1. Понятие функции нескольких переменных

При решении многих задач естествознания, экономики и т. д. приходится иметь дело с зависимостями одной переменной от двух, трех и более переменных. Функциональная зависимость в сельском хозяйстве, например, встречается повсюду: начиная с нормы выработки, зависящей от производительности агрегата, и заканчивая различными балансами по использованию земли, техники, трудовых ресурсов и кормов, где все показатели находятся во взаимной связи. Без знания закономерностей количественных взаимосвязей нельзя осуществлять научно обоснованное планирование, сознательно и целеустремленно направлять изучаемые процессы для получения желаемых результатов. В сельском хозяйстве имеется очень много задач из области планирования и расчетов, для решения которых необходимо вскрытие и исследование многофакторных зависимостей и нахождения на этой основе наилучших, то есть оптимальных, вариантов. Приведем примеры функций нескольких переменных.

Пример 1. Объем прямоугольного параллелепипеда V=xyz есть функция трех переменных.

Пример 2. Функция Кобба-Дугласа – производственная функция, показывающая объем выпуска продукции Y при затратах капитала К и трудовых ресурсов L. Для случая двух переменных она имеет вид

,

где А>0 – параметр производительности конкретно взятой технологии, 0<α<1 – доля капитала в доходе.

Определение. Если каждой паре чисел (x,y) из некоторой области D соответствует одно число z, то z есть функция двух независимых переменных x и y, определенная в области D, и обозначается символически z=f(x, y).

Графиком функции двух переменных z=f(x, y) является некоторая поверхность в пространстве Oxyz.

Задание 1. Найти область определения функции z=f(x,y).

№		№		№
1		11		21
2		12		22
3		13		23
4		14		24
5		15		25
6		16		26
7		17		27
8		18		28
9		19		29
10		20		30

Типовой пример. Найти область определения функции и изобразить схематично на плоскости Oxy.

Решение. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, т.е. 2x+y≥0. Отсюда y≥-2x. Множество точек, координаты которых удовлетворяют этому неравенству, определяют полуплоскость (см. рис. 1).

y

x

Рис. 1