Математическое моделирование в естественных науках

расположению крана подачи тетрахлорид титана, а минимум находится на границе области).

В формуле (1) и далее U – вектор скорости, P – давление, T – температура, t – время, g – сила тяжести, χ – коэффициент температуропроводности, β – температурный коэффициент объемного расширения, ν – кинематическая вязкость, r – радиус цилиндра, Q – выделяемое тепло, ГTXT – верхняя поверхность цилиндра, Гохл – верхняя часть боковой поверхности цилиндра высотой hохл, на которой производится охлаждение, Гизол– нижняя часть боковой поверхности и основание цилиндра, которые являются теплоизолированными, SΓТХТ = πr2 – площадь верхней

поверхности цилиндра SΓохл = 2πrhохл – площадь охлаждаемой

части боковой поверхности.

Для реализации задачи использовался комплекс программ OpenFOAM Extend 3.1 с использованием сетки, построенной в программе Salome. Часть расчетов выполнялась на суперкомпьютере «Тритон» ИМСС УрО РАН. Уравнения (1) в рамках пакета OpenFOAM Extend 3.1 решаются с помощью метода контрольного объема [4].

Параметры конечно-разностной сетки для двумерного случая: 250× 75 , 500 ×150 ячеек. Для трехмерных расчетов использовалась блочная регулярная сетка с общим количеством

250 000 ячеек.

В работе был рассмотрен диапазон числа Грасгофа в пределах от 106 до 1010. Показано что при значении числа Грасгофа не выше Gr = 2·107 течение остается стационарным и осесимметричным, и в верхней части реторты возникает кольцевой вихрь. Однако при дальнейшем увеличении числа Грасгофа течение становится нестационарным, теряет осевую симметрию.

На рисунке представлены мгновенные поля скорости, полученные в результате расчетов в двухмерной и трехмерной постановке при Gr = 2,3 108 с числом Pr = 0,0087.

201

Список литературы

1. Титан / В.А. Гармата, А.Н. Петрунько, Н.В. Галицкий

[и др.]. – М.: Металлургия, 1983. – 559 с.

2. Зимин В.Д., Ляхов Ю.Н., Сорокин М.П. Конвекция в вертикальном цилиндре при подогреве сверху // Гидродинамика: сб. ст. – Пермь, 1975. – Вып. VI. – С. 73–84. (Ученые Записки Перм. ун-та. № 327).

3.Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий А.А. Устойчивость конвективных течений. – М.: Наука, 1989.

4.Jasak H. Error analysis and estimation for the finite volume method with applications to fluidflows. – 1996. – 394 р.

ОПТИМИЗАЦИЯ ДВУХЛИСТОВОГО УПРУГОГО ЭЛЕМЕНТА С ШАРНИРОМ И БЕЗ ШАРНИРА

А.А. Касаткин, М.А. Осипенко, Ю.И. Няшин

(Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, 79519531265@yandex.ru)

Рассмотрено несколько задач оптимизации двухлистового упругого элемента. Нижний лист имеет постоянный профиль, а верхний – линейный профиль. В одном случае оба листа считались консольно закрепленными балками Бернули–Эйлера, в другом нижний лист оснащен шарниром вместо жесткой заделки. Оптимизация состояла в отыскании толщины нижнего листа, длины и параметров профиля верхнего листа, минимизирующих напряжения в упругом элементе при заданных жесткости и общем размере.

Ключевые слова: упругий элемент, двухлистовая рессора, контактная задача, равнонапряженный упругий элемент, оптимизация.

Листовые рессоры широко используются в качестве упругих элементов подвесок автомобилей и других транспортных средств [1]. Известно также их использование в качестве упругого элемента протеза стопы [2]. Контактные задачи рас-

203

чета статического изгиба и оптимизации таких рессор по этой причине являются актуальными. Несмотря на то что эти задачи в настоящее время активно изучаются, имеется лишь весьма небольшой набор решений для отдельных задач [2, 3]. Причина этого состоит в том, что даже при использовании простейшей теории изгиба одного листа задача о совместном изгибе листов является контактной. Численные методы решения контактных задач [4] в данном случае требуют значительной адаптации.

