10.4 Принцип неразличимости тождественных частиц. Принцип Паули

При одновременном рассмотрении нескольких микрочастиц возникает свойство, которое получило название принципа неразличимости тождественных частиц. Этот принцип утверждает, что, если частицы имеют одинаковую массу, электрический заряд, спин и другие внутренние свойства, то их невозможно различить. Это свойство микрочастиц не имеет аналога в классической механике и является фундаментальным принципом квантовой механики. Оно хорошо иллюстрируется с помощью соотношения неопределенностей.

Действительно, в классической механике можно различить даже одинаковые микроскопические тела по их положению в пространстве и импульсам. С точки зрения квантовой механики, состояние частицы описывается с помощью волновой функции, которую можно определить лишь с вероятностью    ² нахождения ее в некотором объеме. Если же волновые функции перекрываются, то не имеет смысла говорить о том, какая частица находится в данной точке пространства, т.к. положение частицы в пространстве носит вероятностный характер. Принимая во внимание физический смысл    ², принцип неразличимости можно записать в виде

, (10.4.1)

где х₁, х₂ – совокупность величин, определяющих первую и вторую частицы. Тогда

. (10.4.2)

Если при перемене местами частиц функция  не меняет знак, то ее называют симметричной, в противном случае – антисимметричной. Установлено, что, если частица имеет полуцелый спин, то ее волновая функция антисимметрична. Такие частицы называются фермионами. Если спин целый, то волновая функция симметрична. Такие частицы называют бозонами. Симметричность и антисимметричность волновых функций определяют различные групповые свойства частиц.

Известно, что состояние частицы (например, электрона) определяется четырьмя квантовыми числами:

• главное n (n = 1, 2, 3, ...);

• орбитальное l (l = 0, 1, 2, ..., n-1);

• магнитное m_l (m_l = 0, 1, 2, ... , l);

• магнитное спиновое m_s (m_s = 0; 1/2; 1).

Таким образом, если две частицы имеют одинаковый набор квантовых чисел, то их функции должны быть симметричны. Однако для фермионов волновые функции антисимметричны. Отсюда следует, что два фермиона, входящие в одну систему, не могут находиться в одном и том же состоянии. В этом и состоит принцип Паули. Необходимо отметить, что принцип Паули ничего не говорит о частицах, относящихся к бозонам.

Ранее мы говорили, что число вырожденных состояний энергии, соответствующих главному квантовому числу n, равно n². Однако, наличие спинового магнитного момента увеличивает это число в два раза – 2n². Такое свойство фермионов (электронов) объясняет распределение электронов в атоме по энергетическим уровням. Совокупность электронов в многоэлектронном атоме, имеющих одно и то же главное квантовое число, и называется электронной оболочкой. В каждой из оболочек электроны распределяются по подоболочкам, соответствующим данному l.

10.5 Периодическая система химических элементов

В периодической таблице (приложение А) элементы расположены по правилам, которые первоначально основывались на их химических свойствах и атомных весах. Оказалось, однако, что в действительности решающим фактором является не атомный вес, а атомный номер элемента, то есть число электронов, обращающихся вокруг ядра в нейтральном атоме. Одним из наиболее важных применений принципа Паули является объяснение оболочечной структуры атомов. Для этого необходимо рассмотрение периодической системы при переходе от простых элементов к следующим, более сложным. Причем в начале каждого шага мы будем иметь элемент с известной конфигурацией. Затем, предполагая, что заряд ядра этого атома увеличился на единицу, одновременно на периферии электронной оболочки появляется еще один электрон.

Начнем с простейшего элемента водорода (Z=1). Его электрон в основном состоянии находится на нижней орбите c главным квантовым числом . Исходя из общепринятых обозначений, это 1s-электрон.

При переходе к гелию появляется еще один 1s-электрон. Для обоих электронов и поэтому, и . Эти два электрона должны, по принципу Паули, иметь различные значения спиновых квантовых чисел и . Таким образом, первая электронная оболочка является заполненной.

Если теперь попробовать прибавить еще один электрон, то ему не найдется места в первой оболочке, и он должен разместиться на второй электронной оболочке. Подсчитаем максимальное количество электронов во второй оболочке. Во-первых, это два электрона с (2s-электроны) и шесть 2p-электронов с , так как m_l может принимать значения –1, 0 и +1. Электронная оболочка атомов второго периода состоит из 2-х подоболочек. По мере увеличения атомного номера электронная оболочка постепенно заполняется. Соответствующие такому заполнению электронных оболочек атомы – Li, Be, B, C, N, O, F, Ne. Атом неона имеет полностью заполненную оболочку. Значит, следующий электрон должен попасть на третью оболочку.

Количество "мест" для электронов в третьей электронной оболочке равно 18. Эта оболочка разделена на три подоболочки (2 – 3s-электрона, 6 – 3p-электрона и 10 – 3d-электронов). Первые две подгруппы образуют второй короткий период (из 8 элементов). Это элементы от натрия до аргона. После этого, однако, появляются отклонения от кажущегося естественным порядка, в котором электроны заселяют свои места. В действительности, этот порядок всегда определяется энергией, освобождающейся, когда в атоме поселяется новый электрон. Но энергетические соотношения не всегда таковы, что одна оболочка непременно должна заполниться до того, как электроны начнут занимать места в следующей. Наоборот, может оказаться, что с энергетической точки зрения электрон будет крепче связан на s-орбите высшей оболочки, чем на d- или f-орбитах низшей, еще не заполненной. Как раз такая ситуация возникает при дальнейшем заполнении третьей оболочки. Поэтому следующие два элемента, калий и кальций, занимают места в четвертой оболочке. Лишь после этого начинается заполнение третьей оболочки, продолжающееся от скандия до цинка. Затем формируется четвертая оболочка вплоть до криптона.

Описанное выше явление повторяется в четвертой оболочке. Два следующих электрона заселяют оболочку с главным квантовым числом . Затем снова начинается заполнение четвертой оболочки, перемежающееся с заселением пятой оболочки. Редкоземельные элементы (называемые также лантанидами, то есть элементами, следующими после лантана) соответствуют окончательному заполнению четвертой оболочки, причем, предварительно два электрона появляются в оболочке с , что и объясняет химическое сходство этих элементов.

Химическое поведение элементов, как правило, определяется электронной конфигурацией в самой внешней оболочке. Поэтому элементы с одинаковой структурой внешней оболочки обладают в большой степени эквивалентными химическими свойствами. Еще раз эта характерная черта проявляется у группы тяжелых элементов актинидов.

С другой стороны, этот же принцип объясняет возникновение периодичности в системе элементов. Так, например, у всех инертных газов на внешней оболочке 8 электронов. Для щелочных металлов характерен один электрон, вращающийся в атоме вокруг заполненных оболочек, а галогенам не хватает для заполнения оболочки одного электрона.