Математическое моделирование в естественных науках

суждается определение скоростных и объемных характеристик дыхания человека в процессе ингаляции аэрозоля 0,9 % раствора хлорида натрия. Для изучения свойства потока аэрозоля при этом применяется измерение электрического импеданса между двумя электродами, расположенными в трубке в одной плоскости вблизи стенки. Цель данной работы состоит в экспериментальном исследовании и построении модели, объясняющей зависимость результатов измерений электрического импеданса от скорости потока аэрозоля.

Аэрозольная система в данной работе представляет собой взвешенные в воздухе частицы, имеющие средний аэродинамический размер 4,4 мкм. Этот размер существенно больше длины свободного пробега в воздухе, что позволяет использовать закон Стокса для учета взаимодействия частиц и воздуха [3].

Известно, что при данном способе получения аэрозоля частицы могут нести электрический заряд [3]. Экспериментальные исследования заряда частиц аэрозоля, полученного при помощи медицинского ультразвукового небулайзера, представлены, например, в работе [4].

Важным свойством аэрозольных систем является их способность при определенных условиях к пленочной конденсации на стенках трубки. Этот процесс хорошо изучен для пара [5], в то время как не удалось найти соответствующих исследований для аэрозолей.

Входе работы создана экспериментальная установка, проведены исследования электрического импеданса аэрозоля при различной скорости потока и концентрации частиц.

Вдокладе рассматриваются модели зависимости значений импеданса от свойств потока аэрозоля. Обсуждается соответствие результатов экспериментов рассматриваемым моделям.

Работа выполнена при поддержке гранта правительства Пермского края С 26/631 на выполнение НИОКР 2012–2014 г. и гранта Российского фонда фундаментальных исследований № 14-06-31143 мол_а.

281

Список литературы

1.Исследование функции внешнего дыхания методом электроимпедансной спирометрии: экспериментально-клини- ческие параллели / В.Ю. Мишланов, А.Л. Зуев, Т.Л. Устьянцева [и др.] // Российский физиологический журнал им. И.М. Се-

ченова. – 2013. – Т. 99, № 12. – С. 1425–1434.

2.Мишланов В.Ю. Исследование функции внешнего дыхания путем измерения электрического импеданса легких и дыхательных путей на различных частотах зондирующего переменного тока // Вестник современной клинической медицины. – 2011. – Т. 4, № 4. – С. 24–28.

3.Воюцкий С.С. Курс коллоидной химии. – М.: Химия, 1975. – 512 с.

4.Simones M.P., Loyalka S.K., Duffy C. Measurement of size and charge distribution of sodium chloride particles generated by Aeroneb Pro pharmaceutical nebulizer // Eur. J. Nanomed. – 2014. – Vol. 6, № 1. – P. 29–36.

5.Солодов А.П. Принципы тепломассообмена: учеб. пособие. – М.: Изд-во МЭИ, 2002. – 96 с.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА СОВМЕСТНОГО ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКОГО ОСАЖДЕНИЯ В СИСТЕМЕ С ВРАЩАЮЩИМСЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ ЭЛЕКТРОДОМ

Е.К. Молчанов

(ОАО «Ижевский мотозавод “Аксион-Холдинг”», Ижевск, Россия, Институт механики УрО РАН, Ижевск, Россия, molchanov_86@mail.ru)

Представлены результаты математического моделирования процесса создания композиционных электрохимических покрытий металлической меди и наночастиц Al2O3 с учетом массопереноса электроактивного вещества посредством турбулентного течения электролита. Исследуется кинетика процесса диффузии, миграции и конвекции вещества, участвующего в процессе, во всем объеме электрохимической ячейки, а также процессыадсорбции наночастици параметры, влияющиенапроцесс.

282

Ключевые слова: изотерма адсорбции, осредненные уравнения Рейнольдса, турбулентность, вихри Тейлора, диффузионный слой, электроосаждение.

