3_2.61 3. Программы циклической структуры Вычисление суммы бесконечного ряда с заданной точностью

Пусть задана последовательность чисел R₁, R₂, R₃,…,R_n,…. Выражение R₁ + R₂ + R₃ +…+ R_n +… называют бесконечным рядом, или просто рядом, а числа R₁, R₂, R₃,… - членами ряда. При этом имеют в виду, что накопление суммы ряда начинается с первых его членов. Сумма S_n = называется частичной суммой ряда: при n=1 – первой частичной суммой, при n=2 – второй частичной суммой и так далее.

Называется ряд сходящимся, если последовательность его частичных сумм имеет предел, и расходящимся – в противном случае. Понятие суммы ряда можно расширить [9], и тогда некоторые расходящиеся ряды также будут обладать суммами. Именно расширенное понимание суммы ряда будет использовано при разработке алгоритмов при следующей постановке задачи: накопление суммы следует выполнять до тех пор, пока очередной член ряда по абсолютной величине больше заданной величины ε.

В общем случае все или часть членов ряда могут быть заданы выражениями, зависящими от номера члена ряда и переменных. Например,

Тогда возникает вопрос, как минимизировать объём вычислений - вычислять значение очередного члена ряда по общей формуле члена ряда (в приведённом примере её представляет выражение под знаком суммы), по рекуррентной формуле (её вывод представлен ниже) или использовать рекуррентные формулы лишь для частей выражения члена ряда (см. ниже).

Вывод рекуррентной формулы для вычисления члена ряда

Пусть требуется найти ряд чисел R₁, R₂, R₃,…, последовательно вычисляя их по формулам

, , …,

Для сокращения вычислений в данном случае удобно воспользоваться рекуррентной формулой вида , позволяющей вычислить значение R_N при N>1, зная значение предыдущего члена ряда R_N-1, где - выражение, которое можно получить после упрощения отношения выражения в формуле (3.1) для N к выражению для N-1:

Таким образом, рекуррентная формула примет вид .

Из сравнения общей формулы члена ряда (3.1) и рекуррентной (3.2) видно, что рекуррентная формула значительно упрощает вычисления. Применим ее для N=2, 3 и 4 зная, что :

Способы вычисление значения члена ряда

Для вычисления значения члена ряда, в зависимости от его вида, может оказаться предпочтительнее использование либо общей формулы члена ряда, либо рекуррентной формулы, либо смешанного способа вычисления значения члена ряда, когда для одной или нескольких частей члена ряда используются рекуррентные формулы, и затем их значения подставляются в общую формулу члена ряда. Например, - для ряда проще вычислять значение члена ряда по его общей формуле (сравните с - рекуррентной формулой); - для ряда лучше воспользоваться рекуррентной формулой ; - для ряда следует применить смешанный способ, вычисляя A_N=X^3N по рекуррентной формуле , N=2, 3,… при A₁=1 и B_N=N! - также по рекуррентной формуле , N=2, 3,… при B₁=1, а затем – член ряда - по общей формуле, которая примет вид .

Пример 3.2.1 выполнения задания

Вычислить с точностью ε для 0^o  X  45^o

• приближенное значения функции cos X по формуле:

используя рекуррентную формулу для вычисления члена ряда:

,

• точное значение функции cos X,

• абсолютную и относительную ошибки приближенного значения.

program Project1;

{$APPTYPE CONSOLE}

uses

SysUtils,

Math;

{$DEFINE DBG}

const

K=Pi/180; //Коэффициент для перевода из градусов в радианы

var

Eps: Extended =1E-8;

X : Extended =15;

R, S, Y, D: Extended;

N:Word;

begin

{$IFNDEF DBG} //Операторы, не используемые при отладке

Write('Введите требуемую точность: ');

ReadLn(Eps);

Write('Введите значение угла в градусах: ');

ReadLn(X);

{$ENDIF}

D:=Sqr(K*X); //Перевод X в радианы и возведение в квадрат

//Задание начальных значений переменным

N:=0;

R:=1;

S:=0;

//Цикл для вычисления членов ряда и накопления их суммы.

//Выполнять, пока модуль очередного члена ряда больше Eps.

while Abs(R)>Eps do

begin

S:=S+R;

{$IFDEF DBG}

if N<10 then //Вывод, используемый при отладке

WriteLn('N=', N, ' R=', R:14:11, ' S=', S:14:11);

{$ENDIF}

N:=N+2;

R:=-R*D/N/(N-1)

end;

WriteLn;

//Вывод результатов вычислений:

WriteLn(N:14,' = Число шагов, за которое достигнута',

'заданная точность');

WriteLn(S:14:11,' = Приближенное значение функции');

WriteLn(Cos(K*X):14:11,' = Точное значение функции');

WriteLn(Abs(Cos(K*X)-S):14:11,' = Абсолютная ошибка');

WriteLn(Abs((Cos(K*X)-S)/Cos(K*X)):14:11,

' = Относительная ошибка');

ReadLn;

end.