Математическое моделирование в естественных науках

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ ПРИКУСА С УЧЕТОМ УСИЛИЙ В ЗУБОЧЕЛЮСТНОЙ СИСТЕМЕ ЧЕЛОВЕКА

В.Н. Никитин, А.А. Кротких

(Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, nikitinvladislav86@gmail.com)

Изменения зубочелюстной системы человека влияют на все процессы и системы в организме. В рамках концепции «Виртуальный физиологический человек» и персонифицированного подхода строится модель взаимосвязи изменений прикуса, височно-нижнечелюстного сустава и мозгового кровоснабжения. В работе уточняется существующая в практике методика коррекции прикуса путем введения количественных оценок величин усилий жевательных мышц, и тем самым выбором конкретных параметров из диапазона их физиологических значений.

Ключевые слова: биомеханика, зубочелюстная система, коррекция прикуса, усилия мышц, минимакс.

Изменения зубочелюстной системы человека тесно связаны с процессами питания, дыхания, глотания и речи, а также влияют на весь организм. Зачастую не строятся взаимосвязи между патологическими процессами в зубочелюстной системе с изменениями в других системах, которые, на первый взгляд, не имеют ярко выраженных взаимосвязей [1]. Одним из основных параметров, характеризующих состояние зубочелюстной системы, является прикус (взаимное расположение челюстей) [2, 3].

При коррекции прикуса зубочелюстной системы, которая зачастую связана с потерей зубов, повышенной стираемостью зубов, травмами и переломами челюстей, стоматологи опираются на свой опыт и используют методики, которые базируются на оценке взаимного положения верхней и нижней челюстей и в основе которых лежат геометрические расчеты. Стоматолог, опираясь на диапазоны нормальных значений параметров, определенных в процессе диагностики [2, 3], корректирует прикус, изменяя высоту и характер смыкания зубов применением ортопедических конструкций. В ходе процедуры коррекции прикуса стоматолога

301

устраивает случай попадания параметров, определяющих состояние прикуса (рисунок), в диапазон нормальных значений [2, 3], а также отсутствие жалоб у пациента. Стоматолог выбирает ортопедическую конструкцию, руководствуясь своим опытом. Таким образом, при коррекции прикуса оцениваются только геометрические параметры его состояния, которые только косвенно позволяют сказать про усилия, возникающие в элементах зубочелюстной системы у конкретного пациента.

Рис. Одни из основных параметров, определяющих состояние прикуса: Po, Se, N, Or, A, B, Pg, Gn, Go – реперные точки;

FH – франкфуртская горизонталь; OcP – окклюзионная плоскость; MP – плоскость нижней челюсти; угол ANB – угол, определяющий положение нижней челюсти относительно черепа; угол OcP – угол наклона окклюзионной плоскости к франкфуртской горизонтали; угол MP – угол наклона плоскости нижней челюсти к франкфуртской

горизонтали (прямой PoOr)

Для определения геометрии нижней челюсти и диска ви- сочно-нижнечелюстного сустава предлагается использовать маг- нитно-резонансную томографию, которая позволяет определить точки прикрепления жевательных мышц и точку приложения реакции височно-нижнечелюстного сустава, которая определяется как точка, принадлежащая поверхности мыщелка нижней челюсти, в самом узком месте между суставными поверхностями.

302

Диапазоны нормальных значений параметров, определяющих прикус

Для определения величин усилий мышц и реакций височ- но-нижнечелюстных суставов ставится задача о статическом равновесии нижней челюсти под действием максимальной силы сжатия челюстей. Количество неизвестных величин усилий мышц и реакций височно-нижнечелюстных суставов больше числа уравнений, описывающих равновесие нижней челюсти. Дальнейшее решение задачи связано с применением критерия оптимизации [4, 5] и симплекс-метода в пакете Mathematica 10.0.2.

Решение задачи уточнения значений параметров, которые характеризуют состояние прикуса, заключается в выборе того случая, при котором максимальное значение отношения усилия мышцы к максимальному значению, которое она способна создать, принимает минимальное значение. По-мнению авторов, данный случай позволит избежать возникновения гипертонуса и быстрой усталости мышц, а вследствие этого возможного появления головныхболей в области височно-нижнечелюстного сустава.