Композиционные электрохимические покрытия (КЭП) получают из суспензий, представляющих собой растворы электролита сдобавками высокодисперсного порошка, в ходе процесса совместного электрохимического осаждения, при котором на поверхности покрываемого предмета (катода) осаждается металл (первая фаза, матрица) и частицы порошка (вторая фаза), последние цементируются матрицей. КЭП обладают повышенными эксплуатационными характеристиками и в настоящее время всё активнее исследуются какэкспериментально, таки теоретически.

Гидродинамическое моделирование процесса формирования КЭП производилось на вращающийся цилиндрический электрод (ВЦЭ) с использованием осредненных уравнений Рейнольдса, уравнений конвективной диффузии, третичного распределения тока и изотерм адсорбции. Расчет производился методом конечных элементов. В качестве прототипа для данного исследования послужила экспериментальная работа [1, 2].

Характер движения электролита в объеме электролитической ванны зависит от частоты вращения внутреннего цилиндрического электрода, геометрических размеров электрохимической ячейки, атакже кинематической вязкости электролита и определяется числом Рейнольдса, с учетом этого на всех исследуемых режимах работы течение имеет сложный турбулентный характер, при котором вблизи поверхности ВЦЭ образуются зоны с высокой и низкой скоростями движения жидкости. При этом расположение указанных зон относительно оси вращения ВЦЭ и, следовательно, относительно положения электродов электрохимической системы постоянно меняется, вызывая изменение массопереноса вблизи поверхности электродов как электроактивного вещества – ионов раствора, так и взвешенных частиц, таким образом, оказывая существенное влияние на параметры электрохимического совместного осаждениякомпозиционногопокрытия.

283

Обнаружено, что на всех режимах работы электрохимической ячейки при достижении напряжения между электродами по- рядка–0,4 В относительно каломельного электрода концентрация электроактивных ионов вблизи поверхности катода снижается до значений близких к нулю, поэтому стадией, определяющей скорость протекания электрохимической реакции на электроде, становится стадия подвода ионов к поверхности электрода за счет диффузии. При этом из-за ограниченности скорости диффузии скорость протекания электрохимической реакции достигает некоторого предельного значения, характеризующегося значением предельной диффузионной плотности тока.

На всех режимах работы электрохимической ячейки было найдено, что плотность тока при достижении значений, близких

кпредельному, претерпевает осцилляции, причиной возникновения которых, по мнению автора, является нестационарность параметров турбулентного потока электролита вблизи поверхности катода, проявляющаяся, как упомянуто ранее, в возникновении зон с высокой и низкой скоростями движения жидкости. Вследствие этого происходит образование вблизи катода в соответствующие моменты времени «застойных зон» с относительно малой концентрацией ионов вблизи электрода, а значит, и образование диффузионного слоя большей толщины. Это, в свою очередь, увеличивает время, требующееся для подвода ионов за счет диффузии к поверхности электрода, и, соответственно, приводит к снижению плотности тока. При этом, как только

кповерхности электрода приходит зона с высокой скоростью движения электролита, массоперенос ионов из объема электролита к поверхности катода за счет конвекции увеличивается, соответственно, толщина диффузионного слой и время, требующееся для подвода ионов за счет диффузии к катоду, уменьшается и плотность тока временно возрастает.

Установлено, что на процесс массопереноса наночастиц в растворе электролита значительное влияние оказывает действие электрокинетических сил. Обнаружено, что находящиеся в растворе электролита наночастицы, используемые в экспери-

284

ментальной работе [1, 2], притягиваются к катоду тем сильнее, чем больше разность напряжений между электродами и, соответственно, плотность тока. Следовательно, такое поведение может быть объяснено тем, что наночастицы обладают положительным дзета-потенциалом в исследуемом растворе электролита, что противоречит ранее проведенной экспериментальной работе [3]. Обнаружено, что используемые в растворе электролита наночастицы на самом деле представляют собой двухкомпонентную смесь, состоящую из наночастиц α- и γ-Al2O3. Экспериментом [3] было установлено, что при данной концентрации электролита α-Al2O3 наночастицы обладают положительным дзета-потенциалом, а γ-Al2O3 наночастицы – отрицательным. Следовательно, за счет действия электрокинетических сил первые притягиваются к отрицательно заряженному катоду, а вторые, наоборот, отталкиваются. С учетом вышеуказанного было произведено математическое моделирование по откорректированным исходным данным. Была найдена хорошая корреляция между экспериментальными и расчетными значениями. Результаты работы представлены в статьях автора [4–7].

