Работа и энергия

Работа, совершаемая постоянной силой:

,

где – проекция силы на направление перемещения; α – угол между направлением силы и перемещения.

Работа, совершаемая переменной силой на пути S:

.

Средняя мощность за промежуток времени t:

Мгновенная мощность:

Кинетическая энергия движущегося тела:

Изменение кинетической энергии движущегося тела:

Связь между силой, действующей на тело в данной точке поля, и потенциальной энергией частицы:

где – единичные векторы координатных осей; E_П – потенциальная энергия частицы.

В случае, когда поле сил обладает сферической симметрией (как, например, гравитационное):

Потенциальная энергия тела, поднятого над поверхностью Земли на высоту h:

E_П = mgh.

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек (или тел) массами и , находящихся на расстоянии r друг от друга:

Работа сил поля равна убыли потенциальной энергии частицы в данном поле:

Потенциальная энергия упругодеформированного тела (сжатой или растянутой пружины):

где k – коэффициент жесткости; x – абсолютная деформация.

Закон сохранения механической энергии (для консервативной системы):

где E – полная механическая энергия системы.

Коэффициент восстановления:

где υ_n′ и υ_n – соответственно нормальные составляющие относительной скорости тел после и до удара.

Скорости двух тел массами и после абсолютно упругого удара:

Вращательное движение абсолютно твёрдого тела

Момент инерции материальной точки относительно какой-либо оси вращения:

,

где m – масса материальной точки; r – расстояние до оси вращения.

Момент инерции системы (тела) материальных точек:

в случае непрерывного распределения масс:

,

где r_i – расстояние от материальной точки массой m_i до оси вращения, приращение массы , тогда

_,

где – плотность тела объемом V.

Теорема Штейнера:

_,

где J₀ – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс; J – момент инерции тела относительно оси, параллельной первой и отстоящей от нее на расстояние a; m – масса тела.

Таблица 1

Момент инерции тел правильной геометрической формы

(тела считаются однородными)

Тело	Положение оси вращения	Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр радиусом R (обруч, кольцо)	Ось симметрии
Сплошной цилиндр или диск	Ось симметрии
Прямой тонкий стержень длиной l	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину
Прямой тонкий стержень длиной l	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец
Шар радиусом R	Ось проходит через центр шара

Момент импульса (момент количества движения) твердого тела относительно оси вращения:

_,

_,

где – радиус-вектор; – импульс тела; J – момент инерции тела относительно заданной оси; – угловая скорость; r_i – расстояние от оси до отдельной частицы тела; – импульс этой частицы.

Закон сохранения момента импульса для систем тел:

_,

для двух взаимодействующих тел:

_,

где – момент инерции и угловые скорости тел до взаимодействия; – те же величины после взаимодействия.

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси:

где – угловое ускорение; – момент силы относительно неподвижной точки (оси).

где – радиус-вектор, проведенный из этой точки (оси) в точку приложения силы .

Модуль момента силы:

M = Fd,

где d – плечо силы (кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью вращения).

Работа постоянного момента силы M, действующего на вращающееся тело:

A = Mφ,

где – угол поворота тела.

Мощность, развиваемая при вращении тела:

P = Mω.

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси:

где J – момент инерции тела относительно оси вращения; ω – его угловая скорость.

Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения:

где m – масса тела; υ – скорость центра масс тела; J – момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс; ω – угловая скорость тела.

Работа, совершаемая при вращении тела, и изменение кинетической энергии его связаны соотношением

Величины, характеризующие динамику вращательного движения, формулы, описывающие это движение, аналогичны соответствующим величинам и формулам поступательного движения. Эта аналогия раскрывается в табл. 2.

Таблица 2

Поступательное движение	Вращательное движение
Основной закон динамики
F∆t = mυ2 – mυ1 F = ma
Закон сохранения
импульса	момента импульса
Работа и мощность
P = Fυ	P = Mω
Кинетическая энергия