export

Определения

1

Производной функции f(x) в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при . Обозначается .

2

Уравнение касательной и нормали к графику функции y(x) в точке (x0 ; y0):

(y­y0)=k*(x­x0) ­ касательная;

(y­y0)=(­1/k) * (x­x0) ­ нормаль, где k=y'(x0)

Касательная прямая ­ прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.

Прямая, проходящая через точку касания, перпендикулярно касательной, называется нормалью к кривой.

3

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0.

Функция f(x) называется дифференцируемой в точке х0, если ее приращение представимо в виде

Δf = f(x0 + Δx) − f(x0) = A ∙ Δx + o(Δx) ,

где A — число, не зависящее от х, а o(Δx) — функция более высокого порядка малости чем Δx при х → 0 .

Таким образом, приращение дифференцируемой функции является суммой линейной относительно Δx ч асти A ∙ Δx и бесконечно малой более высокого порядка малости чем Δx при х → 0.

Линейная часть приращения дифференцируемой функции называется дифференциалом в точке х0 и обозначается символом df(x0), т.е.

df(x0) = A ∙ Δx.

4

Бесконечая производная функции.

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием этой функции. Функция имеет производную на интервале или называется дифференцируемой в этом интервале, если производная существует в каждой точке этого интервала.

Функция имеет в точке бесконечную производную, если в этой точке

.

Определение:

Правой производной функции в данной точке называется величина:

а левой производной ­ величина:

если эти пределы существуют.

5

Производной n­го порядка (n­ой производной) от функции f (x) (n>1) называется производная первого порядка от производной (n­1) порядка функции f (x) при условии, что она существует.

f(n)(x) = (f(n­1)(x))' , nЄR

6

Дифференциалом функции называется линейная относительно часть приращения функции. Она обозначается как или . Таким образом:

7

Дифференциал dy функции y=f(x) в некоторой точке x назовем первым дифференциалом функции в данной

точке.

Дифференциалом второго порядка функции y=f(x) в некоторой точке называют дифференциал в этой точке от дифференциала первого порядка в данной точке.

Очевидно, что дифференциалом третьего порядка называют дифференциал(если он существует) от дифференциала второго порядка.

Вообще дифференциалом n­го порядка функции y=f(x) в некоторой точке называют дифференциал в этой точке( если он существует) от дифференциала (n­1)­го порядка в указанной точке.

8

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 и n раз дифференцируема в точке x0.

Многочлен называется многочленом Тейлора n–го порядка функции f(x) с центром в точке x0 .

9

Рассмотрим многочлен ­й степени

Его можно представить в виде суммы степеней , взятых с некоторыми коэффициентами. Продифференцируем его раз по переменной , а затем найдем значения многочлена и его производных в точке :

Таким образом, получаем, что

Полученное выражение называется формулой Маклорена для многочлена степени .

10

Функция возрастает на интервале, если для любых двух точек этого интервала, связанных отношением

, справедливо неравенство . То есть, бОльшему значению аргумента соответствует бОльшее значение функции, и её график идёт «снизу вверх». Демонстрационная функция растёт на

интервале .

Аналогично, функция убывает на интервале, если для любых двух точек данного интервала, таких, что

, справедливо неравенство . То есть, бОльшему значению аргумента соответствует мЕньшее значение функции, и её график идёт «сверху вниз». Наша функция убывает на интервалах .

11

Точка называется точкой максимума [точкой минимума] функции , если существует такая ­ окрестность точки , что для всех значений из этой окрестности выполняется неравенство . Точки минимума и точки максимума называются точками экстремумафункции , а значения функции в этих точках ­ экстремумами функции .

Стационарная точка функции ­ это точка, где f ’(x0)=0, либо f ’(x0) не существует.

Критическая точка функции называется точка, в которой все её частные производные обращаются в ноль.

12

Дифференцируемая функция называется выпуклой вниз на интервале Х, если ее график расположен не ниже касательной к нему в любой точке интервала Х.

Дифференцируемая функция называется выпуклой вверх на интервале Х, если ее график расположен не выше касательной к нему в любой точке интервала Х.

13.

Точка перегиба графика функции.

Точка графика, в которой он меняет выпуклость на вогнутость или вогнутость на выпуклость, называется точкой перегиба.

Теоремы

1

Геометрический смысл производной. Производная в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.

