Добавил:

gaydzin_from_leti Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Теоретические основы электротехники

Файл:

Курсовая фильтр нижних частот Чернышёв / Kursovoe_proektirovanie_ch1_1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.09.2021

Размер:

2.46 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Рис. 2.4

Проконтролируем функцию H(s). Из (2.1) следует, что H(0) = 0,25; H(∞) = 0. Это соответствует результатам, получаемым по схемам замещения цепи при s = 0 и при s → ∞, приведенным на рис. 2.3, а, б соответственно.

Полюсы H(s), т. е. корни характеристического полинома цепи, равны

0,545

;

s	0,428
2,3

j0,743

; нули H(s) равны

s0 1,2

. Расположение

нулей и полюсов передаточной функции показано на рис. 2.4.

Оценим практическую длительность переходных процессов в цепи:

t		3			3	7 .
t	ПП	3	max	min Re s		7 .
	ПП		max

				k	k
				k

Расчет частотных характеристик цепи. Обобщенная частотная ха-

рактеристика:

						2
H j H s					1
H j H s	s j			2				2

		4				j
		4	14			j	12 10
				2
		1						.
			2	j 0,856 0,743				.
10 j			2
10 j	0,545

АЧХ:

												2
A		H j							1


						2		2			2				2	2
								2					12			2

					4 14									10

							2
							1
												0,552				.
																.
10	2		0,545	2		0,856				2					2	2
	2			2						2					2

ФЧХ:


		arg	H

j

где α(ω), β(ω) – аргументы числителя и знаменателя обобщенной частотной характеристики соответственно, причем

		0,

		,
		2
arctg	12 10			,
		2
	4 14
				2
				2
		12 10
arctg			2
		4 14

Графики АЧХ, ФЧХ, АФХ приведены на

Определим полосу пропускания	по
0,707 Amax 0,18. Частота среза	ср

1,
1;
		2	0,
4 14			0,

	,		2	0.
	,	4 14		0.

рис. 2.5, а, б, в соответственно.

графику АЧХ	на уровне
0,43 ; полоса	пропускания

п 0;0,43 , что соответствует фильтру нижних частот. Значение АЧХ на нулевой частоте, определяющее соотношение площадей под графиками входного и выходного сигналов, A(0) = 0,25. Так как A(∞) = 0, то график выходного сигнала должен быть непрерывным (без скачков).

Анализ рис. 2.5, б показывает, что ФЧХ в полосе пропускания близка к линейной. Следовательно, в случае попадания спектра воздействия в полосу пропускания цепи искажения формы сигнала не будут существенными.

Оценим время запаздывания по наклону графика ФЧХ в области низких частот:

tз ,

где – приращение фазы, рад; Δω – приращение частоты в низких частот. Для ФНЧ можно также использовать формулу tз ким образом, tз 3.

области

0 . Та-

						Рис. 2.5
	Составление уравнений состояния цепи. Получим уравнения состоя-
ния цепи с помощью формальной процедуры, для чего заменим L-элементы
на источники тока i		L	t	и i	L	t , а C-элемент на источник напряжения
		1			2
uС t . Соответствующая схема замещения приведена на рис. 2.6.
1
	В полученной резистивной цепи любым методом расчета найдем uL t ,
						1
uL	t , iC t . Для примера выберем метод контурных токов:
2	1

следовательно,

	R	i
iк	2 L
iк			2
3

тогда:

iк

R R

iк u

t ;

R iк R

2 2

t R i

t u

1 L

0,5i

t 0,5i

R R

0, 25u0

t u

t R

iк i

t 0,5u

t ,

2 3

н 2

R i

0,5u

t .

Используя соотношения

C
i	1	t
	1

C u
1 C
	1

uL	t
1

L i
1 L
	1

t , получим уравнения состояния:

t L2iL

t 0 u

t 1 i

t 0 i

0 u

t ,

1 uC

t 1 iL

1 iL

t 0,5 u0 t ,

(2.2)

0, 2

0, 4 i

0 u

0,1 u

Для расчета реакции – напряжения uн t

– запишем уравнение связи:

к	iL	t .
uн t Rнi2	iL	t .
	2

Уравнения состояния (2.2) в матричной форме:

A fПС t B

;

fПС

0,5 u0 t .

iL1

0, 2

0, 4

0,1

(2.3)

(2.4)

Проконтролируем полученные уравнения (2.4). Для этого можно рассмотреть приведенные на рис. 2.6 схемы замещения цепи при единичном ступенчатом воздействии u0(t) = δ1(t) при t → 0+ (рис. 2.7, а) и t → ∞ (рис. 2.7, б). Схемы аналогичны изображенным на рис. 2.3.

