Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Неопределенный интеграл (90

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

374.07 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

sin10xcos7xcos4xdx sin10x[cos7xcos4x]dx

12 sin10xcos11xdx 12 sin10xcos3xdx

14 sin21xdx 1 sin xdx 1 sin13xdx 1 sin7xdx4 44

	1	cos21x	1	cosx	1	cos13x	1	cos7x C.
					52		28
84		4

Иногда при интегрировании тригонометрических функций удобно использовать общеизвестные тригонометрические формулы для понижения порядка функций.

Пример 5.8. Найти неопределенный интеграл.

		dx					4dx		2ctg2x C.
	sin	2	2	x			2
		xcos				sin 2x
Пример 5.9. Найти неопределенный интеграл.
sin4 xdx				1			1			2	1		2dx
								cos2x		dx		(1 cos2x)
					2		2				4

1	(1 2cos2x cos2 2x)dx										1	dx			1	cos2xdx					1	cos2		2xdx
4
										4				2						4
		x	1	sin2x		1		1	(1 cos4x)dx					x			sin2x		1			dx		cos4xdx
			4			4		2						4
	4															4		8
		x	sin2x		x		sin4x			С		1	3x	sin2x				sin4x					C.

	4		4		8			32					2					8
												4

Иногда применяются некоторые нестандартные приемы.

Пример 5.9. Найти неопределенный интеграл.

cos(lnx)dx

lnx;

dx;

eu cosudu

;

du;

dq e

du;

p cosu;

eu cosu eu sinudu

dp sinudu;

;

	dq e		u
p sinu;	dq e			du;			eu cosu eu sinu eu cosudu;
					u		eu cosu eu sinu eu cosudu;
		q e			u
dp cosudu;		q e				;
Итак,		получаем,						что	интеграл
eu cosudu eu (cosu sinu) eu cosudu.									Тогда

eu cosudu eu (cosu sinu) C, делая обратную замену, будем иметь: 2

xcos(lnx)1dx x(cos(lnx) sin(ln x)) C;

cos(lnx)dx	x
		cos		lnx	C.
			4
	2

Раздел 6. Интегрирование некоторых иррациональных

функций

Далеко не каждая иррациональная функция может иметь интеграл,

выраженный элементарными функциями. Для нахождения интеграла от иррациональной функции следует применить подстановку, которая позволит преобразовать ее в рациональную функцию, интеграл от которой может быть найден, как известно, всегда.

Рассмотрим некоторые приемы для интегрирования различных типов иррациональных функций.

ax b

1) Интеграл вида R x,

dx, где n - натуральное число.

cx d

С помощью подстановки n

ax b

t функция рационализируется.

cx d

ax b

dtn b

tn;

;

dt;

cx d

a ct

dtn b

ax b

dtn b

Тогда

dt r(t)dt.

R x,

cx d

a ct

Пример 6.1. Найти неопределенный интеграл.

2dx

4 1 2x t; dt

;

dx 2t3dt

1 2x 4

1 2x

4 1 2x

2t3dt

t2dt

2 t 1

t 1

2 tdt 2 dt 2

2t 2ln

t 1

2ln

1 2x

Если в состав иррациональной функции входят корни различных степеней, то в качестве новой переменной рационально взять корень степени, равной наименьшему общему кратному степеней корней,

входящих в выражение.

Проиллюстрируем это на примере.

Пример 6.2. Найти неопределенный интеграл.

3										4									12										12				4		3	11
3										4									12										12				4		3	11
		x 1									x 1											x 1 t;						x 1 t					(t t )12t dt
		x 1									x 1			dx								x 1 t;						x 1 t		;			(t t )12t dt

(x 1)1
(x 1)1										6 x 1															11	dt;							t12		(1 t2)
																			dx 12t							dt;
	t		3		t	2										t	3								t	2
12	t				t											t				dt					t			dt
12		t		2	1				dt 12						t	2		1		dt				t	2	1		dt
		t			1										t			1						t		1
										t													1									tdt					dt
12	t											dt	1											dt			12 tdt 12							12 dt 12
12	t						t	2				dt	1								t	2		dt			12 tdt 12				t	2	1	12 dt 12			1 t	2
							t			1											t		1								t		1				1 t

6t2 12t 6ln(t2 1) 12arctgt C

66x 1 1212x 1 6ln(6x 1 1) 12arctg12x 1 C.

2) Интегрирование биноминальных дифференциалов.

Определение 6.1. Биноминальным дифференциалом называется

выражение вида: xm(a bxn)p dx, где m, n, p – рациональные числа.