В данной работе модель рессоры и постановка контактной задачи соответствуют схеме, принятой в работах [2, 3, 5, 6]. Каждый лист представляет собой консольно закрепленную прямолинейную балку (кроме случая, когда балка вместо жесткой заделки оснащена шарниром), испытывающую слабый изгиб в одной плоскости; нагрузка – сила, сосредоточенная на свободном конце длинного листа (рисунок). Листы имеют различные, вообще говоря переменные, толщины. В отсутствие нагрузки листы плотно прилегают друг к другу; трением пренебрегаем. Изгиб каждого листа описывается моделью Бернулли–Эйлера. Задача заключается в отыскании линий изгиба листов и сводится к отысканию плотности сил взаимодействия листов.

Рис. Модели двухлистовой рессоры с листом линейного профиля: а – оба листа консольно закреплены; б – верхний лист консольно закреплен, нижний оснащен шарниром

В общем случае построен численный метод решения контактной задачи, основанный на итерационном уточнении области контакта.

204

Построенный численный метод позволяет решать задачи оптимизации конструкции двухлистового упругого элемента. Оптимизация состоит в отыскании параметров конструкции (толщина нижнего листа, длина и параметры профиля верхнего листа), минимизирующих максимальное напряжение при заданных размере (длина нижнего листа) и прогибе. Найдены параметры оптимальной конструкции двухлистового упругого элемента с длинным листом постоянного профиля и коротким листом линейного профиля. В первом случае оба листа считаются консольно закрепленными балками, во втором вместо жесткой заделки нижний лист оснащен шарниром. Оптимальные параметры найдены сначала численно, а затем существенно уточнены посредством аналитических расчетов. Показано, что оптимальным упругим элементом является равнонапряженный, но не каждый равнонапряженный является оптимальным.

Список литературы

1.Пархиловский И.Г. Автомобильные листовые рессоры. – М.: Машиностроение, 1978. – 232 с.

2.Mathematical modelling of the foot prosthesis elastic element under bending / M.A. Osipenko, Y.I. Nyashin, R.N. Rudakov, A.V. Ostanin, E.N. Kuleshova, T.N. Zhuravleva // Russian Journal of Biomechanics. – 2001. – Vol. 5, № 2 – P. 18–29.

3.Осипенко М.А., Няшин Ю.И. Об одном подходе к решению некоторых одномерных контактных задач // Известия Сарат. ун-та. Новая серия. – 2011. – Т. 11. – Сер.: Математика. Механика. Информатика. – Вып. 1. – С. 77–84.

4.Li H., Dempsey J.P. Unbonded Contact of Finite Timoshenko Beam on Elastic Layer // Journal of Engineering Mechanics. – 1988. – July, Vol. 114, № 7. – P. 1265–1284.

5.Осипенко М.А., Няшин Ю.И., Касаткин А.А. Особенности контактных задач для систем струн и балок со слабо закрепленными элементами // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета.

205

Механика. – 2015. – № 1. – С. 121–129. DOI: 10.15593/perm. mech/2015.1.08

6. Осипенко М.А. Контактная задача об изгибе двухлистовой рессоры с листами, искривленными по дуге окружности // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2014. – № 1. – С. 142–152.

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ КАПЛИ В НЕОДНОРОДНОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

М.А. Кашина

(Пермский государственный национальный исследовательский университет,

Пермь, Россия, alabuzhev@mail.ru)

Исследуются вынужденные колебания капли жидкости в переменном неоднородном электрическом поле. В равновесном состоянии капля имеет форму цилиндра, равновесный краевой угол прямой. Капля окружена другой жидкостью и ограничена в осевом направлении параллельными твердыми диэлектрическими плоскостями. Для описания движения контактной линии используется эффективное граничное условие: скорость движения контактной линии пропорциональна сумме отклонения краевого угла и скорости быстрых релаксационных процессов, частоты которых пропорциональны частоте электрического поля.

Ключевые слова: электросмачивание, капля жидкости, вынужденные колебания, электрическое поле.

Данная работа посвящена продолжению исследований колебаний цилиндрической капли в переменном электрическом поле, которое играет роль внешней силы, заставляя двигаться линию контакта [1–3]. Интерес к этой теме обусловлен не только наличием разнообразных эффектов, но и технологическими причинами. Изменение свойств подложки, по которой движется капля, с помощью электрического поля (электросмачивание) является одним из перспективных методов управления такими объектами [4].

