Математическое моделирование инвестиционной деятельности (110

Очевидно, что на величину срока окупаемости, помимо интенсивности поступления доходов, существенное влияние оказывает используемая норма дисконтирования доходов. Естественно, что наименьший срок окупаемости соответствует отсутствию дисконтирования доходов, монотонно возрастая по мере увеличения ставки процента.

На практике могут встретиться случаи, когда срок окупаемости инвестиций не существует (или равен бесконечности). При отсутствии дисконтирования эта ситуация возникает, только если срок окупаемости больше периода получения доходов от производственной деятельности. При дисконтировании доходов срок окупаемости может просто не существовать (стремиться к бесконечности) при определенных соотношениях между инвестициями, доходами и нормой дисконтирования.

В литературе неоднократно отмечался основной недостаток срока окупаемости как показателя эффективности капитальных вложений. Он заключается в том, что этот показатель не учитывает весь период функционирования производства и, следовательно, на него не влияют доходы, которые будут получены за пределами срока окупаемости. В частности, высказывается мнение, что такая мера, как срок окупаемости, должна использоваться не в качестве критерия выбора инвестиционного проекта, а лишь в виде ограничения при принятии решения. Это означает, что если срок окупаемости больше некоторого принятого граничного значения, то инвестиционный проект исключается из состава рассматриваемых.

2.5. Рентабельность

Рентабельность (PI – profitability index) – это отношение приведен-

ной суммы доходов к модулю приведенной суммы расходов. Rt+ – положительный доход;

Rt– – отрицательный доход.

Если величина критерия РI > 100 %, то современная стоимость денежного потока проекта превышает первоначальные инвестиции, обеспечивая тем самым наличие положительной величины NPV; при этом норма рентабельности превышает заданную, т. е. проект следует принять.

При РI < 100 % проект не обеспечивает заданного уровня рентабельности и его следует отвергнуть.

Если РI = 100 %, то инвестиции не приносят дохода, – проект ни прибыльный, ни убыточный.

11

Таким образом, критерий PI характеризует эффективность вложений; именно этот критерий наиболее предпочтителен, когда необходимо упорядочить независимые проекты для создания оптимального портфеля в случае ограниченности сверху общего объема инвестиций.

В отличие от показателя NPV индекс рентабельности является относительным показателем. Он характеризует уровень доходов на единицу затрат, т. е. эффективность вложений (чем больше значение этого показателя, тем выше отдача каждого рубля, инвестированного в данный проект). Поэтому критерий РI очень удобен при выборе одного проекта из ряда альтернативных, имеющих примерно одинаковые значения NPV (в частности, если два проекта имеют одинаковые значения NPV, но разные объемы требуемых инвестиций, то выгоднее тот из них, который обеспечивает большую эффективность вложений), либо при комплектовании портфеля инвестиций с целью максимизации суммарного значения NPV.

2.6. Внутренняя норма доходности

Внутренняя норма доходности (ВНД) – наиболее широко используемый критерий эффективности инвестиций. Внутренняя норма доходности

(общепринятое сокращение IRR – internal rate of return) – это минимальная процентная ставка d, при которой чистая современная стоимость (NPV) равна 0. Проект является доходным, если d > α.

n

IRR = d, при котором NPV = ∑Rti (1+d)−ti = 0. (4)

i=0

Смысл расчета этого коэффициента при анализе эффективности планируемых инвестиций заключается в следующем: IRR показывает максимально допустимый относительный уровень расходов, которые могут быть ассоциированы с данным проектом. Например, если проект полностью финансируется за счет ссуды коммерческого банка, то значение IRR показывает верхнюю границу допустимого уровня банковской процентной ставки, превышение которого делает проект убыточным.

При NPV = 0 современная стоимость проекта равна по абсолютной величине первоначальным инвестициям R0, следовательно, они окупаются. В общем случае чем выше величина IRR, тем больше эффективность инвестиций. Величину IRR сравнивают с заданной нормой дисконта α. При этом если IRR > α, то проект обеспечивает положительную NPV и доходность, равную IRR. Если IRR < α, затраты превышают доходы и проект будет убыточным.

Уровень IRR полностью определяется внутренними данными, характеризующими инвестиционный проект. Никакие предположения об исполь-

12

зовании чистого дохода за пределами проекта не рассматриваются. За рубежом расчет внутренней нормы доходности часто применяется в качестве первого шага при финансовом анализе инвестиционного проекта. Для дальнейшего анализа отбираются те инвестиционные проекты, которые имеют IRR не ниже порогового значения (обычно 15–20 % годовых).