Для схемы на рис. 2.7, а имеем:

iк 3

	R
		1
u	0	= 1
	0

														i		0
								C						C
								C				0			1				0,
									u			0			1				0,
i					0 0,				1							C
i					0 0,											1
	C															0
		1											uL
		1
					0 0,5,				i	0
	u	L			0 0,5,				i	0					1				0,5,
		L							L						L
		1							1						L
					0											1
uL					0		0,5;							uL		0
			2								0			uL		0
															2				0,1.
									iL						2
									iL							L
									2							L
																2
					R
					1
		i			i		t									i		t
		i	к		i		t									L
		1				L											2
						1										к
																i
	u			t								R				2	R
	u			t								R					R
		0										2						н
		0
					u		t
					C
						1

Рис. 2.6

L2			R					L2
L2				1				L2
L1			u	0	= 1	L1
			u		= 1
			uн = 0							uн = 0,25
R	R	н	uн = 0				R	R	н	uн = 0,25
2		н					2		н
C1						C	1
C1							1
а							б

Рис. 2.7

Такие же значения производных получаем из (2.4)

мы на рис. 2.7, б имеем: u		0,25 , i	L	0 , i
C			L	L
	1		1		2

при

→ 0+. Для схе- 0,25 . Такие же

вынужденные значения получаем по уравнениям (2.4), приравняв их левые части к нулю.

Контроль проще всего осуществлять по характеристическому полиному цепи, который здесь определяют как

det A p E 0.

Определение переходной и импульсной характеристик. Для аналити-

ческого расчета переходной характеристики используем операторный метод:

h	t	1 H	s	1	H s

1		1				s

1		s	2	1
1		s		1
				0,856s
	10s s 0,545 s			0,856s

0,743

Применим теорему разложения:

s s 0,545 s 0,428 j0,743 s 0,428 j0,743

s 0,545

s 0,428 j0,743

Вычеты

полюсах

равны:

D1 = 0,25;

D2 = – 0,421;

D3 = 0,094e

j 0,415

;

D4 = 0,094e

j 0,415

При наличии комплексно-сопряженных полюсов вида

sk,k 1 j 0

(в рассматриваемом примере такими являются

s3,4 0,428 j0,743) ориги-

нал суммы соответствующих дробей может быть найден следующим образом:

k 1

2 D

cos

t arg

s s

k 1

где

Dk , Dk 1

– вычеты, соответствующие полюсам sk, sk+1,

причем

ветствует полюсу с положительной мнимой частью ( sk j 0 ). Таким образом, переходная характеристика имеет вид

соот-

h	t 0,25 0,421e0,545t 0,188e0,428t cos 0,743t 0,415
1

	t
1

. (2.5)

График переходной характеристики приведен на рис. 2.8, а.
Проконтролируем конечное h1(∞) и начальное h1(0+) значения переход-
ной характеристики по выражению (2.5): h1 0,25; h1 0 0	, а также по

выражению (2.1), использовав теоремы о конечном и начальном значениях:

h lim sH		1	s 0,25;	h 0 lim sH			1	s 0. Значения совпадают.
1	s 0	1		1	s		1
	s 0				s
	Найдем импульсную характеристику:
								s2 1
	h(t) =		1 H s	=	1				.
	h(t) =		1 H s	=	1	s			.
					10	s	0,545 s 0,856s 0,743

Используем теорему разложения:

H s	D	D	D	,
H s	5	6	7	,
	5	6	7
	s 0,545	s 0,428 j0,743	s 0,428 j0,743

где D5 = 0,229; D6 =

Тогда:

0,08e

2,509

;

D7 =

0,08e

2,509

h t 0, 229e	0,545t
h t 0, 229e

0,16e	0,428t

cos 0,743t

2,509		t
	1

График импульсной характеристики приведен на рис. 2.8, б.

h	1	(t)	h(t)
	1
0,25			0,1
			0,1
	0,2		0,08

0,15

0,06

0,1

0,04

0,05

0,02

0	5	10	15	t	0	5	10	15	t
		а					б

Рис. 2.8

Выполним численный расчет переходной характеристики, для чего получим численное решение уравнений состояния на основе алгоритма Эйлера:

