений (рис. 61).

Рис. 61

Если угол наклона секущей плоскости к оси конической поверхности равен углу наклона прямолинейной образующей к этой оси, в сечении получается парабола. Если угол наклона секущей плоскости к оси конической поверхности меньше угла наклона образующей конической поверхности к этой оси, секущая плоскость пересечет поверхность по гиперболе. Если угол наклона секущей плоскости к оси конической поверхности больше угла наклона образующей конической поверхности к этой оси, секущая плоскость пересечет поверхность по эллипсу.

6.1. Эллипс

Эллипсом называется плоская замкнутая кривая — геометрическое множество точек, сумма расстояний от которых до заданных точек F1 и F2 равна длине заданного отрезка AB, проведенного через точки F1 и F2 так, чтобы отрезок AF1 был равен отрезку F2B (рис. 62).

В то же время, эллипс есть равномерно сжатая к своему диаметру окружность, все точки которой приближаются к выбранному диаметру так, что расстояния до диаметра уменьшаются в одно и то же число раз. Отрезок AB называется большой осью эллипса, а точки F1 и F2 — фокусами эллипса. Отрезок CD, проведенный через середину большой оси (центр эллипса O) перпендикулярно к ней, называется малой осью эллипса. Биссектриса угла F1KF2 называется нормалью эллипса, а биссектриса смежного с ним угла F2KM — касательной эллипса.

25

Рис. 62

Способ построения эллипса зависит от того, какие параметры кривой известны. Рассмотрим несколько способов.

Способ 1. Заданы большая ось и фокусное расстояние (рис. 63). На отрезке AB между центром O и одним из фокусов (на рис. 63 — F1) выбирают точки 1, 2, 3 , каждая из которых разделит отрезок AB на две неравные части. Из фокуса F1, как из центра, строят дуги окружностей радиусов A1, A2 и A3, а из фокуса F2 — соответствующие дуги радиусов 1B, 2B и 3B. Пересечение дуг радиусов A1 и 1B дает точку E, пересечение дуг радиусов А2 и 2В — точку F и т. д. На основании свойств симметрии эллипса относительно большой и малой осей достраивают кривую. Точки A, B, C и D пересечения кривой с осями называются вершинами эллипса.

Рис. 63

Способ 2. Если известны большая и малая оси эллипса, то построения выполняют в следующем порядке. На заданных осях эллипса — большой АВ и малой CD — построить как на диаметрах две концентрические окружности (рис. 64). Одну из них разделить на 8—12 равных или неравных частей и через точки деления и центр эллипса O провести радиусы до их пересечения с большой окружностью. Через точки 1, 2, . . . деления большой окружности провести прямые, параллельные малой оси CD,

26

Рис. 64

а через точки 11, 21, . . . деления малой окружности — прямые, параллельные большой оси АВ. Точки пересечения соответствующих прямых принадлежат искомому эллипсу.

Способ 3. Построение эллипса по заданным сопряженным диаметрам (рис. 65). Диаметром эллипса называют произвольную хорду, проходящую через его центр. Сопряженными диаметрами эллипса называют пару его диаметров, обладающих следующим свойством: середины хорд, параллельных первому диаметру, лежат на втором диаметре. В этом случае и середины хорд, параллельных второму диаметру, лежат на первом диаметре. Если эллипс является образом окружности при аффинном преобразовании, то его сопряженные диаметры являются образами двух перпендикулярных диаметров этой окружности.

Рис. 65

На данных сопряженных диаметрах АВ и CD построить параллелограмм, стороны которого параллельны диаметрам АВ и CD. Сопряженный диаметр АВ и сторону PQ параллелограмма разделить на произвольное, но одинаковое число равных частей. Из точек C и D провести последовательно пучки лучей через соответствующие точки деления. Пересечения пар лучей, проведенных через одноименные точки деления, определяют точки эллипса (например, луч С2, пересекаясь с лучом D2, образует точку S эллипса). Построение нижней части эллипса аналогично. Отметим, что заданные диаметры AB и CD не являются осями эллипса. Для построения осей MN и KL необходимо пересечь линию эллипса окружностью произвольного радиуса с центром в точке О и точки пересечения Е и F соединить хордой EF. Серединный перпендикуляр к EF определяет положение малой оси KL эллипса; MN KL.

27

Рис. 66

Пример чертежа детали (эксцентрика), имеющей очертания эллипса, показан на рис. 66.

6.2. Парабола

Параболой (рис. 67) называется плоская разомкнутая кривая — геометрическое множество точек, одинаково удаленных от данных точки F и прямой MN (не проходящей через точку F). Точка F называется фокусом, а прямая MN — директрисой (направляющей) параболы; прямая BE, проведенная через фокус перпендикулярно директрисе, называется осью параболы; точка A, лежащая на середине отрезка BF (оси параболы), заключенного между фокусом F и направляющей MN, называется вершиной параболы. Отрезок, соединяющий любую точку C параболы с ее фокусом F, называется радиус-вектором параболы; биссектриса угла FCD, составленного перпендикуляром CD, проведенным из любой точки C параболы к директрисе, и радиус-вектором FC той же точки C, называется касательной в точке C (касательная перпендикулярна отрезку FD); прямая, проведенная через точку C перпендикулярно касательной, называется

нормалью.

Рис. 67

Способ построения параболы зависит от заданных параметров.

Способ 1. Построение по заданным директрисе и положению фокуса F (рис. 68). Вершина параболы находится в точке A на расстоянии ОА = OF/2. Другие точки кривой определяются пересечением прямых, проведенных из произвольных точек 1, 2, . . . параллельно директрисе, с дугами окружностей, центр которых расположен в фокусе F, а радиус равен расстоянию соответствующих точек до директрисы.

28

Рис. 68

Cпособ 2. Построение по заданным вершине, оси и одной из точек параболы (рис. 69). Из точек A и B провести взаимно перпендикулярные прямые до пересечения в точке С. Отрезки AC и BC разделить на одинаковое число равных частей. Из вершины A провести лучи в точки деления на отрезке BC, а из точек деления на отрезке АС — прямые, параллельные оси параболы. На пересечении соответствующих прямых отметить точки одной ветви параболы. Точки другой ветви параболы симметричны относительно оси параболы.

Рис. 69

Способ 3. Построение посредством касательных прямых к параболе в заданных осях (рис. 70). Оси параболы, исходящие из начальной точки O, могут располагаться под тупым или острым углом. Заданные оси OА и OВ разделить на одинаковое число равных частей и пронумеровать точки деления. Точки деления с одинаковыми номера-

Рис. 70

29