- •Аннотация
- •1.Особенности обработки ограниченного числа опытов. Оценки дли неизвестных параметров закона распределения
- •2. Оценки для математического ожидания и дисперсии
- •3. Доверительный интервал. Доверительная вероятность
- •4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины, распределенной по нормальному закону
- •5. Оценка вероятности по частоте
- •6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин
- •7. Обработка стрельб
- •8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов
- •9. Факторный анализ
- •9.1. Общие представления о факторном анализе
- •9.2. Метод главных компонент (мгк)
- •9.3. Примеры факторного анализа
- •Предварительно преобразуем исходные значения признаков выборочной совокупности к нормированному и центрированному виду (таблица 6).
- •Корреляционная матрица
- •10. Список литературы
4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины, распределенной по нормальному закону
В предыдущем параграфе мы рассмотрели грубо приближенные методы построения доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии. Здесь мы дадим представление о точных методах решения той же задачи. Подчеркнем, что для точного нахождения доверительных интервалов совершенно необходимо знать заранее вид закона распределения величины , тогда как для применения приближенных методов это не обязательно.
Идея точных методов построения доверительных интервалов сводится к следующему. Любой доверительный интервал находится из условия, выражающего вероятность выполнения некоторых неравенств, в которые входит интересующая нас оценка . Закон распределения оценки в общем случае зависит от самих неизвестных параметров величины . Однако иногда удается перейти в неравенствах от случайной величины к какой-либо другой функции наблюденных значений , закон распределения которой не зависит от неизвестных параметров, а зависит только от числа опытов и от вида закона распределения величины . Такого рода случайные величины играют большую роль в математической статистике; они наиболее подробно изучены для случая нормального распределения величины .
Например, доказано, что при нормальном распределении величины случайная величина
, (4.1)
где
, ,
подчиняется так называемому закону распределения Стьюдента с степенями свободы; плотность этого закона имеет вид
, (4.2)
где - известная гамма-функция:
.
Доказано также, что случайная величина
(4.3)
имеет «распределение » с степенями свободы, плотность которого выражается формулой
(4.4)
Не останавливаясь на выводах распределений (4.2) и (4.4), покажем, как их можно применить при построении доверительных интервалов для параметров и .
Пусть произведено независимых опытов над случайной величиной , распределенной по нормальному закону с неизвестными параметрами и . Для этих параметров получены оценки
, .
Требуется построить доверительные интервалы для обоих параметров, соответствующие доверительной вероятности .
Построим сначала доверительный интервал для математического ожидания. Естественно этот интервал взять симметричным относительно ; обозначим половину длины интервала. Величину нужно выбрать так, чтобы выполнялось условие
. (4.5)
Попытаемся перейти в левой части равенства (4.5) от случайной величины к случайной величине , распределенной по закону Стьюдента. Для этого умножим обе части неравенства на положительную величину :
или, пользуясь обозначением (4.1),
. (4.6)
Найдем такое число , что
. (4.7)
Величина найдется из условия
. (.4.8)
Из формулы (4.2) видно, что - четная функция; поэтому (4.8) дает
. (4.9)
Равенство (4.9) определяет величину в зависимости от . Если иметь в своем распоряжении таблицу значений интеграла
,
то величину можно найти обратным интерполированием в этой таблице. Однако удобнее составить заранее таблицу значений . В этой таблице приведены значения в зависимости от доверительной вероятности и числа степеней свободы . Определив по таблице и полагая
, (4.10)
мы найдем половину ширины доверительного интервала и сам интервал
. (4.11)
Пример 1. Произведено 5 независимых опытов над случайной величиной , распределенной нормально с неизвестными параметрами и . Результаты опытов приведены в таблице 4.1.
Таблица 4.1
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
-2,5 |
3,4 |
-2,0 |
1,0 |
2,1 |
Найти оценку для математического ожидания и построить для него 90%-й доверительный интервал (т. е. интервал, соответствующий доверительной вероятности ).
Решение. Имеем
; .
По таблице для и находим
,
откуда
.
Доверительный интервал будет
.
Пример 2. Для условий примера 1 параграфа 3, предполагая величину распределенной нормально, найти точный доверительный интервал.
Решение. По таблице находим при и
; отсюда .
Сравнивая с решением примера 1 параграфа 3 ( ), убеждаемся, что расхождение весьма незначительно. Если сохранить точность до второго знака после запятой, то доверительные интервалы, найденные точным и приближенным методами, совпадают:
.
Перейдем к построению доверительного интервала для дисперсии.
Рассмотрим несмещенную оценку дисперсии
и выразим случайную величину через величину (4.3), имеющую распределение (4.4):
. (4.12)
Зная закон распределения величины , можно найти интервал , в который она попадает с заданной вероятностью .
Закон распределения величины имеет вид, изображенный на рис. 4.1.
Рис. 4.1.
Возникает вопрос: как выбрать интервал ? Если бы закон распределения величины был симметричным (как нормальный закон или распределение Стьюдента), естественно было бы взять интервал симметричным относительно математического ожидания. В данном случае закон несимметричен. Условимся выбирать интервал так, чтобы вероятности выхода величины за пределы интервала вправо и влево (заштрихованные площади на рис. 4.1) были одинаковы и равны
.
Чтобы построить интервал с таким свойством, воспользуемся таблицей: в ней приведены числа такие, что
для величины , имеющей распределение с степенями свободы. В нашем случае . Зафиксируем и найдем в соответствующей строке таблицы два значения ; одно, отвечающее вероятности , другое - вероятности . Обозначим эти значения и . Интервал имеет своим левым, а - правым концом.
Теперь найдем по интервалу искомый доверительный интервал для дисперсии с границами и , который накрывает точку с вероятностью :
.
Построим такой интервал , который накрывает точку тогда и только тогда, когда величина попадает в интервал . Покажем, что интервал
(4.13)
удовлетворяет этому условию. Действительно, неравенства
;
равносильны неравенствам
; ,
а эти неравенства выполняются с вероятностью . Таким образом, доверительный интервал для дисперсии найден и выражается формулой (4.13).
Пример 3. Найти доверительный интервал для дисперсии в условиях примера 2 параграфа 3, если известно, что величина распределена нормально.
Решение. Имеем ; ; . По таблице находим при
для ;
для .
По формуле (4.13) находим доверительный интервал для дисперсии
.
Соответствующий интервал для среднего квадратического отклонения: . Этот интервал лишь незначительно превосходит полученный в примере 2 параграфа 3 приближенным методом интервал .