Математическое моделирование инвестиционной деятельности (110

6. ОПТИМИЗАЦИЯ ПОРЯДКА ЗАПУСКА РАБОТ ПРОЕКТА

Пусть инвестиционный проект состоит из n работ, для выполнения k-й работы необходимы инвестиции в размере ck . На выполнение k-й работы тре-

буется время tk (в мес.), срок всего проекта

T = ∑n tk +1.

k =1

После завершения каждой работы каждый месяц до окончания проекта будет получен доход в размере Dk . Месячная норма дисконта равна α.

Все инвестиции производятся в нулевой момент времени.

Требуется определить такой порядок запуска работ проекта, при котором NPV всего проекта максимален. Для определения порядка запуска воспользуемся идеями теории расписания. В терминах теории расписания получаем следующую задачу. Имеется одностадийная система с одним прибором. Требуется указать σ = (i1, i2, …, ik) порядка запуска работ, на котором NPV достигает максимального значения.

Рассмотрим два расписания, которые отличаются порядком запуска двух работ:

σ1 = (1, 2, …, k, i, j, k + 3, …, n); σ2 = (1, 2, …, k, j, i, k + 3, …, n).

Определим, при каких условиях NPV (σ1 )≥ NPV (σ2 ).

Поскольку σ 1 и σ 2 совпадают на первых k-х работах, то NPV на этих элементах будет одинаковым для обоих расписаний. Аналогично для работ k + 3, ..., n в расписаниях NPV будет совпадать. Поэтому NPV будет зависеть только от порядка следования работ i и j в расписании, а условием, достаточным для выполнения неравенства NPV (σ1 )≥ NPV (σ2 ), является

NPV (i, j)≥ NPV (j,i).

Будем считать, что момент начала работ – это момент окончания k-й работы, тогда для расписания (i, j) получим следующее распределение до-

хода во времени:

То есть на интервале (ti, ti + tj) ежемесячно будет получен доход в размере Di.

Для расписания ( j,i) :

31

То есть на интервале (tj, ti + tj) ежемесячно будет получен доход в размере Dj.

Таким образом, в обоих случаях имеем ренту. При этом в первом случае член ренты равен Di, а срок ренты ti; во втором случае член ренты равен Dj, а срок ренты tj. Отсюда находим наращенную сумму:

Обозначим Snα – коэффициент наращения ренты при сроке n и процентной ставке α. Тогда полученное неравенство перепишется в виде

Иными словами, для того чтобы найти порядок запуска работ, при котором показатель NPV будет максимален, необходимо упорядочить работы

в порядке убывания коэффициента k1 = Dk .

Stkα

Назовем k1 коэффициентом приоритета выбора. Рассмотрим случай, когда процентная ставка α →0 , тогда

Таким образом, если процентная ставка небольшая, то упорядочивать

работы в расписании следует по убыванию величины k1' = Dk . tk

32

6.1. Пример

Рассмотрим пример того, как решается задача оптимизации порядка запуска работ проекта и нахождения показателей экономической эффективности полученного проекта.

Решение данной задачи проводится в несколько этапов:

1.Переупорядочение работ таким образом, чтобы NPV был максимальным;

2.По полученному оптимальному порядку работ находятся значения Ri в каждый момент времени;

3.Вычисляются показатели экономической эффективности проекта. Последний пункт был рассмотрен в предыдущих темах, поэтому мы

остановимся на первых двух пунктах решения. Пусть имеются исходные данные

Процентная ставка α = 0,02, первоначальный объем инвестиций С = 105.

C = ∑ck =105

Для того чтобы определить оптимальный порядок запуска работ, не-

Упорядочив работы по убыванию рассчитанного показателя, получим следующий порядок запуска работ:

33

Далее необходимо определить величины Rk для всего времени проек-

та. Первоначальный объем инвестируемых средств R0 вычисляется по формуле R0 = −C . В нашем примере в нулевой момент вложения R0 = −105 .

Обозначим Rik – доход от k-й работы в момент времени i. Первая работа, стоящая в расписании – это вторая работа из условия задачи. Поскольку для нее t2 =1, то в момент t = 1 R12 =0, а начиная со второго мо-

мента и до окончания проекта Ri2 =3 . Аналогично проводятся вычисления для всех остальных работ. После чего находим сумму:

Ri = ∑n Rik . k =1

Данные значения и будут являться окончательными значениями доходности проекта в каждый момент времени и использоваться для нахождения показателей эффективности.

Для нашего примера эти значения будут равны

Экономические показатели эффективности проекта для рассмотренного примера будут таковы:

1.Рентабельность, PI = 1,27;

2.Доходность, d = 4,1 %;

3.Срок окупаемости, nок = 16;

4.Чистый дисконтированный доход, NPV = 28,05;

5.Модифицированная норма доходности, MIRR = 3,4 %.

Лабораторная работа № 4. Оптимизация порядка запуска работ проекта

Проект состоит из n работ, tk – время выполнения k-й работы (в мес.), T = ∑tk +1 – общее время проекта (в мес.). После завершения каждой рабо-

k

ты каждый месяц до окончания проекта будет получен доход в размере Dk .

34

запуска работ, оптимизирующий NPV проекта при заданных условиях, и все показатели экономической инвестиции (рентабельность, доходность, срок окупаемости, NPV, MIRR).

