Неопределенный интеграл (90

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

dv sin xdx;

1) x2 sin xdx

x2 cosx cosx 2xdx

dv cosxdx;

x2 cosx 2 xsinx sin xdx

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

374.07 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Сделаем

замену

t sin x, dt cosxdx. Тогда данный интеграл

сводится

интегралу

t3/2 C

sin3/2

x C

sin3 x

tdt t1/2dt

Пример 2.6. Найти неопределенный интеграл x(x2 1)3/2 dx.

Решение.

Замена t x2 1;

dt 2xdx;

;

Получаем:

t3/2

t3/2dt

t5/2 C

t5/2

(x2 1)5/2

Ниже будут рассмотрены другие примеры применения метода подстановки для различных типов функций.

3) Метод интегрирования по частям.

Метод основан на следующей формуле:

udv uv vdu	(2.2)
Поскольку d(uv) udv vdu	или udv d(uv) vdu. Проинтегрировав

обе части последнего равенства и применив свойства неопределенного интеграла, получим требуемую формулу udv uv vdu.

Формула интегрирования по частям позволяет находить интегралы многих элементарных функций. Она применяется к интегрированию выражений, которые можно так представить в виде произведения двух сомножителей u и dv, чтобы отыскание функции v по ее дифференциалу dv и вычисление интеграла vdu составляли в совокупности задачу более

простую, чем непосредственное вычисление интеграла udv. Умение разбивать разумным образом данное подынтегральное выражение на множители u и dv вырабатывается в процессе решения задач. Мы покажем на ряде примеров как применяется данный метод.

Пример 2.7. Найти неопределенный интеграл xcosxdx.

Решение.
u x;	dv cosxdx;		xsin x sin xdx xsin x cosx C
xcosxdx		v sin x	xsin x sin xdx xsin x cosx C
du dx;		v sin x

Замечание 2.1. При определении функции v по дифференциалу dv

мы можем брать любую произвольную постоянную, так как в конечный результат она не входит (что легко проверить, подставив в равенство (2.2)

вместо v	выражение	v С). Поэтому	удобно считать	эту постоянную
равной нулю.
Метод интегрирования по частям применяется, как правило, при
нахождении интегралов следующего вида:
xk cosaxdx,		xk sinaxdx,
xkeaxdx,		xk lnaxdx.
Также этот метод применяется к интегралам, содержащим некоторые
обратные	тригонометрические		функции,	такие	как

arcsin x, arccosx, arctgx, arcctgx.

Пример 2.8. Вычислим следующие неопределенные интегралы:

x2 cosx 2xsin x 2cosx C .

u ln x;

dv xdx;

x2 ln x 1

xln xdx

ln x

xdx

dx;

;

2 x

ln x

(2ln x 1) C.

;

dv e

dx;

u x

3) x

2xdx

e5x

du 2xdx;

;

x2e5x

dv e

dx;

x2e5x

2 xe5x

u x;

du dx; v

;

5 5

x2e5x

2xe5x

x2e5x

2xe5x

2e5x

125

e5x

С.

ln x

u ln x;

dx;

ln x

2x2

dx;

;

ln x 1 dx

ln x 1

ln x

x 2

u arccosx;

dv dx;

5) arccosxdx

xarccosx

dx; v x

1 x2

1 x

t 1 x

dt 2xdx xdx

xarccosx

1 x2

C .

6) Рассмотрим так называемые «круговые интегралы», которые

находятся с помощью двукратного применения формулы интегрированием

по частям.
		2x	;	du	2e	2x	dx;
e2x	u e		;	du	2e		dx;	e2x sin x sin x 2e2xdx
e2x	cosxdx							e2x sin x sin x 2e2xdx
	dv cosxdx;				v sin x

u e2x;	du 2e2xdx;
			e2x sinx 2 e2x cosx cosx 2e2xdx
dv sinxdx;		v cosx;

e2x sinx 2e2x cosx 4 cosxe2xdx.

