4.8. Плоские волны и соответствующие им квазичастицы

В 1900 г. М. Планк предположил, что атомы излучают энергию лишь определёнными порциями – квантами, причём энергия кванта пропорциональна частоте колебаний

ħ ω . (4.53) Если Планк квантовал только энергию излучения, то А. Эйнштейн пошёл дальше: он предложил дискретность самого светового излучения, рассматривая последнее как поток квантов света, названных в 1929 г. Г.И. Льюисом фотонами. В 1930 г. И.Е. Тамм разработал квантовую теорию рассеяния света в кристаллах, рассматривая упругие волны в кристалле как совокупность упругих квантов, впоследствии названных Я. И. Френкелем фононами [25]. Наконец, Л. де Бройль в 1924 высказал идею о том, что каждой материальной частице с импульсом соответствует плоская волна (волна де Бройля) с волновым вектором , причём

ħ (4.54) Формулы (4.65), (4.66) отражают корпускулярно-волновой дуализм материи. Действительно, справа в этих формулах находятся такие характеристики волны, как круговая частота и волновой вектор . Слева же в этих формулах стоят характеристики соответствующих им квазичастиц (как бы частиц), у которых энергия и импульс . Введём еще одну характеристику для плоской волны и одну характеристику для соответствующей ей квазичастицы: фазовую скорость плоской волны и массу квазичастицы [24]. Для этого выражение в (4.54) запишем в скалярном виде

ħ (4.55)

В (4.55) скорость квазичастицы положена равной фазовой скорости плоской волны . Уравнение (4.55) представляет связь массы квазичастицы с характеристиками соответствующей ей плоской волны: фазовой скоростью и волновым числом . Правую часть выражения (4.55) можно представить так

ħ ħ ħ (4.56) Подставляя (4.56) в (4.55), получим

(4.57)

Выражение в (4.57) можно переписать ещё так

(4.58)

4.9. Уравнение Шрёдингера для квазичастицы

Заметим, что уравнение (4.58) содержит только характеристики квазичастицы.

Перепишем его так

( (4.59) или в терминах квантовой механики [24]

( (4.60) Волновую функцию, записанную в (4.27) через характеристики волны и , представим теперь через характеристики квазичастицы согласно уравнениям (4.53) и (4.54)

exp[ h ^–1 (4.61)

Нетрудно убедиться, что волновая функция в (4.61) удовлетворяет уравнению (4.60), если в этом уравнении операторам придать следующий вид

ħ ^{– 1} , ħ ^{– 1} ħ ^{– 1} ħ ^{– 1} (4.62) Подставляя эти операторы в (4.60), получим уравнение Шрёдингера для квазичастицы, соответствующей данной плоской волне

ħ ^{– 1} (4.63)