4. Частные производные функции нескольких переменных

Частная производная функции z=f(x,y) по аргументу x является обыкновенной производной функции одной переменной x при фиксированном значении переменной y и обозначается , , . Аналогично определяется частная производная функции z=f(x,y) по переменной y. Частная производная функции характеризует скорость ее изменения по данной координате при фиксированных значениях других координат.

Пример 1. Дана функция . Найти частные производные.

Решение. , .

Пример 2. Найти предельные показатели выпуска продукции Y при изменениях одного из факторов: затрат капитала К или величины трудовых ресурсов L – по функция Кобба-Дугласа

.

Решение. Частные производные этой функции

,

дают решение сформулированной выше задачи. Очевидно, что в функции Кобба-Дугласа степени и 1- представляют собой, соответственно, коэффициенты эластичности E_K(Y) и E_L(Y).

Задание 4. Найти частные производные первого и второго порядка функций.

№	Задания
1	а) б)
2	а) б)
3	а) б)
4	а) б)
5	а) б)
6	а) б)
7	а) б)
8	а) б)
9	а) б)
10	а) б)
11	а) б)
12	а) б)
13	а) б)
14	а) б)
15	а) б)
16	а) б)
17	а) б)
18	а) б)
19	а) б)
20	а) б)
21	а) б)
22	а) б)
23	а) б)
24	а) б)
25	а) б)
26	а) б)
27	а) б)
28	а) б)
29	а) б)
30	а) б)

5. Производная функции по направлению и градиент

Производной функции u=f(x,y,z) по направлению вектора l(a,b,c) называют выражение

.

Производная по направлению характеризует величину скорости изменения функции в направлении вектора l.

Градиентом функции u=f(x,y,z) называют вектор grad u = , который характеризует направление и величину максимальной скорости возрастания функции u=f(x,y,z) в точке.

Задание 4. Найти производную функции z=f(x,y) по направлению вектора l(-3,4,) и ее градиент в точке М(2,-3). Определить величину скорости изменения заданной функции в точке М в направлении этого вектора и в направлении градиента. Сравнить полученные значения.

№	z=f(x,y)	№	z=f(x,y)
1		16
2		17
3		18
4		19
5		20
6		21
7		22
8		23
9		24
10		25
11		26
12		27
13		28
14		29
15		30

Типовой пример. Найти производную по направлению вектора l(3,-4,) функции и градиент в точке М(2,-3). Определить величину скорости изменения заданной функции в точке М в направлении этого вектора и в направлении градиента. Сравнить полученные значения.

Решение. Производная по направлению равна

или = . Ее значение в точке М равно 0,2∙(12∙2-24∙(-3)+15)=22,2. Следовательно, величина скорости изменения функции в точке М в направлении данного вектора равна 22,2. Градиент функции равен grad z = (4x+5, 6y), в точке М равен (13, -18). Величина скорости изменения функции в точке М в направлении вектора-градиента равна = 22,204.

13