Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Неопределенный интеграл (90

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

374.07 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

V(x)

M(x)

Q(x)

(4.1)

P(x)

Пример 4.1. Представить неправильную рациональную дробь в виде

(4.1).

x4 3

x2 2x 3

4x 6

x2 2x 1

_x4 3

x2 2x 1

x4 2x3 х2

x2 2x 3

_ 2x3 х2 3

2x3 4х2 2х

_3x2 2х 3

3x2 6х 3

4х 6

Таким образом, замечаем, что при интегрировании рациональных дробей, основную трудность представляют правильные рациональные дроби.

Для того чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить ее на элементарные дроби.

Теорема 4.1. Пусть R(x) Q(x) - правильная рациональная дробь.

P(x)

Знаменатель Р(х) данной дроби всегда может быть представлен в виде:

Р(х) (х а) ...

(х b) (x2 px q) ...

(x2 rx s) , где a,...,b - это

различные действительные корни многочлена Р(х) соответствующей

кратности ,..., , а (x2 рх q) ,...,(х2 rx s) - множители, которые

соответствуют каждой паре комплексных корней этого многочлена

кратности ,..., .

Тогда	существуют	действительные	числа
Ai(i 1,..., ), Bi	(i 1,..., ), Mi, Ni(i 1,..., ), Ri, Si(i 1,..., ), такие что, эта

дробь может быть разложена на элементарные дроби по следующей схеме:

Q(x)

...

P(x)

(x a)2

(x a)

(x b)

(x b)2

(x b)

x a

M1x N1

M2x N2

...

M x N

...

R1x S1

x2 px q

(x2 px q)2

(x2 px q)

x2 rx s

R x S

...

(4.2)

(x2 rx s)

(x2 rx s)2

Замечание 4.1. В разложении этой дроби число слагаемых равно

... ... .

Итак, при интегрировании правильных рациональных дробей прибегают к разложению исходной дроби на элементарные. Для

нахождения	величин		Ai(i 1,..., ), Bi(i 1,..., ), Mi,
Ni(i 1,..., ), Ri, Si(i 1,..., )		применяют	метод	неопределенных

коэффициентов, суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х.

Применение этого метода рассмотрим на конкретном примере.

Пример 4.2. Найти неопределенный интеграл.

9x3 30x2 28x 88dx. (x2 6x 8)(x2 4)

Заметим, что (x2 6x 8)(x2 4) (x 2)(x 4)(x2 4). Поэтому,

подынтегральная правильная рациональная дробь, в силу теоремы 4.1,

разложится на следующие слагаемые:

9x3 30x2 28x 88		A	B		Cx D		.
(x 2)(x 4)(x2	4)	x 2	x	4	x2	4

Приводя к общему знаменателю правую часть равенства и,

приравнивая соответствующие числители, получаем:

A(x 4)(x2 4) B(x 2)(x2 4) (Cx D)(x2 6x 8) 9x3 30x2 28x 88

В левой части последнего равенства раскроем скобки, приведем подобные слагаемые, а затем вынесем за скобки соответствующие степени

х. В результате получим:

(A B C)x3 ( 4A 2B 6C D)x2 (4A 4B 8C 6D)x

( 16A 8B 8D) 9x3 30x2 28x 88.

Приравнивая соответствующие коэффициенты при одинаковых

степенях х, получаем следующую систему:

A B C 9

4A 2B 6C D 30	;
	;
4A 4B 8C 6D 28

16A 8B 8D 88

C 9 A B

D 30 4A 2B 54 6A 6B	;
	;
2A 2B 4C 3D 14

2A B D 11
C 9 A B

D 24 2A 4B	;
	;

2A 2B 36 4A 4B 72 6A 12B 14

2A B 24 2A 4B 11

C 9 A B

D 24 2A 4B

;

4A 10B 50

4A 5B 35

C 9 A B		C 9 A B		A 5

D 24 2A 4B	;	D 24 2A 4B	;	B 3	.
	;		;		.
4A 10B 50		4A 10B 50		C 1
50 10B 5B 35		B 3		D 2

Итого:

9x3 30x2 28x 88

Cx D

6x 8)(x

x 2

53 x 2

x 2dx x 4dx x2 4dx

5ln x 2 3ln x 4 x2 4dx x2 4dx

5ln x 2 3ln x 4 1ln(x2 4) arctg x C.

2 2

Пример 4.3. Найти неопределенный интеграл.

