Kinematika_slozhnogo_dvizhenia_tochki

ε

e

– в соответствии с направлением вектора a τ

по отношению к

e

оси вращения стержня O1z1 (εe

см. рис. 8).

M0M

t =1c

=

π

r 12 =

πr

м,

ϕ

t =1c

=

M0M

t=1c

=

π

рад.

2

2

r

2

Абсолютная скорость точки М равна V

=Vr +Ve

(индекс точки

М опускаем). Относительная скорость V

= S

при t = 1 c

r

= πrt

r

τ

V

t=1 c

= S

r

= πr 1 м/с, r = b = 2 м,

V = 6, 28 м/с> 0.

r

r

τ

τ

V

x

= −V , V

y

= 0, V

z1

= −V ; V = V

2 +V 2

+V 2

,

e

r

x

y

z

1

Vx = −2 м/с,

Vy = 0,

Vz

= −6, 28 м/с,

V = 6,6 м/с.

1

an = ω2

KM , aτ

= ε

e

KM ;

e

e

e

an =12

2 = 2 м/с2 , aτ = 4 2 =8 м/с2.

e

e

a

x

= aτ, a

y

= −an −an , a

z

= −aτ;

e

e

r

r

1

ax =8 м/с2, ay = −2 −19,7 = −21,7 м/с2,

az = −6,28 м/с2;

1

a =

ax2 + a2y + az2

; a = 23,3 м/с2.

1

S

t=1 c = πR

м, ψ = π

рад. Абсолютные скорость и ускорение точ-

6

6

ки D (см. рис. 13):

V

= S = πR t, V

t=1 c

= 0, 209 м/с; a

D

= a τ

+ a n

;

Dτ

3

Dτ

D

D

aτ

=V

= S = πR = 0, 209 м/с2 ;

D

Dτ

3

V 2

π2R

an

=

D

=

t2

;

R

9

D

ω =

Ve

, где OD = 2R cos30D, OD = 0,346 м,

e

OD

ωe = 0,52 рад/с; направление круговой стрелки

ωe

соответствует

вращению

вектора Ve

Рис. 14

вокруг оси O(z1)

(см. рис. 13). Ускорение точ-

ки D в сложном движении запишем в виде

a

D

= a + an + a τ + a

K

, a

D

= a τ + a n

,

r

e e

D

D

где an = ω2 OD,

an = 0,095 м/с2 ;

a

);

K

= 2(ω ×V

e

e

e

e

r

ω ,

a

= 2ω V sin 90D,

V

K

r

e

e

r

aK = 0,11 м/с2 .

Относительное a

r

= a

τ

(a n

= 0) и

r

r

переносное

касательное

a

τ

уско-

e

рения определяются методом проек-

ций (рис. 15) на оси x и y

соответственно:

Рис. 15

aDτ cos30D + aDn cos 60D =

= a

K

+ aτ,

aτ = 0,185 м/с2 ;

e

e

aτ

2

aτ

= ε

e

OD;

ε

e

=

e

;

ε

e

= 0,52 рад/c

;

e

OD

aτ sin 30D −an

cos30D = a

−an ,

a

= 0,01 м/с2 ;

D

D

r

e

r

направление

круговой

стрелки

εe

соответствует

вращению

вектора a τ (см. рис. 13) вокруг оси O(z ).

e

1

Для проверки полученных выше уравнений используем анали-

тическое описание геометрии механизма (см. рис. 13); имеем

ϕ = π +

S

, ϕ

t =1c

= 60D,

ϕ = ω =

S

, ϕ = ε

e

=

S

;

4

2R

e

2R

2R

при t = 1 c ω

= 0,52 рад/с, ε

e

= 0,52 рад/с2. Для точки D

e

V

= S cos ϕ,

V

t=1 c

=

S

= 0,105 м/с;

ry

ry

2

t=1 c

, a

= a τ = a .

Здесь V

=V

r ry

r

r

ry

В

относительном

движении (рис.

16)

обозначим

(Vr )Sr =Vr ,

(a

)

Sr

= aτ,

тогда

r

r

= S ,

V

где

r

r

S

r

= M

0

M = 0, 2t2 , V

= 0,4t, V

t =1c

= 0, 4

м/с;

r

r

aτ = S

= 0,4 м/с2 = const

(a n

= 0), a

= a

τ.

r

r

r

r

r

В

переносном

движении

известны

ωe = 0,52 рад/с, εe =

= 0,52 рад/с2.

