- •Введение
- •Дифференцирование векторных величин
- •1. Кинематика поступательного
- •1.1. Система отсчета. Путь. Вектор перемещения
- •1.2. Скорость. Ускорение при криволинейном движении
- •1.3. Нормальное, тангенциальное и полное ускорения
- •1.4. Движение точки по окружности. Угловая скорость. Угловое ускорение
- •2. Динамика поступательного движения
- •2.1. Законы Ньютона
- •2.2. Силы в механике
- •2.2.1. Сила тяжести
- •2.2.2. Упругие силы
- •2.2.3. Сила трения
- •2.3. Внешние и внутренние силы. Закон сохранения импульса
- •3. Работа и энергия
- •3.1. Работа силы и ее выражение через криволинейный интеграл
- •3.2. Кинетическая энергия механической системы и её связь с работой
- •3.3. Потенциальная энергия материальной точки во внешнем силовом поле и ее связь с силой, действующей на материальную точку
- •3.4. Потенциальная энергия системы взаимодействия. Связь кинетической энергии системы с работой внутренних и внешних сил
- •3.5. Закон сохранения механической энергии. Закон сохранения и превращения энергии как проявление неуничтожимости материи и ее движения
- •3.6. Удар абсолютно упругих и неупругих тел
- •4. Динамика вращательного движения
- •4.1. Момент силы и момент импульса
- •4.2. Уравнение моментов
- •4.3. Движение центра тяжести твердого тела
- •4.4. Момент инерции тела относительно оси вращения
- •4.5. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси. Закон сохранения момента импульса
- •4.6. Кинетическая энергия твердого тела. Работа внешних сил при вращении твердого тела
- •4.7. Кинетическая энергия при плоском движении твердого тела
- •5. Элементы специальной теории относительности
- •5.1. Преобразования Галилея. Механический принцип относительности
- •5.2. Постулаты специальной теории относительности. Преобразования Лоренца
- •5.3. Следствия из преобразований Лоренца
- •5.3.1. Одновременность событий в разных системах отсчета
- •5.3.2. Длина тел в разных системах отсчета
- •5.3.3. Длительность событий в разных системах отсчета
- •5.4. Пространственно-временной интервал
- •5.5. Релятивистская кинематика. Релятивистский закон сложения скоростей
- •5.6. Релятивистская динамика
- •6. Механические колебания и волны
- •6.1. Понятия о колебательных процессах. Гармонические колебания. Амплитуда. Частота. Фаза колебаний
- •6.2. Свободные гармонические колебания
- •6.2.1. Математический маятник
- •6.2.2. Пружинный маятник
- •6.2.3. Физический маятник
- •6.2.4. Скорость и ускорение точки, колеблющейся по гармоническому закону
- •6.2.5. Энергия гармонических колебаний
- •6.3. Сложение колебаний
- •6.3.1. Сложение колебаний одного направления и одинаковой частоты
- •6.3.2. Сложение двух гармонических колебаний одного направления, но разного периода
- •6.3.3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
- •6.4. Затухающие колебания
- •6.5. Вынужденные колебания. Резонанс
- •6.6. Волновые процессы
- •6.6.1. Плоская синусоидальная волна. Фазовая скорость. Длина волны. Групповая скорость
- •6.6.2. Скорость распространения волн в упругой среде
- •6.6.3. Поток энергии в волновых процессах
- •6.6.4. Принцип Гюйгенса-Френеля. Интерференция волн
- •6.6.5. Отражение волн. Стоячие волны
- •7. Молекулярно-кинетическая теория
- •7.1. Статистический метод исследования. Термодинамический метод исследования. Термодинамические параметры. Равновесное состояние и процессы их изображения на термодинамических диаграммах
- •7.2. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов
- •7.3. Средняя кинетическая энергия молекул. Молекулярно-кинетическое толкование абсолютной температуры. Связь основного уравнения мкт с уравнением Менделеева-Клайперона
- •7.4. Средняя скорость молекул. Поток молекул
- •7.5. Распределение молекул по скоростям. Закон Максвелла
- •7.6. Барометрическая формула.
