2. Некоторые виды функции нескольких переменных

Пример 1. Уравнение вида

Ax+By+Cz+D=0

называется общим уравнением плоскости в системе координат Oxyz. Вектор N=(A, B, C) перпендикулярен плоскости. Если С≠0, то уравнение плоскости определяет функцию двух переменных

.

Если плоскость проходит через точку M₀(x₀, y₀, z₀), то она может быть задана уравнением

A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0.

Для построения плоскости в пространстве используют линии пересечения данной плоскости с координатными плоскостями. Например, построим плоскость . Если , то линия пересечения с координатной плоскостью Oxy имеет уравнение , строим эту прямую. Аналогично строим прямые линии при значениях и (см. рис. 2)

z

O y

x

Рис. 2

Пример 2. Уравнение вида в пространстве определяет цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси z, и направляющей линией на плоскости Oxy c уравнением .

z

R y

R

x

Рис. 3

Например, уравнение x²+y²=R² в пространстве определяет бесконечный круговой цилиндр (см. рис. 3). Аналогично можно рассматривать уравнения вида или , которые определяют цилиндрическую поверхность с образующей, параллельно соответственно оси y и оси x .

Пример 3. Пусть линия на плоскости Oxy имеет уравнение и вращается вокруг оси y. Уравнение поверхности вращения получается из уравнения по правилу: переменная y остается без изменения, а вместо переменной x вставляется выражение . Аналогично можно получить уравнение поверхности вращения вокруг оси x, а также применять это правило для линий, расположенных в других координатных плоскостях.

Например, пусть парабола вращается вокруг оси z. Тогда, используя приведенное выше правило, получаем уравнение поверхности вращения или . Полученная поверхность называется параболоидом вращения (см. рис. 4).

z

z

y

x

Рис. 4