6.2.4. Скорость и ускорение точки, колеблющейся по гармоническому закону

Пусть колебания точки происходят по гармоническому закону

x = A cos (t+). (6.11)

Скорость колеблющейся точки определяется первой производной по времени от смещения:

или  = A sin (t+). (6.12)

Ускорение колеблющейся точки определяется первой производной по времени от скорости:

или . (6.13)

Из уравнений (6.12) и (6.13) следует, что скорость и ускорение колеблющейся точки изменяются по гармоническому закону. При этом амплитуда скорости равна А, ускорение А².

Для определения сдвига фаз преобразуем выражения (6.12) и (6.13). Исходя из формул преобразования

cos (90⁰+) = sin,

cos (180⁰+) = cos,

получим

(6.14)

Сравнивая выражения (6.11) и (6.14) можно сделать вывод, что скорость сдвинута по фазе относительно смещения на =/2, а ускорение на =.

Таким образом, при гармонических колебаниях смещение, скорость и ускорение пропорциональны друг другу и изменяются со временем по одинаковому гармоническому закону. Это является специальным свойством гармонических колебаний.

Для графического изображения x=f(t), =f(t) и положим

x = 2 cost,

тогда

Значения x,, в зависимости от t занесем в табл.6.1, учитывая, что

Построим графики x(t), (t), и (рис.6.4)

Форму кривой, выражающей зависимость изменения колеблющейся величины от времени называют формой колебания. В случае гармонических колебаний формой колебания является синусоида или косинусоида. Форму колебаний может вычертить само колеблющееся тело. Например, колеблющийся маятник с песочницей «вычерчивает» синусоиду на равномерно движущейся под ним доске.

Таблица 6.1