Видно, что в результате повторного применения метода интегрирования по частям функцию не удалось свести к табличному виду.

Однако, последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства. В результате имеем:

5 e2x cosxdx e2x (sin x 2cosx).

e2x cosxdx e2x (sin x 2cosx) C. 5

Таким образом, интеграл найден вообще без применения таблиц интегралов.

Прежде чем рассмотреть подробно методы интегрирования различных классов функций, приведем еще несколько примеров нахождения неопределенных интегралов приведением их к табличным интегралам. Среди них рассмотрим применение частного случая метода подстановки – «внесение функции под знак дифференциала».

Пример 2.9. Найдем следующие неопределенные интегралы: 1)

	20		1		1		20
(2x 1)		dx d(2x 1) 2dx dx		d(2x 1)		(2x 1)		d(2x 1)
(2x 1)		dx d(2x 1) 2dx dx	2	d(2x 1)	2	(2x 1)		d(2x 1)
			2		2

{2x 1 t}

t20 dt

t21

(2x 1)21

2 x2

4 x4

2 x2

arcsin

x2 2

3)		cosx	dx sin 3/2 xcosxdx cosxdx d(sin x) sin x t;


		sin3 x
t 3/2dt 2t 1/2				C 2sin 1/2 x C	2	C.


					sin x
4)	ecos2 x sin2xdx

d(cos2 x) 2cosxsinxdx sin2xdx t cos2 x sin2xdx dt;

etdt et C ecos2 x C .

t x t2

dx 2tdt

(x 1)

2tdt

2arctgt C 2arctg

C .

1)t

Метод внесения функции под знак дифференциала был применен в

первом, третьем и четвертом случаях примера 9.

Раздел 3. Интегрирование элементарных дробей

Определение 3.1. Элементарными называются дроби следующих

четырех типов:

;

III

Mx N

;

ax b

ax2 bx c

;

Mx N

(3.1)

(ax b)m

(ax2 bx c)n

где m,n N, m 2, n 2,

b2 4ac 0.

Первые два типа интегралов от элементарных дробей довольно

просто приводятся к табличным интегралам подстановкой t ax b.

Интегрирование дробей I-го типа:

ax b

C .

ax b

t a

Интегрирование дробей II-го типа:

t m 1

(ax b)

a(m 1)t

m 1

a ( m 1)

a(m 1)(ax b)m 1

Рассмотрим метод интегрирования элементарных дробей III типа.

Для начала рассмотрим дробь более простого вида, которая в числителе содержит единицу, а в знаменателе квадратный трехчлен, т.е. это дробь

вида: I1

Этот же метод

применим

и к

дроби

вида:

ax2

bx c

ax2 bx c

Для

вычисления

неопределенных

интегралов

от

этих

дробей

необходимо сначала в знаменателе выделить полный квадрат, затем

привести

табличным

интегралам

подстановкой

t x k,

где

dt d(x k) dx.

Выделение полного квадрата осуществляется следующим образом:

bx c a

a x

Пример 3.1. Найдем следующие неопределенные интегралы,

содержащие квадратный трехчлен:

dx d(x 1)

x2 2x 8

x2 2x 1 9

d(x 1)

x 1 t

9 (x 1)2

arcsin

C arcsin

x 1

32 t2

{x 3 t}

x 3

arctg

(x 3)

6x 25

Интеграл дроби типа III может быть представлен в виде:

Ax B

dx d(x2 px q) (2x p)dx

px q

(2x p) (B

)

2x p

px q

A d(x2 px q)

x2 px q

px q

x2 px q

arctg

C .

Здесь в общем виде показано приведение интеграла от дроби типа III

к двум табличным интегралам. Аналогично находятся интегралы от дробей, которые, в общем-то, не являются элементарными, это дроби вида

I	Mx N	.
I		.
	ax2 bx c

Рассмотрим применение указанной выше формулы на примерах.

Пример 3.2. Найдем следующий неопределенный интеграл.