6x5 8x4 25x3 20x2 76x 7dx. 3x3 4x2 17x 6

Так как дробь неправильная, то предварительно следует выделить

целую часть, а именно, представить эту дробь по формуле (4.1).

_6x5 8x4 25x3 20x2 76x 7

3x3 4x2 17x 6

6x5 8x4 34x3 12x2

2x2 3

_9x3 8x2 76x 7

9x3 12x2 51x 18

Итак,

20x2 25х 25

25x

20x

76x 7

20х

25х 25

2х

17x 6

17х 6

3х

3 3х

4х2 5х 5

3х

17х 6

Знаменатель подынтегральной дроби имеет корень x 3. Поэтому разделим его на двучлен (x 3) и представим данный знаменатель в виде линейных множителей (операция деления кубического многочлена на двучлен приведена ниже):

3x3 4x2 17x 6=(x 3) (3x2 5х 2)=(x 3) (x 2) (3x 1).

Следовательно,

4x2 5x 5	A	B	C
				.

(x 3)(x 2)(3x 1)	x 3	x 2	3x 1

A(x 2)(3x 1) B(x 3)(3x 1) C(x 3)(x 2) 4x2 5x 5.


3x3 4x2 17x 6			x 3
3x3 9х2			3x2 5х 2
	_5x2 17х 6
	5x2 15х
	_ 2x 6
	_ 2x 6
		2x 6

Для того чтобы избежать при нахождении неопределенных коэффициентов раскрытия скобок, группировки и решения системы уравнений (которая в некоторых случаях может оказаться достаточно большой) применяют метод произвольных значений. Суть метода состоит в том, что в полученное выше выражение подставляются поочередно несколько (по числу неопределенных коэффициентов)

произвольных значений х. Для упрощения вычислений принято в качестве произвольных значений принимать точки, при которых знаменатель дроби равен нулю, т.е. в нашем случае – 3, -2, 1/3. Получаем:

40A 16											A 2/5

35B 21;											B 3/5

C 1											C 1
							1
Возвращаясь к равенству , будем иметь:
1	2				dx				dx						dx
		x3 3x	3			2					5
	3	x3 3x	3	x 2		2			x 3		5			3x 1
	2	x3 3x 3ln			x 2			2ln		x 3			5		ln	3x 1	C.
	2												5

	3											3
	3											3

Пример 4.4. Найти неопределенный интеграл.

3x4

14x2

7x 15

Bx C

Dx E

(x 3)(x

x 3

Найдем неопределенные коэффициенты:

A(x2 2)2 (Bx C)(x 3) (Dx E)(x 3)(x2 2) 3x4 14x2 7x 15.

Ax4 4Ax2 4A Bx2 3Bx Cx 3C Dx4 2Dx2 3Dx3 6Dx

Ex3 2Ex 3Ex2 6E (D A)x4 (3D E)x3 (A B 2D 3E 4A)x2

(3B C 6D 2E)x (2A 3C 6E 4A) 3x4 14x2 7x 15.

D A 3	D 3 A
3D E 0	E 9 3A


B 2D 3E 4A 14;	B 6 2A 27 9A 4A 14;
3B C 6D 2E 7	3B C 18 6A 18 6A 7


3C 6E 4A 15	3C 54 18A 4A 15

D 3 A	D 3 A

E 9 3A	E 9 3A
		;
B 11A 35 ;	11A 35 B	;
3B C 7	C 7 3B


3C 22A 69	21 9B 70 2B 69

Итак, заданный интеграл будет равен:

A 3

B 2

C 1 .D 0

E 0

2x 1

dx 3

x 3

(x2 2)2

x 3

(x2 2)2

3ln

x 3

arctg

x2 2

4(x2

2) 4 2

Раздел 5. Интегрирование некоторых

тригонометрических функций

Интегралов от тригонометрических функций может быть бесконечно

много. Большинство из этих интегралов вообще нельзя найти

аналитически, поэтому рассмотрим некоторые главнейшие типы функций,

которые могут быть проинтегрированы всегда. 1) Интеграл вида R(sin x,cosx)dx.

В подынтегральном выражении буква R означает некоторую рациональную функцию от переменных sinx и cosx.

Интегралы этого вида находятся с помощью подстановки t tg x .

Эта подстановка позволяет преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную функцию. Для этого необходимо применить следующие тригонометрические тождества:

2tg

1 tg

2 x

1 t2

sin x

cosx

;

2 x

1 tg

1 t2

1 tg

1 t2

Тогда x 2arctgt,

2dt

1 t2

Таким образом:

1 t2

R(sinx,cosx)dx

1 t

2 ,

1 t

2 dt r(t)dt.

