Решение

Точки в которых требуется найти напряжённости электрического поля, лежат в трёх областях (см. рис.1): область I ( r₁<R₁), область II (R₁< r₂<R₂), область III (r₃>R₂).

1. Для определения напряжённости Е₁ в I области, проведём сферическую поверхность S₁ радиусом r₁ и восполь- зуемся теоремой Гаусса. Так как внутри области I зарядов нет, то получим

(1)

где E_n – нормальная составляющая напряжённости электри- ческого поля.

Из соображения симметрии нормальная составляю- щая E_n должна быть равна самой напряжённости и постоянная для всех точек сферы, т.е. E_n =E₁=const. Поэтому её можно вынести за знак интеграла:

.

Так как , то Е₁=0, т.е. напряжённость электрического поля внутри первой сферы равна нулю.

2. В области II проведём сферическую поверхность радиусом r₂. Так как внутри этой поверхности находится заряд Q₁, то для неё, согласно теореме Гаусса, можно записать равенство

.

Так как E_n =E₂=const, то из условий симметрии следует

, или ,

откуда

.

Подставив сюда выражение для площади сферы, получим

. (3)

3. В области III проведём сферическую поверхность радиусом r₃ . Эта поверхность охватывает суммарный заряд Q₁+Q₂. Cледовательно для неё теорема Гаусса имеет вид

.

Так как E_n =E₃=const, то из условий симметрии следует

. (4)

Выразив все величины в системе СИ и произведя вычисле- ния, получим

, .

4. Построим график Е(r). В области I (r₁<R₁) напряжён- ность Е = 0. В области II (R₁<r₁<R₂) напряжённость Е₂(r) изменяется по закону 1/r². В точке r=R₁ напряжённость

.

В точке r=R₂ (r стремится к R₂ слева)

.

В области III (r>R₂) Е₃(r) изменяется по закону 1/r², причём в точке r=R₂ (r стремится к R₂ cправа)

.

Таким образом, функция Е(r) в точках r=R₁ и r=R₂ терпит разрыв. График зависимости Е(r) представлен на рис.2.

Рис.2

Пример 6. По тонкой нити, изогнутой по дуге окруж- ности, равномерно распределен заряд с линейной плотностью  =10 нКл/м. Определить напряженность Е и потенциал  электрического поля, создаваемого таким распределенным зарядом в точке, совпадающей с центром кривизны дуги. Длина l нити составляет 1/3 длины окружности и равна 15 см.

Решение

Выберем оси координат так, чтобы начало координат совпало с центром кривизны дуги, а ось Oy была бы симметрично расположена относительно концов дуги. На нити выделим элемент длины dl. Заряд dQ=dl, находящийся на выделен- ном участке, можно считать точечным.

Определим напряжен- ность электрического поля в точке О. Для этого найдем сначала напряженность dE поля, создаваемого зарядом dQ:

г де –радиус-вектор, направленный от элемента dl к точке, в которой вычисляется напряженность.

Выразим вектор через проекции dE_x и dE_y на оси координат:

,

где и – единичные векторы направлений (орты).

Напряженность Е найдем интегрированием. Интегриро- вание ведется вдоль дуги длиной l.

В силу симметрии . Тогда , (1)

где ,

так как r=R=const, .

П одставим в выражение (1) и, приняв во внимание симметричное расположение дуги относительно оси Оу, пределы интегрирования возьмем от 0 до /3, а результат удвоим:

В ыразив радиус R через длину l нити (3l=2R), получим

(2)

Из этой формулы видно, что напряженность поля по направлению совпадает с осью Оу.

Найдем потенциал электрического поля в точке О.Сначала найдем потенциал d, поля создаваемого точечным зарядом dQ в точке О:

d = dl /(4₀ r).

З аменим r на R и проведем интегрирование:

Так как l = 2R/3, то

 = /(6₀). (3)

Произведя вычисления по формулам (2) и (3), получим

Пример 7. На тонком стержне длиной l равномерно распределен заряд с линейной плотностью  =10 нКл/м. Найти потенциал , созданный распределенным зарядом в точке А, расположенной на оси стержня и удаленной от его ближай- шего конца на расстояние l.