		7x 2		dx d(3x2 5x 4) (6x 5)dx											7	(6x 5)		23
		7x 2													6	(6x 5)		6	dx
3x		2														2			dx
3x			5x 4												3x		5x 4
	7		(6x 5)dx		23	1					dx
6			3x2 5x 4		6	3	x	2	2	5	x	25	25	4
							x		2	6	x	36	36	3
										6		36	36	3

3x2 5x 4

arctg

Вообще

говоря,

если у

трехчлена

ax2 bx c

выражение

b2 4ac 0, то дробь по определению не является элементарной, однако,

тем не менее, ее можно интегрировать указанным выше способом.

Пример 3.3. Найдем неопределенный интеграл.

5x 3

u x 3;

du dx;

(x 3)2 49

x2 6x 40

x u 3;

5u 15 3

du 5

udu

u2 49

u 7

u2 49

u 7

x 4

6x 40

x 10

u x 3;

du dx;

3x 4

7 x2 6x

16 (x 3)2

x u 3;

3u 9 4

udu

3 16 u2

du 3

13arcsin

16 u2

37 x2 6x 13arcsin x 3 C. 4

Рассмотрим теперь методы интегрирования простейших дробей IV

типа.

Сначала рассмотрим частный случай когда М 0, N 1.

Тогда

интеграл

вида

можно

путем

выделения в

(ax2

bx c)n

знаменателе

полного

квадрата представить

в виде

. Сделаем

следующее преобразование:

u2 u

u2du

2 n

n 1

(u s)

Второй интеграл, входящий в это равенство, будем брать по частям.

udu

; u

du;

Обозначим:

udu

;

n 1

2(n 1)(u

u2du

(2n

2)(u

n 1

2n 2

n 1

Для исходного интеграла получаем:

n 1

s(2n 2)(u

n 1

s(2n 2)

n 1

;

2n 3

s(2n 2)(u

n 1

s(2n 2)

n 1

Полученная формула называется рекуррентной. Если применить ее

(n 1) раз,

то получится табличный интеграл

Вернемся теперь к интегралу от элементарной дроби типа IV в

общем случае.

Mx N

dx (4a)n

Mx N

(ax2 bx c)n

(2ax b)2 (4ac b2) n

u 2ax b;

du 2adx;

M(u b)

(4a)n

u b

;

4ac b

;

(4a)n M

udu

2aN Mb

В полученном равенстве первый интеграл с помощью подстановки

t u2

приводится к

табличному

ко

второму интегралу

применяется рассмотренная выше рекуррентная формула.

Несмотря на кажущуюся сложность интегрирования элементарной дроби вида IV, на практике его достаточно легко применять для дробей с небольшой степенью n, а универсальность и общность подхода делает возможным очень простую реализацию этого метода на ЭВМ.

Пример 3.4. Найдем неопределенный интеграл.

3x 5

u x 2;

du dx;

(x2 4x 7)2

((x 2)2 3)2

u 2;

3u 6 5

du 3

udu

t u2

dt 2udu;

(u2

3)2

(u2 3)2

(u2

3)2

11u

arctg

3 2

3 2(u

6(u

3) 6 3

11(x 2)

arctg

2(x

2 4x 7)

6(x2 4x 7) 6 3

Раздел 4. Интегрирование рациональных функций

Всякую рациональную функцию можно представить в виде

рациональной дроби, т.е.

V(x)	B xm	B xm 1	B	xm 2 ... B		x B	m
	0	1	2	m 1			m	.
P(x)	A xn	A xn 1	A					.
P(x)	A xn	A xn 1	A	xn 2 ... A	x A
	0	1	2	n 1		n

Допустим, что эти многочлены не имеют общих корней. В этом случае возможно:

1)m n, тогда данная рациональная дробь неправильная;

2)m n, тогда данная рациональная дробь правильная.

Если дробь неправильная, то необходимо разделить числитель на знаменатель по правилу деления многочлена на многочлен. В этом случае получим сумму какого-то многочлена и правильной рациональной дроби,

т.е.:

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]