ПСn

;

ПС n 1

1 n 1

	u
		C n
		1
		1
	i
		L n
		1

	iL n
		2

Шаг расчета

n 1

выбираем, исходя из условия



B u			n 1	.
			0



	1				T
t		min min ,			min
t	5	min min ,			4
	5				4

 

, где

T	8,5
min

– минимальный период колебаний синусоидальной составляющей

в описании процессов в цепи;

янная времени; sk – полюсы расчета равным 0,3. Тогда:

		1	1,8
min	max Re s		1,8
min

	k	k
	k

передаточной функции

– минимальная посто-

цепи. Выбираем шаг

0,3i

n 1

C n

C n 1

0,3 u

0,5u

L n

0 n1

0,3

0, 2i

0, 4i

0,1u

L n

n 1

0 n 1

(t)

0,25

0,2

0,15

0,1

0,05

Рис. 2.9

На основе полученного численного решения для переменных состояния с помощью уравнения связи (2.3) вычислим значения переходной характеристики:

uнn iL2n .

Графики переходной характеристики, полученные на основе аналитического и численного расчетов, приведены на рис. 2.9. График, соответствующий численному расчету, изображен штриховой линией.

Вычисление реакции при воздействии одиночного импульса. Найдем изображение по Лапласу входного одиночного импульса, для чего с помощью метода двойного дифференцирования (применение данного метода описано в типовом примере к теме 1) представим указанный импульс в виде

u0 t U0m 1 t U0m 1 t tи ; тогда:
U0 s	U0m	1 e	st	и	.	(2.6)
U0 s		1 e			.	(2.6)

	s

uн(t), u0(t)

Рис. 2.10

Запишем выражение для изображения реакции цепи на входной одиноч-

ный импульс:
	Uн s		H s U0 s			s2 1	U	0m	1	e stи
	Uн s		H s U0 s		10s3 14s2 12s 4			s	1	e stи
				Uн1 s Uн1 s e stи ,
где Uн1	s		U0m s2 1			.
где Uн1	s	s 10s3 14s2		12s 4		.
		s 10s3 14s2		12s 4

Тогда

uн t uн1 t 1 t uн1 t tи 1 t tи ,

причем uн1(t) =

uн1=

U	н1	s
	н1

. Используя теорему разложения, получим

u	t 25 42,1e0,545t
н1

18,8e	0,428t

cos 0,743t

415

Графики реакции (сплошная линия) и измененного в A(0) раз воздействия (штриховая линия) приведены на рис. 2.10. Показанные на рисунке 2.10 кривые подтверждают правильность предположений, сделанных ранее на основе анализа частотных характеристик.

Определение спектральных характеристик одиночного импульса воздействия. Определим спектральные характеристики одиночного импульса, изображенного на рис. 2.2, б.

С учетом (2.6) комплексный спектр импульсного воздействия:

j U

j tи

1 e

s j

						t
2U			t		j	и
	0m
		sin	и	e		2
			2

Амплитудный спектр входного сигнала:

лы,

		2U
A		0m
1

Фазовый спектр входного сигнала:

	tи		,

	2
1
		tи
				,

	2

	t
sin	и	.
	2

sin tи 0,

2

sin tи 0.

2

Для построения графика амплитудного спектра сигнала найдем его уз- т.е. значения частот уk , при которых указанный спектр равен нулю:

A	0
1

при		t	0 , т. е.	t
при	sin	и	0 , т. е.	и k ; следовательно,
		2		2

уk

0,133k

;

k = 1, 2, 3, … . При вычислении значения амплитудного спектра на частоте

ω = 0 возникает неопределенность вида

сти используем правило Лопиталя:

	0
	0
	0

. Для раскрытия неопределенно-

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Курсовая фильтр нижних частот Чернышёв

#
16.09.202137.38 Кб51.4.10 графики.mcdx
#
16.09.2021566.68 Кб3gBP1mWd6CjE.jpg
#
16.09.2021536.02 Кб2hbHaIb52eU8.jpg
#
16.09.20212.46 Mб89Kursovoe_proektirovanie_ch1_1.pdf
#
16.09.202122.75 Кб4Безымянный-1.mcdx
#
16.09.20218.41 Кб5Безымянный.mcdx
#
16.09.202143.32 Кб4графики Х.mcdx
#
16.09.2021600.54 Кб3Конфликтология.pdf
#
16.09.2021949.66 Кб21Курсачник по ТОЭ.docx