Описанное выше преобразование называется универсальной

тригонометрической подстановкой.

Пример 5.1. Найти неопределенный интеграл.

2dt

1 t2

4sin x 3cosx 5

1 t

8t 3 3t

5 5t

1 t2

4t 4

(t 2)

t 2

8t 8

Несомненным достоинством этой подстановки является то, что с ее помощью всегда можно преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную функцию и найти соответствующий интеграл. К

недостаткам можно отнести то, что при преобразовании может получиться достаточно сложная рациональная функция, интегрирование которой займет много времени и сил.

Однако при невозможности применить более рациональную замену переменной этот метод является единственно результативным.

Пример 5.2. Найти неопределенный интеграл.

2dt

9 8cosx sinx

8(1 t )

2t 17

(1 t2) 9

1 t2

t 1

arctg

(t 1)

Интеграл

вида

R(sin x,cosx)dx,

если функция

является

нечетной относительно cosx.

Несмотря на возможность нахождения такого интеграла с помощью


универсальной	тригонометрической				подстановки,	рациональнее
применить подстановку t sinx.
R(sin x,cosx)dx		R(sin x,cosx)		cosxdx

			cosx
Функция	R(sin x,cosx)		может содержать cosx			только в четных

	cosx

степенях, и, следовательно, может быть преобразована в рациональную функцию относительно sinx: R(sin x,cosx)dx r(sin x)cosxdx r(t)dt.

Пример 5.3. Найти неопределенный интеграл.

cos7 xdx

sin x t

(1 t

2)3

1 3t2

3t4 t6

dt cosxdx

sin4 x

x 1 sin2 x

cos2

3 dt t2dt

3t3

3sinx

sin

3 x

3sin3 x

sinx

Вообще говоря, для применения этого метода необходима только

нечетность

функции относительно

cosx,

степень sinx,

входящего в

функцию может быть любой, как целой, так и дробной.

3) Интеграл вида R(sin x,cosx)dx,

если функция

R является

нечетной относительно sinx.

По аналогии с рассмотренным выше случаем делается подстановка

t cosx. Тогда получаем

интеграл R(sin x,cosx)dx r(cosx)sinxdx r(t)dt.

Пример 5.4. Найти неопределенный интеграл.

sin

cosx t

1 t

4t 4 4t 5

2 t

2 cosx

dt sin xdx

t 2

(t 2)2 4t 5

t 2

tdt

tdt 2dt 4

5ln

t 2

2t 5ln

t 2

2t 5ln

t 2

8ln

t 2

4t С

2t 3ln

t 2

cos2 x

2cosx 3ln(cosx 2) C.

Интеграл

вида

R(sin x,cosx)dx,

если

функция

R четная

относительно sinx и cosx.

Для преобразования функции R в рациональную функцию используется подстановка t tgx.

В этом случае R(sin x,cosx)dx r(t)dt.

Пример 5.5. Найти неопределенный интеграл.

sin2 x 6sin xcosx 16cos2 x [разделим числитель и знаменатель

дроби на cos2 x 0] =

tgx t;

cos2 x

tg2x 6tgx 16

dx d(tgx) dt

cos

tgx 3 5

tgx 2

6t 16

(t 3)

tgx 3 5

tgx 8

5) Интеграл от произведения синусов и косинусов различных аргументов.

В зависимости от типа произведения применятся одна из трех формул:

а) cosmxcosnxdx 12 cos(m n)x cos(m n)x dx

	1	sin(m n)x				sin(m n)x
															.
	2		m n							m n					.
	2		m n							m n
б) sinmxcosnxdx											1		sin(m n)x sin(m n)x dx
б) sinmxcosnxdx													sin(m n)x sin(m n)x dx
									2
	1		cos(m n)x						cos(m n)x
																	.
	2		m n										m n				.
	2		m n										m n
в) sinmxsinnxdx										1		cos(m n)x cos(m n)x dx
в) sinmxsinnxdx												cos(m n)x cos(m n)x dx
									2
	1		sin(m n)				sin(m n)
														.
	2		m n							m n				.
	2		m n							m n
Пример 5.6. Найти неопределенный интеграл.
sin7xsin2xdx					1			cos5xdx								1		cos9xdx		1	sin5x		1	sin9x C.
sin7xsin2xdx								cos5xdx										cos9xdx	10		sin5x	18		sin9x C.
				2										2					10			18

Пример 5.7. Найти неопределенный интеграл.

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]