Тогда

V = ω OM , V = 0,52 0,6 = 0,312 м/с,

e

e

e

a =

a n

+ a τ,

an

= ω2 OM , an

= 0,522 0,6

= 0,162 м/с2 ,

aτ =

e

e

e

e

e

e

e

= 0,52 0,6 = 0,312 м/с2 .

Абсолютная скорость точки М равна V

M =Vr +Ve. Так как в

нашем случае

=

V 2

+V 2 ,

V

=

0,3122 +0, 42 =

V

V , то V

e

r

M

e

r

M

= 0,51 м/с2 (рис. 17).

Абсолютное

ускорение

точки

М запишем

в виде

aM =

= a + an + a τ + a

K

,

где a

K

= 2ω V sin 90D, a

K

= 0, 416 м/с2.

r

e

e

e

r

Рис. 17

aM = aMx2 + aMy2 , aM = 0,57 м/с2.

Абсолютную

скорость

точки М

V

=

x2

+ y2

вычисляем

с

помощью

M

1M

1M

выражений

)ϕsin ϕ+ S

x

= (l − S

r

cos ϕ;

1M

r

Рис. 18

y

= (l − S

r

)ϕcos ϕ− S

r

sin ϕ,

1M

2

ϕ

2

2

S

тогда V = (l − S

r

)

+ S

r

.

Учитывая, что ϕ =

,

получаем

M

2R

l − Sr

2

2

2

VM =

2R

S

+ Sr

, VM

t =1 c = 0,51 м/с.

М aM =

x12M + y12M , опуская

Абсолютное

ускорение точки

подробные выкладки, записываем в виде

1

2

l − Sr 2

2

aM =

(l

− Sr )S

−2Sr S

+

S

+ Sr

,

4R

2

4R

2

t =1 c = 0,57 м/с2 .

aM

Пример 4. В кривошипно-

ползунном механизме (рис. 19)

кривошип

1 вращается

вокруг

оси O(z )

по закону ϕ = πt2 рад.

1

4

По шатуну 2 движется шайба М

по закону

M0 M = 0,1t2

м. Для

положения механизма при

t = 1 c

Рис. 19

(рис. 20): 1) найти, связав подвиж-

ную систему отсчета Oxy

с кри-

корение при t = 1 c, когда

ϕ= π

рад (см. рис. 20):

4

ω = ϕ

= πt > 0,

=1,57 рад/с;

ω

t =1c

1

2

1

рад/с2,

ε = ω

= ϕ

=1,57

1

1

или

ω

=

ω

=1,57 рад/с и ϕ

= −ϕ

2

или

ε

=

ε

2

=1,57 рад/с2 .

1

2

1

1

Ox1 y1(z1) :

= x1B = −2l sin ϕ ϕ;

x1B = 2l cos ϕ,

y1B = 0;

VBx

1

VBx

t =1c = −0,89 м/с,

VBx

VB

=

= 0,89 м/с;

1

1

a

, a

x

= −2lϕ2 cos ϕ−2lϕsin ϕ;

B

=

a

Bx

Bx

=

1B

1

1

aBx

t =1 c = −2

0, 4(1,572

2

+1,57

2

) = −2, 28 м/с2 ,

aB

=2, 28 м/с2.

1

2

2

Найдем относительные (по отношению

к кривошипу 1) скорость и ускорение точки

В шатуна 2

(В(2) ), рассматривая ее дви-

жение как сложное.

При этом переносным движением для

точки

В(2)

будет вращение вокруг оси

O(z1)

кривошипа 1 с угловыми скоростью

Рис. 21

и ускорением

= ε =1,57 рад/с2 .

ω

= ω =1,57 рад/с, ε

e

e

1

1

Тогда

Ve =ω1 OB =ω1 2l cos ϕ, Ve

t =1c =

VB =V(B

) =Vr +Ve ,

где

2

= 0,89 м/с.

Поскольку

V =

V 2

+V

2 =

1,25 м/с

V

V , то

e

B

r

e

B

(рис.

21).

Теорема Кориолиса имеет вид a

B

= a

r

+ a n + a τ

+ a

K

,

e

e

где переносное и кориолисово ускорения равны

an = ω2 OB,

an =1,572 0, 4

2 =1,39 м/с2 ;