2.7. Модифицированная внутренняя норма доходности

Модифицированная внутренняя норма доходности (MIRR) – скор-

ректированная с учетом нормы реинвестиции внутренняя норма доходности. С практической точки зрения самый существенный недостаток внутренней нормы доходности – это допущение, принятое при определении всех дисконтированных денежных потоков, порожденных инвестицией, что сложные проценты рассчитываются при одной и той же процентной ставке. Для проектов, обеспечивающих нормы прибыли, близкие к барьерной ставке фирмы, проблем с реинвестициями не возникает, так как вполне разумно предположить, что существует много вариантов инвестиций, приносящих прибыль, норма которой близка к стоимости капитала. Однако для инвестиций, которые обеспечивают очень высокую или очень низкую норму прибыли, предложение о необходимости реинвестировать новые денежные поступления может исказить подлинную отдачу от проекта. Понятие скорректированной с учетом нормы реинвестиции внутренней нормы доходности и было предложено для того, чтобы противостоять указанному искажению,

свойственному традиционному IRR.

Несмотря на свое громоздкое название, скорректированная с учетом нормы реинвестиции внутренняя норма доходности, или MIRR, также известная как модифицированная внутренняя норма доходности (modified internal rate of return), в действительности гораздо легче рассчитывается вручную, чем IRR. И это происходит именно вследствие сделанного предположения о реинвестиции.

Порядок расчета модифицированной внутренней нормы доходности

MIRR:

1. Рассчитывают суммарную дисконтированную стоимость всех денежных оттоков и суммарную наращенную стоимость всех притоков денежных средств.

Дисконтирование осуществляют по цене источника финансирования проекта (стоимости привлеченного капитала, ставке финансирования или требуемой нормы рентабельности инвестиций, Capital Cost, CC или WACC), т. е. по барьерной ставке. Наращение осуществляют по процентной ставке, равной уровню реинвестиций.

Наращенную стоимость притоков называют чистой терминальной стоимостью (NTV – net terminal value).

13

2. Устанавливают коэффициент дисконтирования, учитывающий суммарную приведенную стоимость оттоков и терминальную стоимость притоков. Ставку дисконта, которая уравновешивает настоящую стоимость инвестиций (PV) с их терминальной стоимостью, называют MIRR.

Формула для расчета модифицированной внутренней нормы доходности (MIRR):

Rt+ – приток денежных средств в периоде t = 1, 2, ..., n;

Rt− – отток денежных средств в периоде t = 0, 1, 2, ..., n (по абсолют-

ной величине); α – барьерная ставка (ставка дисконтирования), доли единицы;

d – уровень реинвестиций, доли единицы (процентная ставка, основанная на возможных доходах от реинвестиции полученных положительных денежных потоков или норма рентабельности реинвестиций);

n – число периодов.

Влевой части формулы – дисконтированная по цене капитала величина инвестиций (капиталовложений), а в правой части – наращенная стоимость денежных поступлений от инвестиции по ставке, равной уровню реинвестиций.

Вслучае, когда α = d, формула (5) принимает вид:

Отметим, что формула MIRR имеет смысл, если терминальная стоимость притоков превышает сумму дисконтированных оттоков денежных средств (приток денег больше их оттока).

Критерий MIRR всегда имеет единственное значение и может применяться вместо показателя IRR для оценки проектов с неординарными денежными потоками. Проект приемлем для инвестора, если MIRR больше барьерной ставки (цены источника финансирования).

2.8. Пример

Рассчитаем основные показатели эффективности для инвестиционного проекта со следующими входными данными:

α = 20 % – норма дисконта (процентная ставка); n = 10 – количество периодов;

ti = i;

14

Ri – элемент денежного потока. Денежный поток:

Произведем расчеты в соответствии с табл. 1.

1.Как видно из таблицы, NPV = 271,105.

2.Рентабельность PI = 1,6628803.

3.Срок окупаемости nок = 4 месяца.

4.Внутренняя норма доходности IRR = 0,4033529 или 40,33 % при eps = = 0.00001.

5.Модифицированная внутренняя норма доходности МIRR = 0,265 или 26,5 %.

Лабораторная работа № 1. Расчет показателей экономической эффективности инвестиционного проекта

Рассчитать показатели экономической эффективности инвестиционного проекта: чистый дисконтированный доход (NPV), рентабельность (PI), срок окупаемости (nок), внутреннюю норму доходности (IRR).

Варианты заданий

15

3. НЕОРДИНАРНЫЙ ИНВЕСТИЦИОННЫЙ ПРОЕКТ

3.1. Неординарный проект

Неординарный проект – инвестиционный проект с промежуточными инвестициями или инвестициями в конце срока.

