Аналогично подсчитываются изгибающие и крутящие моменты, а также поперечные силы, возникающие в сечениях пластинки под действием поперечной нагрузки (рис. 15.4):

My= –D(∂ 2w/∂y 2+µ∂ 2w/∂x 2); H= –D(1 – µ)∂ 2w/∂x∂y;

Qx= –D∂/∂x 2w; Qy= –D∂/∂y 2w.

My

y Qx H Qy

z

Рис. 15.4

15.5. Дифференциальное уравнение изогнутой поверхности пластинки

Вырежем из срединной плоскости пластинки бесконечно малый элемент (рис. 15.5) и рассмотрим его равновесие.

На его противоположных гранях действуют усилия, отличающиеся друг от друга на величину приращения исследуемого усилия на бесконечно малом расстоянии, определяемом размерами сторон выделенного элемента.

Для того чтобы рассматриваемый элемент срединной плоскости находился в равновесии, должны удовлетворяться шесть условий равновесия: три уравнения проекций сил на координатные оси и три уравнения моментов относительно этих осей. При этом все усилия следует умножать на длину грани, по которой они действуют.

86

Проекция всех сил на ось z дает:

∂Qx/∂x + ∂Qy/∂y = –q.

Уравнения моментов всех сил относительно осей x и y:

∂Mx/∂x + ∂H/∂y = Qx;

∂My/∂y+∂H/∂x=Qy.

Рис. 15.5

Исключая из последних уравнений поперечные силы, получим

∂ 2Mx/∂x2 + 2∂ 2H/∂x∂y +∂ 2My/∂y 2= – q.

Подставляя в это уравнение выражения для изгибающих и крутящего моментов, выраженные через прогиб срединной плоскости пластинки, получим:

D(∂ 4w/∂x4+2∂ 4w/∂x2∂y2+∂ 4w/∂y4)=q.

Это основное уравнение изгиба пластинки носит назва-

ние уравнения Софи Жермен.

87