Как было доказано академиком П.Л. Чебышевым (1821-1894),

интеграл от биноминального дифференциала может быть выражен через элементарные функции только в следующих трех случаях:

1) Если p – целое число, то интеграл рационализируется с помощью подстановки:

t x , где - общий знаменатель m и n.

2) Если m 1 - целое число, то интеграл рационализируется n

подстановкой:

t sa bxn , где s – знаменатель числа p.

3) Если m 1 p - целое число, то используется подстановка: n

t s a bxn , где s – знаменатель числа р. xn

Однако, наибольшее практическое значение имеют интегралы от функций, рациональных относительно аргумента и квадратного корня из квадратного трехчлена.

На рассмотрении этих интегралов остановимся более подробно.

3) Интегралы вида R x,ax2 bx c dx.

Существует несколько способов интегрирования такого рода функций. В зависимости от вида выражения, стоящего под знаком радикала, предпочтительно применять тот или иной способ.

Как известно, квадратный трехчлен путем выделения полного квадрата может быть приведен к виду:

u2 m2.

Таким образом, интеграл приводится к одному из трех типов:

R(u,m2 u2 )du;

cost

R(u,u2 m2 )du;

1 способ. Тригонометрическая подстановка

Теорема	6.1. Интеграл вида R(u, m2 u2 )du подстановкой
u msint или	u mcost сводится к интегралу от рациональной функции

относительно sint или .

Пример 6.3. Найти неопределенный интеграл.

x asint;

a2 x2dx

dx acostdt

(1 cos2t)dt

a2t

sin2t C

arcsin

a2 sin2 t acostdt a2 cos2 tdt

a2t a2 sintcost C

2 2

Теорема					6.2.							Интеграл вида																	R(u,				m2 u2 )du												подстановкой
u mtgt		или u mctgt													сводится к интегралу от рациональной функции
относительно sint								или cost .
Пример 6.4. Найти неопределенный интеграл.
																		2							2sint
				dx							x									;dx										dt;								2sintcostdt									1
				dx							x						cost			;dx					cos		2	t		dt;								2sintcostdt									1	ctg4tdt

			2		5/2																																		2			5			5		32
	x(x			4)																															cos						t 2 2		tg		t
	x(x			4)										x		2	4			2tgt;															cos						t 2 2		tg		t
														x			4			2tgt;
	1							1														1															1
			ctg2t										1 dt											ctg2td								(ctgt)								ctg2tdt
	32		ctg2t							2		t	1 dt									32		ctg2td								(ctgt)					32			ctg2tdt
	32					sin						t										32															32
		1		ctg3t				1									1											1			ctg3t						1					t
																				1 dt																			ctgt					C
		96						32										2	t	1 dt																32			ctgt			32		C
		96						32					sin						t								96									32						32
							2															1											1							1					2
							2															1											1							1					2
	ctgt																																									arccos					C.
																					2					3/ 2																				x

						x	2		4									12(x					4)									16 x		2			4			32
						x			4									12(x					4)									16 x					4

2 способ. Подстановки Эйлера (1707-1783)
1) Если а 0, то интеграл вида	R(x,	ax2 bx c)dx

рационализируется подстановкой ax2 bx c t xa .

2) Если а 0 и c 0, то интеграл вида R(x,ax2 bx c)dx


рационализируется подстановкой							ax2 bx c tx		c	.
	3) Если			а 0, а подкоренное выражение					раскладывается на
действительные				множители		-	а(x x1)(x x2),	то интеграл вида

R(x,		ax2 bx c			)dx	рационализируется				подстановкой
	ax2 bx c		t(x x ).
				1

Отметим, что подстановки Эйлера неудобны для практического использования, т.к. даже при несложных подынтегральных функциях приводят к весьма громоздким вычислениям. Эти подстановки представляют скорее теоретический интерес.

3 способ. Метод неопределенных коэффициентов

Рассмотрим интегралы следующих трех типов:

P(x)dx

;

II. P(x) ax2 bx cdx;

III.

;

(x )n

ax2 bx c

где P(x) – многочлен, n – натуральное число.

Причем интегралы II и III типов могут быть легко приведены к виду

интеграла I типа.

Далее делается следующее преобразование:

P(x)dx

Q(x)

ax2 bx c

;

ax2 bx c

ax2

bx c

в этом выражении Q(x) - некоторый многочлен, степень которого

ниже степени многочлена P(x), а - некоторая постоянная величина.