Список литературы

1.Взаимодействие зубочелюстной системы с другими системами человеческого организма в рамках концепции виртуального физиологического человека / Ю.И. Няшин, А.Н. Еловикова, Я.А. Коркодинов, В.Н. Никитин, А.В. Тотьмянина // Российский журнал биомеханики. – 2011. – Т. 15, № 3. – С. 8–26.

2.Slavicek R. The masticatory organ: functions and dysfunction. – Klosterneuburg: GAMMA Medizinisch-wissenschaftliche Fortbildung-AG, 2002. – 544 p.

3.Дорошенко С.И., Кульгинский Е.А. Основы телерентгенографии. – Киев: Здоров'я, 2007. – 74 c.

303

4.Pedotti A., Krishman V.V., Stark L. Optimization of mus- cle-force sequencing in human locomotion // Mathematical Biosciences. – 1978. – Vol. 38, № 1/2. – P. 57–76.

5.Реакция височно-нижнечелюстного сустава и усилия жевательных мышц / В.Н. Никитин, В.М. Тверье, Ю.И. Няшин, Л.Ф. Оборин // Российский журнал биомеханики. – 2014. – Т. 18,

№2. – С. 194–207.

МУЛЬТИФРАКТАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ДАННЫХ КОГЕРЕНТНОЙ ФАЗОВОЙ МИКРОСКОПИИ НА ОСНОВЕ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

А.С. Никитюк1, А.В. Кретушев2, И.В. Клемяшов2, Т.В. Вышенская2, А.А. Роготнев1, Е.И. Герасимова1, О.С. Гилева3, О.Б. Наймарк1

(1Институт механики сплошных сред УрО РАН,

Пермь, Россия, nas@icmm.ru, rogotnev.a@icmm.ru, egerasimova@icmm.ru, naimark@icmm.ru,

2Московский государственный технический университет радиотехники, электроники и автоматики, Москва, Россия,

3Пермский государственный медицинский универстет им. академика Е.А. Вагнера, Пермь, Россия)

Приводятся результаты сравнительного анализа нелинейной динамики клеток «в норме» и раковых клеток одинаковой локализации, полученных с помощью метода (динамической) когерентной фазовой микроскопии. Анализ выполнен на основе метода максимумов модулей вейв-

лет-преобразования (Wavelet Transform Maximum Modulus Method).

Продемонстрирована поэтапная апробация данного метода для некоторых модельных сигналов. Выявлены качественные различия нелинейной динамики исследуемых клеток, ассоциируемые споврежденностью ДНК. Сформулирован качественный критерий, характеризующий состояние клетки (здоровая или злокачественная), который основан на определении степени мультифрактальности анализируемыхданных.

Ключевые слова: раковые клетки, когерентная фазовая микроскопия, метод максимумов модулей вейвлет-преобразования, повреждение ДНК.

304

В настоящее время значительное внимание уделяется структурным аспектам поведения биологических систем на разных масштабных уровнях с целью объяснения механизмов функционирования ДНК, клеточных и надклеточных структур, биологических тканей [1]. Понимание данных механизмов рассматривается как важный этап объяснения молекулярных моторов развития поврежденности в биологических системах, которые для «живых» систем имеют принципиальное значение в связи с проблемами онкогенеза и развития опухолей. Также стоит отметить, что современные методы цитологических исследований, применяемые для выявления ранних стадий раковых заболеваний, основаны на многомасштабном анализе динамических и структурных данных. Одним из таких методов являются когерентная фазовая микроскопия (КФМ) и мультифрактальный формализм, за счет которого можно осуществить обработку экспериментальных или клинических данных.