Проект с инвестициями только в нулевой момент времени считается ординарным.

Для неординарных проектов возьмем ситуацию, когда внутреннюю норму доходности (IRR) вообще невозможно рассчитать. В самом деле, внутренняя норма доходности рассчитывается из уравнения

∑n Ri (1 +α)−i = 0 .

i=0

Умножим обе части уравнения на (1 + α)–i, тогда

∑n Ri (1 +α)n−i = 0 . i=0

Обозначим (1 + α) = x и

f (x) = R0xn + R1xn – 1 + … + Rn. (6)

Если теперь n = 2k – четное и R0 > 0, то такое уравнение может вообще не иметь действительных корней.

Рассмотрим теперь возможные ситуации на примерах. Пусть поток выглядит следующим образом.

16

Найдем α такую, что NPV = 0:

–15 + 105 / (1 + α) – 95 / (1 + α)2 = 0, –15(1 + α)2 + 105(1 + α) – 95 = 0.

Сделаем замену x = (1 + α),

3x2 – 21x + 19 = 0.

График функции 3x2 – 21x + 19 выглядит следующим образом.

D = 212 – 4 × 3 × 19 = 153, √ D 12,4.

x1 = 1,43 (α = 43 %), x2 = 5,6 (α = 460 %).

Следовательно, α = 43 % – минимальное значение, α = 460 % – максимальное значение, при которых NPV ≥ 0. Если α не принадлежит данному отрезку [43 %, 460 %] то NPV < 0. Рассмотрим аналогично следующий случай.

График функции 2x2 – 6x + 5 выглядит следующим образом.

17

D = 9 – 10 = –1 < 0 действительных корней нет нет внутренней нормы доходности, но NVP всегда положителен.

То есть проект имеет положительный доход при любой норме дисконтирования.

Вернемся теперь к уравнению (6) для ординарного проекта, R0 < 0 и все Ri > 0, i =1, n , тогда при x = 0 f(x) > 0, а limx→0 f (x) = +∞. Таким образом, уравнение (6) всегда имеет вещественные корни, т. е. внутренняя норма доходности (IRR) может быть найдена.

В случае неординарного проекта инвестиции в промежуточных периодах могут быть компенсированы из доходов предыдущих периодов. И для лучшего анализа подобной ситуации можно произвести модификацию неординарного проекта по следующим правилам.

Выбирается последний по времени отрицательный элемент денежного

потока Rk, дисконтируется на один шаг и прибавляется к предыдущему элементу денежного потока Rk – 1 = Rk – 1 + (1 – α)–1Rk; Rk = 0. Если этот элемент

Rk – 1 оказался отрицательным, то подобная процедура производится еще раз. Если элемент Rk – 1 оказался неотрицательным, то отыскивается следующий отрицательный элемент (более ранний) и с ним производится такая же операция. В результате получится денежный поток с инвестициями только в нулевой момент. Такая процедура удобна, например, в том случае, когда для финансирования инвестиционного проекта предполагается взять кредит в начале этого проекта, и тогда R0 показывает общий размер кредита, необходимого для финансирования проекта. Отметим, что у исходного и модифицированного проекта совпадают NPV и срок окупаемости, а рентабельность и внутренняя норма доходности меняются.

3.2. Пример

Пусть инвестиционный проект описывается следующим денежным потоком.

разом (табл. 2).

18

NPV = 271,105 руб. PI = 1,903684.

nок = 4 месяца.

IRR = 0,390821 или 39,08 % при eps = 0,00001. MIRR = 0,279796.

Лабораторная работа № 2. Показатели экономической эффективности модифицированного инвестиционного проекта

Модифицировать инвестиционный проект и рассчитать показатели экономической эффективности инвестиционного проекта: чистый дисконтированный доход (NPV), рентабельность (PI), срок окупаемости (nок),

19

внутреннюю норму доходности (IRR), модифицированную внутреннюю норму доходности (МIRR).

Использовать исходные данные лабораторной работы № 1.

4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕНЕЖНЫХ ПОТОКОВ ПРИ ФОРМИРОВАНИИ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ

Реализация любого инвестиционного проекта сопровождается затратами, которые можно разделить на две большие группы: 1) инвестиционные издержки; 2) производственные (операционные) издержки.

4.1. Инвестиционные издержки

Инвестиционные издержки – это издержки, связанные с формированием основного и оборотного капитала, в том числе приобретение земли, капитальное строительство и т. п. (табл. 4).

Инвестиционные издержки обычно делят следующим образом:

–инвестиции в основной капитал;

–инвестиции в оборотный капитал;

–предынвестиционные расходы.

20