Для нахождения неопределенных коэффициентов многочлена Q(x),

степень которого ниже степени многочлена P(x), дифференцируют обе

части полученного выражения, затем умножают на	ax2 bx c		и,
сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x,	определяют		и
коэффициенты многочлена Q(x).
Данный метод выгодно применять, если степень многочлена		P(x)

больше единицы. В противном случае можно успешно использовать методы интегрирования рациональных дробей, рассмотренные выше, т.к.

линейная функция является производной подкоренного выражения.

Пример 6.5. Найти неопределенный интеграл.

x atgt;dx

dt;

cos

acostdt

cos2 ta4tg4ta

a2 x2

;

cost

cos3tdt

(1 sin2 t)dsint

sin

sint

3/ 2

)

sint

3a4x3

a4x

Теорема

6.3.

Интеграл

вида

R(u,

u2 m2

)du

подстановкой

или u

сводится к интегралу от рациональной функции

sint

cost

относительно sint

или cost .

Пример 6.6. Найти неопределенный интеграл.

3x3 7x2 1

dx (Ax2 Bx C)

x2 2x 5

2 2x 5

Продифференцируем обе части выражения. Затем умножим их на

ax2 bx c , сгруппируем коэффициенты при одинаковых степенях x.

3x3 7x2 1

Ax2 Bx C

(x 1)

(2Ax B)

x2 2x 5

(2Ax B)(x2 2x 5) (Ax2 Bx C)(x 1) =3x3 7x2 1

2Ax3 4Ax2 10Ax Bx2 2Bx 5B Ax3 Bx2 Cx Ax2 Bx C =

3x3 7x2 1

3Ax3 (5A 2B)x2 (10A 3B C)x 5B C 3x3

7x2 1

A 1

5A 2B 7

B 1

10A 3B C 0

C 13

5B C 1

3x3 7x2 1

dx (x2 x 13)

Итого

x2 2x 5

(x 1)2 4

x2 2x 5

=(x2 x 13)

x2 2x 5

7ln(x 1

x2 2x 5)

Пример 6.7. Найти неопределенный интеграл.

(4x2 6x)

(4x2

6x)(x2 3)

x2 3

(Ax3 Bx2 Cx D)

x2 3

4x4 6x3 12x2 18x

x2 3

(Ax3 Bx2 Cx D)x

(3Ax2 2Bx C)

x2 3

4x4 6x3 12x2 18x (3Ax2 2Bx C)(x2 3) Ax4 Bx3 Cx2 Dx

4x4 6x3 12x2 18x

3Ax4 2Bx3 Cx2 9Ax2 6Bx 3C Ax4 Bx3 Cx2 Dx

4x4 6x3 12x2 18x 4Ax4 3Bx3 (2C 9A)x2 (6B D)x 3C

A 1;

B 2;

C 3/2;

D 6;

9/2;

(4x2 6x)

x2 3dx x3 2x2

x 6

x2 3

Пример 6.8. Найти неопределенный интеграл.

;

x2 1

1 v2

(Av B)

1 v2

(Av B)v

1 v

1 v2

v2 A Av2 Av2 Bv

v2 2Av2 Bv A

A 1/2;					B 0;		1/2;
		2
	v	2	dv			v 1 v		2	1		1	x	2		1	1
	v		dv			v 1 v			1	arcsinv	1	x			1	1		C
																arcsin
							2		2		2	x		2			x
	1 v			2										2
	1 v

Второй способ решения того же самого примера.

tgt

sint

;dx

dt;

cos

cost

1 tgt;

tgt

cos

sintcos4 t

cos2 tdt

1 cos2t dt

sin2t

cos tsint

sin2t 2sintcost 2

arccos

С учетом того, что

функции

arcsinx

arccosx

связаны

соотношением arcsin

arccos

а постоянная интегрирования С –

произвольное число, ответы, полученные различными методами,

совпадают.

Как видно, при интегрировании иррациональных функций можно применять различные рассмотренные выше приемы. Выбор метода интегрирования обуславливается в основном наибольшим удобством,

очевидностью применения того или иного метода, а также сложностью вычислений и преобразований.

Пример 6.9. Найти неопределенный интеграл.

x sint;

costdt

dx costdt;

tgt C

(1 x2)3/2

cos3 t

cos2 t

1 x2

1 x

cost

Рассмотрим несколько примеров, в которых интегралы не

выражаются через элементарные функции.

К таким интегралам относится интеграл вида R(x,P(x))dx, где

P(x) - многочлен степени выше второй. Эти интегралы называются

эллиптическими.

Если степень многочлена P(x) выше четвертой, то интеграл называется ультраэллиптическим.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]