6.19. Вычисление температур вырождения фононного газа для некоторых твёрдых тел

Разделив уравнение (6.14) на уравнение (6.20), получим

(6.72)

Из уравнения (6.72) следует, что при всех возможных значениях в твёрдых телах всегда

.

Используя формулу (6.42), вычислим температуру вырождения фононного газа в металле, который является серебром. Учитывая, что

(6.73)

где - масса атома металла, уравнение в (6.42) можно переписать так

(6.74) Для серебра ∙= м , = 1,6∙ [32], поэтому согласно (6.26) = , кг м^-3, ∙107,868 А. е. м. ≈ . Подставляя эти данные для серебра в (32) с учётом того, что , , получим температуру вырождения для фононного газа в кристаллическом серебре . Для алюминия , [32] и, следовательно, , , . Вычисления показывают, что температура вырождения фононного газа в кристаллическом алюминии K. Для свинца , [32], , . После вычислений оказывается, что для кристаллического свинца K. Согласно сказанному выше закон Дюлонга-Пти для простых веществ должен выполняться при температурах , т.е., по крайней мере, при . Это означает, что для серебра при K, для алюминия при K, для свинца при K. Учитывая, что температуры плавления этих веществ равны K, K, , видим, что для кристаллических веществ эти температуры просто недостижимы, так как задолго до достижения этих температур все эти кристаллические вещества уже превратятся в жидкие. Cравнивая температуры вырождения твёрдого тела с температурами Дебая [33] K , K , K , видим очень хорошее совпадение между ними.

6.20. Твёрдые тела в гармоническом приближении

Теория упругости, основанная на линейном законе Гука, называется линейной. Линейную теорию упругости можно назвать ещё теорией упругости в гармоническом приближении. Только в этом приближении получаем различные монохроматические упругие волны, которые не взаимодействуют друг с другом [8]. Если потенциальную энергию взаимодействия частиц в твёрдом теле разложить по степеням их смещений и пренебречь всеми членами, следующими за квадратичными [16], то получим потенциальную энергию твёрдого тела в так называемом гармоническом приближении. Термин «гармоническое приближение» связан с тем, что в этом случае потенциальная энергия взаимодействия двух частиц имеет параболический характер относительно расстояния между ними, а следовательно, сила их взаимодействия оказывается пропорциональной расстоянию между ними ( что приводит к гармоническим колебаниям частиц около их положения равновесия.