- •7.7. Больцмановское распределение частиц в потенциальном поле. Закон Максвелла-Больцмана
- •7.8. Экспериментальный метод определения числа Авогадро
- •7.9. Эффективный диаметр молекулы. Число столкновений и средняя длина свободного пробега молекулы
- •7.10. Явления переноса в газах
- •7.10.1. Вязкость газов (внутреннее трение)
- •7.10.2. Закон Стокса
- •7.10.3. Теплопроводность газов
- •7.10.4. Диффузия газов
- •8. Термодинамика
- •8.1. Внутренняя энергия системы. Работа. Количество теплоты. Первое начало термодинамики
- •8.2. Степени свободы молекул. Распределение энергии по степеням свободы
- •8.3. Молекулярно-кинетическая теория теплоемкости газа
- •8.4.1. Изохорный процесс
- •8.4.2. Изотермический процесс
- •8.4.3. Изобарный процесс
- •8.5. Адиабатический процесс
- •8.7. Цикл Карно
- •8.8. Принцип действия тепловой и холодильной машин
- •8.9. Второе начало термодинамики
- •8.10. Приведенное количество тепла. Неравенство Клаузиуса
- •8.12. Статистический смысл второго начала термодинамики. Связь энтропии с термодинамической вероятностью
- •9. Агрегатные состояния и фазовый переход
- •9.1. Реальные газы. Уравнение Ван-дер-Ваальса
- •9.2. Экспериментальные изотермы. Критические состояния
- •9.3. Внутренняя энергия реального газа. Эффект
- •Библиографический список
- •Оглавление
6. Механические колебания и волны
6.1. Понятия о колебательных процессах. Гармонические колебания. Амплитуда. Частота. Фаза колебаний
Колебательными движениями являются движения или изменение состояния, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени.
Колебания весьма разнообразны по своей физической природе: механические колебания, электромагнитные колебания в колебательном контуре. Разнообразные по природе, колебания могут иметь общие закономерности и описываться однотипными математическими методами.
Колебания называются периодическими, если значения физических величин, изменяющихся в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки времени.
Частным случаем периодических колебаний являются гармонические колебания, в которых величина x изменяется со временем по закону
x = A sin (t+)
или
x = A cos (t+), (6.1)
где =/2.
А, , - постоянные величины, причем А0, 0. Величина А, равная наибольшему абсолютному значению колеблющейся физической величины x, называется амплитудой колебания. В этом легко убедиться, если подставить в (6.1) максимальные и минимальные значения синуса
-1 sin (t+) 1
или косинуса
-1 cos (t+) 1,
то
xmax = A.
Выражение (t+) определяет значение x в данный момент времени и называется фазой колебания. В момент начала отсчета времени (t=0) фаза равна начальной фазе .
Наименьший промежуток времени, по истечении которого повторяются значения всех величин, характеризующих колебательное движение, называется периодом колебаний (Т). За это время совершается одно полное колебание.
Поскольку синус и косинус периодическая функция с периодом 2, то значения величины x повторяются, если фаза изменится на величину 2, т.е.
x1 = x2;
A sin (t1+) = A sin (t2+),
eсли
= t1t2 = 2
или
(t1-t2) = 2.
Но если величина x приобрела прежнее значение, то интервал времени равен периоду колебаний:
t1t2 = T.
Из приведенных соображений следует, что
T = 2,
где - циклическая (круговая) частота.
Циклической частотой периодических колебания называется число полных колебаний, которые совершаются за 2 единиц времени.
Частотой периодических колебаний () называют число полных колебаний, которые совершаются за единицу времени. Поэтому соотношения между рассматриваемыми величинами имеют следующий вид:
.
Колебания, которые возникают в системе в результате какого-либо однократного начального отклонения этой системы от состояния устойчивого равновесия, называются свободными колебаниями. В случае свободных колебаний система не подвержена действию переменных внешних сил.
Примером свободных колебаний являются колебания математического пружинного и физического маятников.
6.2. Свободные гармонические колебания
6.2.1. Математический маятник
Математическим маятником называют идеализированную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке.
Приближенно можно считать математическим маятником небольшой нетяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити (рис.6.1).
Fв mg
Рис.6.1
|
Отклоним маятник от поло-жения равновесия на угол и предоставим ему возможность совершать колебания. На маятник в отклоненном состоянии действует возвращаю-щая сила Fв = -mg sin. Она направлена по каса-тельной к траектории движения шарика в сторону положения |
равновесия. Согласно второму закону Ньютона, уравнение движения математического маятника запишется в виде
. (6.2)
В общем случае решение уравнения (6.2) сложно.
Рассмотрим случай, когда отклонение маятника от положения равновесия настолько малы, что синус угла можно считать пропорциональным величине угла:
sin .
Тогда смещение по дуге приближенно можно считать равным смещению вдоль горизонтальной хорды и синус угла заменить отношением смещения x к длине нити
и переписать уравнение (6.2) в виде
(6.3)
Обозначим
(6.4)
и подставим (6.4) в уравнение (6.3), получим уравнение движения математического маятника:
(6.5)
Из вида уравнения следует, что движение математического маятника описывается линейным однородным дифференциальным
уравнением второго порядка.
Из теории дифференциальных уравнений известно, что решением уравнения (6.5) является функция вида
x(t) = A sin (t+)
или x(t) = A cos (t+),
т.е. математический маятник совершает гармонические колебания с частотой
и периодом
.
Таким образом, период колебаний математического маятника зависит только от ускорения силы тяжести в данном месте Земли и от длины маятника.