В работе вводится гипотеза о возможности описания состояния биологических систем «в норме» и при онкогенезе на уровне клетки посредством масштабно-инвариантной характеристики – спектра сингулярностей. В качестве базового метода регистрирования нелинейной динамики клеток был выбран метод когерентной фазовой микроскопии. Данный метод обладает существенным преимуществом перед существующими аналогами, включая отсутствие необходимости дополнительного окрашивания исследуемых биологических объектов, иных способов повышения контраста, являющихся потенциальными причинами артефактов. В данном исследовании используется когерентный фазовый микроскоп «Эйрискан», разработанный в МГТУ РЭА под руководством профессора В.П. Тычинского [2]. Этот прибор позволяет проводить измерения флуктуаций фазовой толщины клетки с высоким пространственным и временным разрешением. Материалом для исследования послужили 13 специально подготовленных клеточных препаратов молочной железы (клетки из пораженной раком молочной железы; клетки из неизме-

305

ненных участков молочной железы, пораженной раком), почки (клетки из тканей почки, пораженной раком; клетки из неизмененных участков почки, пораженной раком) и толстой кишки (искусственно выращенная культура раковых клеток, которая соответствует клеткам толстой кишки; искусственно выращенная культура раковых клеток с применением актиномицина Д, блокирующего транскрипцию в ядрышке; клетки из неизмененных участков толстой кишки, пораженной раком). В качестве теоретического аппарата для анализа полученных данных используется мультифрактальный формализм, основанный на одномерном вейвлет-преобразовании (или метод максимумов модулей вейвлет-преобразования), который позволяет вычислять спектр сингулярностей [3]. Ширина спектра определяет степень мультифрактальности исследуемого сигнала клетки (раковой или здоровой). При анализе динамических данных клеток «в норме» выявлены признаки мультифрактальности, а при анализе динамических данных раковых клеток – признаки монофрактальности.

Полученные данные подтверждают гипотезу о том, что физиологические сигналы живых организмов, исследуемые на разных масштабных уровнях, могут быть отнесены к классу фрактальных объектов, т.е. в качестве универсальной количественной характеристики состояния «здоровья» или «болезни» биологических систем можно использовать степень мультифрактальности.

Работа выполнена при финансовой поддержке правитель-

Список литературы

1. Наймарк О.Б. Структурно-скейлинговые переходы и локализованные моды дисторсии в двойной спирали ДНК // Физическая мезомеханика. – 2006. – Т. 9, № 4. – С. 15–29.

306

2.Тычинский В.П. Динамическая фазовая микроскопия: возможен ли «диалог» с клеткой // Успехи физических наук. – 2007. – Т. 177, № 5. – С. 535–552.

3.Wavelet based multifractal formalism: Applications to DNA sequences, satellite images of the cloud structure and stock market data / A. Arneodo, B. Audit, N. Decoster, J-F. Muzy, C. Vaillant // The Science of Disasters. – 2002. – P. 26.

ПРИМЕНЕНИЕ КЛАСТЕРНОГО АНАЛИЗА ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ МЕХАНИЗМОВ РАЗРУШЕНИЯ СТЕКЛОВОЛОКОННЫХ ЛАМИНАТОВ ПО ДАННЫМ АКУСТИЧЕСКОЙ ЭМИССИИ

К.Д. Обирин1, И.А. Пантелеев2, О.Б. Наймарк3

(Институт механики сплошных сред УрО РАН, Пермь, Россия,

1obirinkd@yandex.ru, 2pia@icmm.ru, 3naimark@icmm.ru)

Рассматривается задача исследования механизмов разрушения стекловолоконных ламинатов с использованием кластерного анализа сигналов акустической эмиссии, полученных в результате квазистатического одноосного растяжения образцов. Кластерный анализ выполняется в прикладном математическом пакете MATLAB, приводятся результаты кластеризации сигналов и сопоставление их с механизмами разрушения.

Ключевые слова: акустическая эмиссия, кластерный анализ, метод к-средних, стекловолоконные ламинаты.

Для проведения исследования были изготовлены образцы из четырехслойного стекловолоконного 2D-композита полотняного переплетения. Образцы изготавливались методом вакуумной пропитки VARTM (Vacuum Assisted RTM) с впры-

ском связующего при температуре 40 °С в течение 20 мин и последующей полимеризацией в течение 5–6 ч. Размер образцов (250 × 25 × 3,29 ± 0,15) мм, образцы вырезаны по направлению утка. На концах образцов были приклеены специ-

307

альные накладки для захвата на испытательной машине размерами 40 × 15 мм, а также датчики акустической эмиссии. Испытание образца стекловолоконного композита на квазистатическое растяжение проводилось с постоянной скоростью деформирования на испытательной машине Instron 4505. Мониторинг проводился при помощи регистрационной аппаратуры Vallen AMSY-5 со встроенным программным обеспечением для анализа регистрируемых сигналов.