Список литературы

1.Stojak J.L., Talbot J.B. Effect of Particles on Polarization During Electrocodeposition Using a Roatatig Cylinder Electrode // Journal of Applied Electrochemistry. – 2001. – Vol. 31. – P. 559–564.

2.Stojak J.L., Talbot J.B. Investigation of Electrocodeposition Using a Rotating Cylinder Electrode // Journal of The Electrochemical Society. – 1999. – Vol. 146. – P. 4504–4513.

3.Lee C.C., Wan C.C. A Study of the Composite Electrodeposition of Copper with Alumina Powder // Journal of The Electrochemical Society. – 1988. – Vol. 135. – P. 1930–1933.

4.Vakhrushev A.V., Molchanov E.K. Hydrodynamic Modeling of Electrocodeposition on a Rotating Cylinder Electrode // Key Engineering Materials. – 2015. – Vol. 654. – P. 29–33.

5.Вахрушев А.В., Молчанов Е.К. Гидродинамическое моделирование процесса совместного электрохимического осаж-

285

дения на вращающийся цилиндрический электрод. Ч. 1. Постановка задачи, разработка математической модели // Химическая физика и мезоскопия. – 2014. – № 1. – С. 43–51.

6.Вахрушев А.В., Молчанов Е.К. Гидродинамическое моделирование процесса совместного электрохимического осаждения на вращающийся цилиндрический электрод. Ч. 2. Гидродинамика процесса // Химическая физика и мезоскопия. – 2014. – № 2. – С. 207–214.

7.Вахрушев А.В., Молчанов Е.К. Гидродинамическое моделирование процесса совместного электрохимического осаждения на вращающийся цилиндрический электрод. Ч. 3. Эволюция диффузного слоя // Химическая физика и мезоскопия. – 2014. – № 3. – С. 357–363.

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭВОЛЮЦИИ ПОПУЛЯЦИИ МИКРООРГАНИЗМОВ В УСЛОВИЯХ БИОЛОГИЧЕСКОЙ ОЧИСТКИ ПРОМЫШЛЕННЫХ СТОЧНЫХ ВОД

К.К. Мухамбетов1, А.Г. Князева1, А.А. Цхе2

(1Национальный исследовательский Томский государственный университет,

Томск, Россия, kuan1404@gmail.com, anna-knyazeva@mail.ru,

2Институт физики прочности и материаловедения СО РАН,

Томск, Россия, pktb23@mail.ru)

Разработана модель эволюции популяции микроорганизмов в условиях биологической очистки промышленных сточных вод. В зависимости от входных параметров наблюдаются различные режимы эволюции популяции. Однако согласно модели существуют реализуемые условия, при которых популяция микроорганизмов в резервуаре растет и вода очищается.

Ключевые слова: популяция микроорганизмов, динамическая система, фазовый портрет.

Проблема очистки сточных вод является глобальной проблемой для всего человечества. Один из методов очистки использует предварительное озонирование [1]. Преимущество озона пе-

286

ред другими дезинфектантами заключается в присущих ему дезинфицирующих и окислительных свойствах, обусловленных выделением при контакте с органическими объектами активного атомарного кислорода. В работе [2] установлено, что введение небольших доз озона в процессе предварительной аэрации позволяет улучшить показатели очистки сточных вод. Увеличение эффективности разработанных методов, ровно как и поиск новых методов, актуально. Большинство исследований носят экспериментальный характер. Однако поиску оптимальных условий очистки может помочь математическое моделирование. В настоящей работе предлагается модель, которая позволяет изучить эволюцию микроорганизмов как динамическую систему.

