3. Поверхности 2-го порядка

На практике наиболее часто используют функции, содержащие целую степень независимых переменных, не превышающих двух. Графики таких функций называют поверхностями 2-го порядка. Для случая функции двух переменных существует пять типов поверхностей 2-го порядка. Их уравнения и графики перечислены ниже.

z

y

x

Рис. 5. Эллипсоид

z

y

x

Рис. 6. Однополостный гиперболоид

z

y

z

z

x

Рис.7 Двуполостный гиперболоид

z

y

x

Рис. 8. Эллиптический параболоид

z

y

x

Рис.9. Гиперболический параболоид

Задание 2. Дано уравнение линии на координатной плоскости. Найти уравнение поверхности вращения вокруг одной из осей координат и сделать схематический чертеж. Сделать тоже для другой оси.

№	Уравнение линии	№	Уравнение линии
1		16
2		17
3		18
4		19
5		20
6		21
7		22
8		23
9		24
10		25
11		26
12		27
13		28
14		29
15		30

Типовой пример. Дано уравнение линии на плоскости. Найти уравнение поверхности вращения вокруг одной из осей координат и сделать схематический чертеж. Сделать тоже для другой оси.

Решение. Сначала найдем уравнение поверхности вращения вокруг оси y. Используем правило: переменная y остается без изменения, а вместо переменной z вставляется выражение . Получаем уравнение поверхности вращения или . Это уравнение эллипсоида вращения с полуосями a= , b= , c= (см. рис. 5).

При вращении линии вокруг оси z получаем уравнение поверхности вращения , которое тоже является уравнением эллипсоида вращения, но с другими с полуосями a= , b= , c= .

Задание 3. Даны уравнения поверхностей в пространстве. Построить схематично каждую поверхность в отдельной системе координат; используя эти чертежи, построить тело, ограниченное данными поверхностями.

№	Уравнения поверхностей
1	; ; ; ; .
2	; .
3	; ; .
4	; .
5	; ; .
6	; ; ; .
7	; .
8	; .
9	; .
10	; ; ; ; .
11	; ; y=0; z=0
12	; ; x=0; y=0; z=0
13	; x+y=2; x=0; y=0; z=0
14	; x+y=1; x=0; y=0; z=0
15	z=6-y; y=x2; y=4; z=0; (y≤4)
16	z=2y; ; x=0; z=0
17	z=x2+y2/3; x+y=3; x=0; y=0; z=0
18	z=2x; y=x2/2; x=2; y=0; z=0
19	; x+2y=2; x=0; y=0; z=0
20	z=y2+2; x=3; y=2; x=0; y=0; z=0
21	z=9-y2; y=x; y=3; x=0; z=0
22	; x+y=3; x=0; y=0; z=0
23	z=x2/4+y+1; x+y=4; x=2; x=0; y=0; z=0
24	; x+y=3; x=0; y=0; z=0
25	z=x+y+2; y=2x; x=3; x=0; y=0; z=0
26	z=x2+y2; y=x; y=2x; x=2; z=0
27	z=6-x-y; 2x+y=4; x=0; y=0; z=0
28	z=12-3x2; 2x+y=4; x=0; y=0; z=0
29	z=x2+1; 4x+3y-12=0; x=0; y=0; z=0
30	z=3x+2y; ; x=0; y=0; z=0

Типовой пример. Даны уравнения поверхностей в пространстве , , , , . Построить тело, ограниченное данными поверхностями.

Решение. Заданное тело ограничено бесконечным круговым цилиндром с радиусом , координатными плоскостями и плоскостью (см. рис. 10)

z

y

x

Рис. 10