В результате испытания были получены параметры акустической эмиссии: частота максимума спектра, максимальная амплитуда и время нарастания импульсов. Именно эти параметры являются наиболее часто используемыми для кластеризации.

Для кластеризации данных акустической эмиссии использовался метод к-средних. Этот метод является наиболее предпочтительным для кластеризации сигналов акустической эмиссии.

При использовании индексов Дэвье–Болдина и Силуэта было выяснено, что данные акустической эмиссии лучше всего разбиваются на четыре кластера.

Были получены гистограммы распределения параметров по четырем кластерам, а затем найдены их диапазоны (таблица).

Суммарные диапазоны параметров АЭ для четырех кластеров

Для установления соответствия каждого кластера типичным механизмам разрушения ламинатов был проведен анализ работ зарубежных авторов, посвященный вопросам классификации источников АЭ [1–4]. В результате анализа были выявлены харак-

308

терные диапазоны параметров импульсов АЭ, соответствующие механизмам разрушения стекловолоконных ламинатов.

Сопоставление полученных кластеров с видами разрушения

Работа поддержана Российским научным фондом (проект № 14-19-01173).

Список литературы

1.Cluster analysis of acoustic emission signals for 2D and 3D woven glass/epoxy composites / L. Li, S.V. Lomov, X. Yan, V. Carvelli // Composite Structures. – Belgium: Elsevier, 2014. – P. 286–299.

2.Marec A., Thomas J-H., El Guerjouma R. Damage characterization of polymer-based composite materials: Multivariable analysis and wavelet transform for clustering acoustic emission data // Mechanical Systems and Signal Processing. – 2008. – P. 1441–1464.

3.Arumugam V., Kumar B., Santulli C., Stanley A.J. Effect of fiber orientation in unidirectional glass epoxy laminate using acoustic emission monitoring // Acta Metallurgica Sinica (English Letters). – 2011. – P. 351–364.

4.Pashmforoush F., Fotouhi M., Ahmadi M. Acoustic emis- sion-based damage classification of glass/polyester composites using harmony search k-means algorithm // Journal of Reinforced Plastics and Composites. – 2012. – P. 671–680.

309

ИССЛЕДОВАНИЕ ОСТАТОЧНЫХ МЕЗОНАПРЯЖЕНИЙ

ВМАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ НЕУПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ПОЛИКРИСТАЛЛА

Е.И. Овчинников1, П.С. Волегов2

(Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, 1efm620@gmail.com, 2crocinc@mail.ru)

Рассмотрены процессы неупругого деформирования поликристаллических образцов, а также возникающие при таких процессах остаточные мезонапряжения. Приведены основные используемые определяющие соотношения, а также основные идеи, обусловливающие их использование. Проведены численные эксперименты, позволяющие исследовать возникающие в поликристаллическом агрегате остаточные мезонапряжения в зависимости от типа предшествующего деформирования, свойств материала, а также сопутствующих процессов эволюции внутренней структуры.

Ключевые слова: физические теории пластичности, поликристалл, остаточныенапряжения, одноосноерастяжение, одноосное сжатие.

В настоящее время возрастает значение надежности и долговечности деталей и механизмов, где остаточные напряжения, возникающие в материале при отсутствии внешних нагрузок, играют одну из важнейших ролей [1].

Остаточные напряжения возникают в деталях практически при любых способах технологической обработки металлов (при литье, ковке, термической и механической обработке), а по своей величине иногда могут превосходить внешние нагрузки. Во многих случаях разрушение конструкций из высокопрочных металлов вызвано действием растягивающих остаточных напряжений (рабочие лопатки турбин, компрессоров, коленчатые валы, плунжеры и пр.).

Для уменьшения остаточных напряжений используется специальная термическая обработка, которая не всегда применима. Однако остаточные напряжения не всегда вредоносны, во многих случаях технологические процессы подразумевают соз-

310