В модели полагаем, что вода попадает в озонатор, где подвергается озонированию, далее попадает в резервуар с микроорганизмами, которые поглощают находящиеся в воде органические вещества. Необходимо выявить наиболее оптимальные параметры для жизнедеятельности популяции микроорганизмов.

В простейшем приближении примем, что органика поступает с постоянной скоростью. Озон поступает в нужном количестве, так что его концентрация постоянна. Начальная концентрация микроорганизмов известна, и более микроорганизмы извне не поступают. Эволюцию микроорганизмов опишем на основе следующей системы дифференциальных уравнений:

dM = μ(S)M − βM 2 ; dS = KS − αS μ(S)M ,

где M – концентрация активных микроорганизмов или биомасса; S – концентрация активного субстрата, который поглощают микроорганизмы; μ(S ) – скорость роста биомассы; β – скорость саморегуляции; KS – скорость поступления субстрата в резервуар; αS – коэффициент, который показывает, какая часть субстрата идет на поглощение микроорганизмами. Начальные условия имеют вид: t = 0; S = S0 ; M = M0 .

287

Скорость роста опишем функцией Моно [4, 5]:

μ(S) = μmax S ,

ZS + S

здесь μmax – максимальная скорость реакции; ZS – константа,

равная концентрации субстрата, при которой скорость реакции равна половине максимальной.

Для анализа модели используем методы, описанные в работах [6, 7]. Были найдены три особые точки, две из которых не входили в физически корректную область параметров. Если α < ab, то концентрация субстрата монотонно увеличивается. Если α > ab, то существует устойчивая особая точка. Эта особая точка имеет координаты

На рис. 1 представлены кривые, показывающие примеры поведения системы при различных начальных условиях, первая соответствует начальным условиям x0 = 0,1, y0 = 0,9, вторая – x0 = 0,4, y0 = 0,6, третья – x0 = 0,75, y0 = 0,25. На рис. 2 продемон-

стрирована динамика системы с начальными условиями x0 = 0,1, y0 = 0,9. Кривая 1 описывает эволюцию концентрации микроорганизмов, кривая 2 – поведение субстрата. Из рисунка видно, что в стационарных условиях концентрация субстрата значи-

288

6.Пантелеев А.В., Якимова А.С., Босов А.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения в приложениях к анализу динамических систем. – М.: Изд-во МАИ, 1997. – 187 с.

7.Методы анализа нелинейных динамических моделей / М. Холодниок, А. Клич, М. Кубичек, М. Марек. – М.: Мир, 1991. – 363 с.

МОДЕЛИРОВАНИЕ ФОРМИРОВАНИЯ НАНОСТРУКТУР В МАТЕРИАЛЕ, НАПЛАВЛЕННОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ДУГОЙ

С.А. Невский, В.Д. Сарычев, С.В. Коновалов, Е.В. Черемушкина

(Сибирский государственный индустриальный университет, Новокузнецк, Россия, snevskiy@bk.ru)

Проведено моделирование формирования наноразмерных структурных состояний в поверхностных слоях материала, наплавленного электрической дугой. Механизмом формирования наноструктур в этих слоях является термокапиллярная неустойчивость. Получено дисперсионное уравнение. Определено критическое волновое число, при котором наступает данная неустойчивость.

Ключевые слова: термокапиллярная неустойчивость, наноструктуры, электрическая дуга, наплавка.

В настоящем исследовании разработана математическая модель формирования наноструктур на поверхности материала, наплавленного электрической дугой. В ее основе лежит представление о том, что вследствие наличия градиента температур возникает термокапиллярная неустойчивость. Она приводит к образованиюячеистыхструктурразмерамипорядка100–200 нм.

Для решения поставленной задачи будем рассматривать вязкую несжимаемую теплопроводную жидкость, которая занимает слой толщины h на свободной поверхности z = η(x, y, t) и поглощает тепло.

Запишем основные уравнения модели:

290