Jx = J y = π64D4 ; J p = π32D4 .

Кольцевое сечение (рис. 12.6):

Рис. 12.6

Jx = J y = π64D4 (1−α4 );

α = Dd ;

J p = π32D4 (1−α4 ).

12.2. Момент инерции при параллельном переносе осей

Оси называются центральными, если они проходят через центр тяжести фигуры. Центральным моментом инерции называется момент инерции относительно центральной оси.

Теорема: Момент инерции относительно какой-либо оси равен сумме момента инерции относительно центральной оси, параллельной данной, и произведению площади фигуры на квадрат расстояния между осями.

67

Рис. 12.7

Для произвольной плоской фигуры (рис. 12.7), площадь которой А, центр тяжести расположен в точке С, а центральный момент инерции относительно оси х равен Jx.

Определим момент инерции фигуры относительно оси х1, параллельной центральной и отстоящей от нее на расстоянии a:

Jx1 = ∫y12dA = ∫(y + a)2 dA = ∫y2dA + 2a∫ydA + a2 ∫dA.

A A A A A

Первое слагаемое правой части – момент инерции фигуры относительно оси x(Jx ); второе слагаемое равно нулю, по-

тому что содержит статический момент площади относительно центральной оси x ; третье слагаемое после интегрирования равно а2А. В результате получим

Jx1 = Jx + a2 A.

Этой формулой можно пользоваться только в тех случаях, когда одна из параллельных осей – центральная.

Момент инерции будет наименьшим относительно центральной оси, если рассматривать ряд параллельных осей.

Пользуясь теоремой, можно вывести формулу для определения момента инерции прямоугольного сечения относительно оси х1, проходящей через основание (рис. 12.8).

68

Пример: Определить главные центральные моменты инерции сечения (рис. 12.9), если задано в1 = 1,5 см, h1 = 12 см,

в2 = 12 см, h2 = 3 см.

Оси, относительно которых моменты инерции имеют максимальное и минимальное значения, называются главными осями инерции.

Момент инерции относительно главной оси называется главным моментом инерции.

Решение: Определим положение центра тяжести C сечения, разделенного на прямоугольники 1 и 2:

ус = А1 0,5h1 + A2 (h1 + 0,5h2 ) =

A1 + A2

= 1,5 12 0,5 12 +12 3(12 + 0,5 3) =11 см. 1,5 12 +12 3

Поскольку заданное сечение симметрично относительно оси у, то эта ось является одной из главных центральных осей.

70