8) производная обратной функции: Пусть функции y = f(x) и x = g(y) взаимно обратные, определенные на интервалах и соответственно. Если в точке существует конечная отличная от нуля производная функции f(x), то в точке существует конечная производная обратной

функции g(y), причем . В другой записи

4

Односторонние производные

Выражение называется производной справа функции f(x) в точке x. Аналогично,

выражение называется производной слева в этой же точке.

5

Механический смысл первой производной: скорость­это производная координаты по времени, то есть v(t)=x’(t)

Механический смысл второй производной: ускорение­это производная скорости по времени, то есть a=v’(t)

Иначе можно записать: a=x’’(t)

6

Правила вычисления дифферинциала

Дифференциал суммы/разности функций равен сумме/разности дифференциалов от каждого из слагаемых

Производная (дифференциал) произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведений производной (дифференциала) первого сомножителя на второй и производной (дифференциала) второго сомножителя на первый т.е.

Производная (дифференциал) дроби (частного двух дифференцируемых функций) равна дроби, у которой знаменатель есть квадрат знаменателя данной дроби, а числитель представляет собой разность между произведением знаменателя данной дроби на производную (дифференциал) ее числителя и произведения числителя на производную (дифференциал) знаменателя.

7

Рассмотрим функцию y = f(u), где u = g(x), то есть рассмотрим сложную функцию y = f(g(x)). Если каждая из функций f и g являются дифференцируемыми, то производная сложной функции равна y' = f'(u)∙ u'. Тогда дифференциал функции

dy = f'(x)dx = f'(u)u'dx = f'(u)du,

так как u'dx = du. То есть

dy = f'(u)du.

Последнее равенство означает, что формула дифференциала не изменяется, если вместо функции от x рассматривать функцию от переменной u. Это свойство дифференциала получило название инвариантности

формы первого дифференциала.

8

Дифференциалы высших порядков.

Рассмотрим дифференциал функции в произвольной точке промежутка : . Здесь

­ приращение независимой переменной, которое является числом и не зависит от . Сам же дифференциал есть функция от , и можно вычислить дифференциал от этой функции: При этот дифференциал от дифференциала называется дифференциалом второго порядка и вычисляется по формуле Аналогично вычисляется дифференциал любого порядка .

9

(Необходимое условие экстремума)

Теорема Ферма: Пусть функция f(х) определена на промежутке I и в некоторой внутренней точке х0 этого промежутка принимает наибольшее или наименьшее значение на этом промежутке. Тогда, если существует производная f’(x0), то эта производная равна нулю. Необходимое условие экстремума: во всех точках экстремума производная функции не существует или равна нулю.

10

Ролля теорема

Если функция f (х) непрерывна на отрезке а ≤ х ≤ b, имеет внутри его определённую производную, а на концах принимает равные значения f (a) = f (b), то её производная f'(x) по меньшей мере один раз обратится в нуль в интервале (a, b),

т. е. существует такое с (где a < с < b), что f’(с) = 0.

Геометрически эта теорема означает следующее: если крайние ординаты кривой у = f (х) равны, то на кривой найдется точка, в которой касательная параллельна оси абсцисс

Теорема Лагранжа.

Если функция у = f (х) непрерывна на отрезке [а ; b] и дифференцируема в интервале (а ; b), то в этом

интервале найдется такая точка с, что

Эта теорема имеет простой геометрический смысл (рис.): на графике функции у = f (х) между точками А и В

найдется такая внутренняя точка С, что касательная к графику в точке С параллельна хорде

АВ.

Теорема Коши.

Если функции f (х) и g (х): 1) непрерывны на отрезке [а ; b];

2)дифференцируемы в интервале (а ; b);

3)g'(x) ≠ 0 в этом интервале,

то в интервале (а ; b) существует такая точка с, что имеет место равенство

11

Правило Лопиталя­Бернулли раскрытия неопределенности вида 0/0, беск/беск.

Как в случае неопределенности типа 0/0, т. е. когда

так и в случае т. е. когда

раскрытые неопределнности вида: 1) 0* беск

нужно преобразовать к виду f(x)/(1/g(x)), т.е к виду 0/0, либо к виду g(x)/(1/f(x)), т.е к виду беск на беск. 2)беск ­ беск

нужно преобразовать к виду f(x) * (1­g(x)/f(x)), затем раскрыть по беск/беск по правилу лопиталя.