Оптимизация технических объектов в системах автоматизированного проектирования.

Данная глава посвящена вопросам постановки и решения задач опти­мизации при техническом проектировании. Главное внимание уделя­ется параметрической оптимизации непрерывных объектов.

Проблема оптимизации имеет два основных аспекта: 1) нужно поставить задачу, формализовав понятия «наилучший», «опти­мальный»; 2) нужно решить задачу, уже имеющую матема­тическую формулировку.

Строгие математические методы применяют в оптимизации после того, как задача поставлена. Сама же постановка задачи оптимизации в значительной мере основана на качественных соображениях и осу­ществляется специалистами в конкретных областях техники. Однако, как показывает опыт проектирования и прежде всего опыт автоматизации проектирования, подходы к постановке оптимальных задач в раз­ных областях техники идентичны в своих наиболее существенных чертах.

Методы, применяемые в настоящее время для решения задач оптимизации, довольно многочисленны. Среди них отсутствует метод, который оказался бы наилучшим во всех или в подавляющем большинстве практических случаев. Инженер, пользующийся услугами САПР, должен знать способы постановки задач оптимизации, уметь предвидеть особенности функций, описывающих его задачу, и знать методы оптимизации. Выбор метода, согласованный с особенностями конкретной задачи, повышает вероятность ее успешного решения с минималь­ными затратами.

Основные определения

Оптимизация, как выбор наилучшего варианта среди некоторого множества, подразумевает наличие правила предпочтения одного варианта другому. Такое правило называют критерием оптимальности.

Будем рассматривать объекты, имеющие неизменную структуру и различающиеся численными значениями параметров внутренних X = (х₁, ..., х_n) и выходных Y = (у₁ y₃, ..., у_n). В основе постро­ения правила предпочтения лежит целевая функция, коли­чественно выражающая качество объекта и потому называемая также функцией качества. Значения целевой функции тем боль­ше, чем выше качество объекта. Применяют также функции, убываю­щие с улучшением качества. Оптимизация в первом случае есть макси­мизация, а во втором — минимизация функции качества. Аргумен­тами этой функции являются управляемые параметры — внутренние параметры, которые можно изменять на данном этапе про­ектирования. Обозначим вектор управ­ляемых параметров - X*.

Обозначим целевую функцию через F(Х), а область ее определе­ния — через ХО. Если ХО есть дискретное множество точек, то объ­ект дискретный и задача оптимизации относится к области дискрет­ного (в частном случае целочисленного) программирования, в про­тивном случае должна применяться параметрическая оптимизация непрерывных объектов.

Безусловные экстремумы. ε-Окрестностью некоторой точки Х₀ будем называть множество Sε (X) точек (векторов), которые находятся от точки Х₀ на расстоянии, не превышающем заданное число ε > 0:

S_ε (X₀) = {X| ||Х-Х0[|ε }, (1)

где ||Х — Х0||- норма вектора X — Х₀, отождествляемая с рас­стоянием между точками X и Х₀.

Выражение множеств в виде (1) будем использовать и в даль­нейшем, поэтому запишем словесную расшифровку (1) еще раз: множество S_ε (X₀) есть множество объектов X при выполнении усло­вия ||Х —Х₀|| < ε.

Максимумом функции F(X) называют ее значение F(X*), если существует число ε > 0 такое, что для любой точки X  S_ε (X*) (за исключением лишь самой точки X* выполняется неравенство

F(X)-F(X*)<0. (2)

Минимумом функции F(X) называют ее значение F(Х*), если при тех же условиях вместо (2) имеем F(X) — F(X*)> 0.

Точку X* называют экстремальной точкой (локальным экстремумом). Функция F(X) одноэкстремальна (унимодальна), если имеет один экстремум, и многоэкстремальна, если имеет более одного максимума (минимума).

В зависимости от характера целевых функций (многоэкстремаль­ные или одноэкстремальиые) различают одно- и многоэкстремальные задачи оптимизации.

Точка глобального экстремума— точка, в ко­торой максимизируемая (минимизируемая) целевая функция имеет наибольшее (наименьшее) значение среди всех локальных экстрему­мов.

К задачам безусловной оптимизации отно­сятся задачи, в которых экстремум ищется в пределах неограничен­ного пространства управляемых параметров, т. е. задачи, в которых отсутствуют ограничения. Найденные при этом экстремумы называ­ются безусловными экстремумами.

Условные экстремумы. В задачах проектирования, как правило, присутствуют те или иные ограничения. Прежде всего, отметим прямые ограничения — ограничения вида

x_i>xн_i и x_ti<xb_i, (3)

где xн_i и xb_t — минимально и максимально возможные значения i-го управляемого параметра.

Прямые ограничения в ряде случаев принципиально необходимы. Типичными примерами могут служить ограничения вида x_i>0 для всех параметров, которые по физическим соображениям не могут быть отрицательными. Это геометрические размеры, массы, концент­рации примесей, электрические сопротивления и т. п. Во многих случаях, когда прямое ограничение не является принципиально не­обходимым, его вводят специально для того, чтобы ограничить об­ласть поиска экстремума. Область ХД в пространстве управляемых параметров, заданную прямыми ограничениями, называют допу­стимой областью

где n — размерность пространства управляемых параметров: [1 : п]— множество целых чисел в интервале [1, n].

Кроме прямых ограничений в задачах оптимизации часто при­сутствуют функциональные ограничения, имею­щие вид неравенств или равенств.

Ограничения-неравенства имеют вид

(Х)>0, (4)

где  (Х) — вектор-функция.

Прямые ограничения можно рассматривать как частный случай функциональных ограничений (4).

Ограничения-равенства имеют вид

ψ (X) = О, (5)

где ψ (X) — вектор-функция.

Наличие ограничений приводит к задаче условной опти­мизации. Решение этой задачи — условный экстремум.

В задачах проектирования часто роль ограничений (4) и (5) выполняют условия работоспособности, тогда область ХР, определяе­мую как

называют областью работоспособности.