- •Аннотация
- •1.Особенности обработки ограниченного числа опытов. Оценки дли неизвестных параметров закона распределения
- •2. Оценки для математического ожидания и дисперсии
- •3. Доверительный интервал. Доверительная вероятность
- •4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины, распределенной по нормальному закону
- •5. Оценка вероятности по частоте
- •6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин
- •7. Обработка стрельб
- •8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов
- •9. Факторный анализ
- •9.1. Общие представления о факторном анализе
- •9.2. Метод главных компонент (мгк)
- •9.3. Примеры факторного анализа
- •Предварительно преобразуем исходные значения признаков выборочной совокупности к нормированному и центрированному виду (таблица 6).
- •Корреляционная матрица
- •10. Список литературы
2. Оценки для математического ожидания и дисперсии
Пусть имеется случайная величина с математическим ожиданием и дисперсией ; оба параметра неизвестны. Над величиной произведено независимых опытов, давших результаты . Требуется найти состоятельные и несмещенные оценки для параметров и .
В качестве оценки для математического ожидания естественно предложить среднее арифметическое наблюденных значений (ранее мы его обозначали ):
. (2.1)
Нетрудно убедиться, что эта оценка является состоятельной: согласно закону больших чисел, при увеличении величина сходится по вероятности к . Оценка является также и несмещенной, так как
. (2.2)
Дисперсия этой оценки равна:
. (2.3)
Эффективность или неэффективность оценки зависит от вида закона распределения величины . Можно доказать, что если величина распределена по нормальному закону, дисперсия (2.3) будет минимально возможной, т. е. оценка является эффективной. Для других законов распределения это может быть и не так.
Перейдем к оценке для дисперсии . На первый взгляд наиболее естественной оценкой представляется статистическая дисперсия:
, (2.4)
где
. (2.5)
Проверим, является ли эта оценка состоятельной. Выразим ее через второй начальный момент (по формуле (7.4.6) гл. 7)!!!!!:
. (2.6)
Первый член в правой части есть среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины ; он сходится по вероятности к . Второй член сходится по вероятности к ; вся величина (2.6) сходится по вероятности к величине
.
Это означает, что оценка (2.4) состоятельна.
Проверим, является ли оценка также и несмещенной. Подставим в формулу (2.6) вместо его выражение (2.5) и произведем указанные действия:
. (2.7)
Найдем математическое ожидание величины (2.7):
. (2.8)
Так как дисперсия не зависит от того, в какой точке выбрать начало координат, выберем его в точке . Тогда
; , (2.9)
. (2.10)
Последнее равенство следует из того, что опыты независимы.
Подставляя (2.9) и (2.10) в (2.8), получим:
. (2.11)
Отсюда видно, что величина не является несмещенной оценкой для : ее математическое ожидание не равно , а несколько меньше. Пользуясь оценкой вместо дисперсии , мы будем совершать некоторую систематическую ошибку в меньшую сторону. Чтобы ликвидировать это смещение, достаточно ввести поправку, умножив величину на . Получим:
.
Такую «исправленную» статистическую дисперсию мы и выберем в качестве оценки для :
. (2.12)
Так как множитель стремится к единице при , а оценка состоятельна, то оценка также будет состоятельной.
На практике часто вместо формулы (2.12) бывает удобнее применять другую, равносильную ей, в которой статистическая дисперсия выражена через второй начальный момент:
. (2.13)
При больших значениях , естественно, обе оценки - смещенная и несмещенная - будут различаться очень мало и введение поправочного множителя теряет смысл.
Таким образом, мы пришли к следующим правилам обработки ограниченного по объему статистического материала.
Если даны значения , принятые в независимых опытах случайной величиной с неизвестными математическим ожиданием и дисперсией , то для определения этих параметров следует пользоваться приближенными значениями (оценками):
(2.14)