Варианты заданий

7.ОПТИМИЗАЦИЯ ПОРЯДКА ЗАПУСКА РАБОТ ПРОЕКТА

СИНВЕСТИЦИЯМИ В МОМЕНТЫ ЗАПУСКА РАБОТ

Пусть инвестиционный проект состоит из n работ. На выполнение k-й работы требуется время tk (в мес.), срок всего проекта

T = ∑n tk +1.

k =1

35

После завершения каждой работы каждый месяц до окончания проекта будет получен доход в размере Dk . Месячная процентная ставка равна α.

В момент запуска k-й работы вносятся инвестиции в размере ck .

Требуется определить такой порядок запуска работ проекта, при котором NPV всего проекта максимален, для этого воспользуемся теорией расписаний. Иными словами, необходимо указать расписание σ = (i1, i2, …, in) порядка запуска работ, на котором NPV достигает максимального значения.

Рассмотрим два расписания, которые отличаются порядком запуска двух работ:

σ1 = (1, 2, …, k, i, j, k + 3, …, n); σ2 = (1, 2, …, k, j, i, k + 3, …, n).

Определим, при каких условиях NPV (σ1 )≥ NPV (σ2 ). Необходимым

условием выполнения этого неравенства для расписаний σ 1 и σ 2 является

NPV (i, j)≥ NPV (j,i).

Будем считать, что момент начала работ – это момент окончания k-й работы, тогда для расписания σ1 получим следующее распределение дохода во времени:

Для расписания σ2

Откуда получаем

36

где snα = (1 +αα)n −1 .

То есть для того, чтобы найти порядок запуска работ, при котором показатель NPV будет максимален, необходимо упорядочить работы в по-

рядке убывания коэффициентов k2 = Di −ciα(1 +α)ti .

stiα

7.1. Пример

Рассмотрим, как решается задача оптимизации порядка запуска работ проекта с инвестированием в моменты запуска работ и нахождения показателей экономической эффективности полученного проекта.

Пусть имеются исходные данные

Процентная ставка α = 0,02.

Для того чтобы определить порядок запуска работ, вычислим коэф-

Упорядочим их в порядке убывания, получим расписание запуска работ

37

Теперь определим величины Ri для всего времени проекта. Обозначим Rik – доход от k-й работы в момент времени i.

Для первой работы в расписании (работа под номером 2) в момент 0 объем инвестиции равен c2 , последующие t2 периодов Ri2 =0, а начиная со

ся расчет для всех остальных работ. После чего находится сумма для каждого момента t, которая и является окончательным значением Ri :

Экономические показатели эффективности проекта для рассмотренного примера будут таковы:

1.Рентабельность, PI = 1,9;

2.Доходность, d = 5,71 %;

3.Срок окупаемости, nок = 15;

4.Чистый дисконтированный доход, NPV = 36,025;

5.Модифицированная норма доходности, MIRR = 5,73 %.

Заметим, что все показатели экономической эффективности во второй задаче выше, чем в первой.

Лабораторная работа № 5. Оптимизация порядка запуска работ проекта с инвестированием в моменты запуска работ

Проект состоит из n работ, tk – время выполнения k-й работы (в мес.), T =∑tk +1 – общее время проекта (в мес.). После завершения каждой рабо-

k

ты каждый месяц до окончания проекта будет получен доход в размере Dk . В момент запуска работы вносятся инвестиции в размере ck . Месячная процентная ставка α. Требуется определить порядок запуска работ, оптимизи-

38

рующий NPV проекта при заданных условиях, и все показатели экономической инвестиции (рентабельность, доходность, срок окупаемости, NPV).

Исходные данные следует взять из лабораторной работы № 3.

8. ОПТИМИЗАЦИЯ ПОРЯДКА МОДЕРНИЗАЦИИ ОБЪЕКТОВ

Пусть имеется m действующих объектов, каждый из которых дает до-

ход Ak.

Каждый k-й объект можно изъять из оборота для его модернизации. При этом надо затратить ck средств и время tk (в мес.).

После завершения модернизации объект снова становится действующим с доходом Ak + Dk. Предполагаем, что инвестиции вкладываются в момент начала модернизации.

Месячная норма дисконта равна α.

Требуется определить порядок модернизации объектов, чтобы NPV всего проекта был максимален, т. е. необходимо указать расписание σ = (i1, i2, …, in) порядка модернизации объектов, на котором NPV достигает максимального значения.

Рассмотрим два расписания, которые отличаются порядком модернизации двух объектов:

σ1 = (1, 2, …, k, i, j, k + 3, …, n); σ2 = (1, 2, …, k, j, i, k + 3, …, n).

Определим, при каких условиях NPV (σ1 )≥ NPV (σ2 ). Достаточным условием выполнения этого неравенства для расписаний σ1 и σ2 является

NPV (i, j)≥ NPV (j,i).

Будем считать, что момент начала модернизации – это момент окончания модернизации k-го объекта, тогда для расписания σ1 получим следующее распределение дохода во времени:

Для расписания σ2

Откуда получаем

39

Получим окончательную формулу

Кроме того, это же неравенство с учетом коэффициента наращения Stα можно записать в виде

где snα = (1 +αα)n −1 .

То есть для того, чтобы найти порядок модернизации объектов, при котором показатель NPV будет максимален, необходимо упорядочить объ-

Замечание: нетрудно заметить, что коэффициент k3 является общим случаем коэффициентов k1 и k2 , при этом k3 = k2 – Aα.

40