206

Для описания движения контактной линии используется модифицированное условие Хокинга [5–7]: скорость движения контактной линии пропорциональна сумме отклонения краевого угла и скорости быстрых релаксационных процессов, частоты которых пропорциональны частоте электрического поля:

где z – ось симметрии капли; α – полярный угол; Λ – постоянная Хокинга; A – амплитуда колебаний. Случай однородного электрического поля рассматривался в работах [1, 2].

Вданной работе исследуется влияние переменного электрического поля на устойчивость вынужденных колебаний капли жидкости. В равновесном состоянии капля имеет форму цилиндра, ограниченного в осевом направлении параллельными твердыми плоскостями. Равновесный краевой угол – прямой. Капля окружена несжимаемой жидкостью другой плотности. Собственные колебания такой капли рассмотрены в работе [8]. Экспериментально подобная конфигурация исследовалась, например, в работе [9].

Вкачестве примера рассмотрим неоднородный периодический потенциал электрического поля вдоль оси x:

∞

f (α) = sin (κ cos (α)) = cncos ((2n + 1)α),

n=0

где κ – волновое число; cn – коэффициенты разложения в ряд Фурье. На рис. 1 показаны значения cn для трех значений κ.

Решение искалось в виде ряда по собственных функциям оператора Лапласа для цилиндрической системы координат. На рис. 2 показана зависимость безразмерной амплитуды отклонения лини контакта и краевого угла от частоты электрического поля для разных значений постоянной Хокинга. Отметим, что ρi – безразмерная плотности капли; ρc = 1 – ρi – безразмерная плотность

207

внешней жидкости; b – геометрический параметр, равный отношению высоты капли к ее равновесному радиусу. Из приведенных рисунков видно, что при малых λ амплитуда отлична от нуля только вблизи резонансных значений частот. Существуют так называемые «антирезонансные» частоты [10, 11], когда контактная линия неподвижна при любых значениях λ.

На рис. 3 показана форма линии контакта и боковой поверхности в разные моментыпериодаколебаний. Пространственная

Рис. 3. Форма контактной линии (а, в) и отклонения боковой поверхности (б, г) в различные моменты периода колебаний T

(ρi = 0,7, a = 2,5, b = 1): а, б – κ = 1; в, г – κ = 10, t = 0 – сплошная линия, t = T/8 – штриховая, t = T/4 – пунктирная,

t = 3T/8 – штрихпунктирная

209

неоднородность при κ = 1 возбуждает трансляционную моду колебаний (см. рис. 2, a; 3, а) и решения ~ cos(α). Отклонение боковой поверхности ~ z (рис. 3, б). При κ = 10 возбуждаются моды с более высокими азимутальными числами (рис. 3, в) и вдоль боковой поверхности распространяетсябегущаяволна (рис. 3, г).

Работа выполнена при финансовой поддержке проекта Российского научного фонда № 14-21-00090.

Список литературы

1.Кашина М.А. Влияние переменного электрического поля на колебания цилиндрической капли // Математическое моделирование в естественных науках. – 2014. – Т. 1. – С. 120–122.

2.Алабужев А.А., Кашина М.А. Колебания цилиндрической капли в переменном электрическом поле // Технические науки – от теории кпрактике. – 2014. – № 41. – С. 124–128.

3.Кашина М.А., Алабужев А.А. Вынужденные колебания цилиндрической капли в переменном неоднородном электрическом поле // XIХ Зимняя школа по механике сплошных сред:

сб. ст. / отв. ред. Н.А. Юрлова. – Пермь, 2015. – С. 105–110.

4.Mugele F., Baret J.-C. Electrowetting: from basics to applications // J. Phys.: Condens. Matter. – 2005. – Vol. 17. – P. 705–774.

5.Hocking L.M. The damping of capillary-gravity waves at a rigid boundary // J. Fluid Mech. – 1987. – Vol. 179. – P. 253–266.

6.Кайсина М.И. Азимутальные моды собственных колебаний цилиндрического пузырька // Вестник Перм. ун-та. Сер.: Математика. Механика. Информатика. – 2015. – №2 (29). – С. 37–45.

7.Любимов Д.В., Любимова Т.П., Шкляев С.В. Неосесимметричные колебания полусферической капли // Известия РАН. Механика жидкости и газа. – 2004. – № 6. – С. 8–20.

8.Алабужев А.А., Любимов Д.В. Влияние динамики контактной линии на собственные колебания цилиндрической кап-

ли // ПМТФ. – 2007. – Т. 48, № 5. – С. 78–86.

210