Вища математика

ком визначений вектор г0 = г (/„) площини. Таким чином, якщо параметр І набуває певної

множини деяких значень, то рівняння 7 =

= г (0 задає деяку множину векторів. Якщо від точки 0 (рис. 3.10) площини відкласти

вектори ОМ = г, то геометричне місце точок, які збігаються з кінцями цих векторів (за

умови, що всі вектори компланарні), визначить на площині деяку

механічний зміст: якщо точка рухається на площині, то вказані рів­ няння називаються рівняннями руху точки, а лінія І — траєкторією точки; параметром / при цьому є час.

1.6.Про залежність рівняння лінії від вибору системи координат

Упопередніх прикладах вказувалось, що одну й ту саму лінію можна задати різними рівняннями. Таким чином, вигляд рівняння лінії залежить від вибору системи координат або, що те саме, від розміщення лінії відносно системи координат. Рівняння лінії зміню­

ється як при переході від однієї декартової системи до іншої, тобто при перетворенні координат (гл. 2 , п. 2 ), так і при переході від декартових до будь-яких інших координат (гл. 2, п. 2.5).

У зв’язку з цим виникають такі задачі: як обрати таку систему координат, у якій рівняння лінії, заданої геометрично, було б найпро­ стішим, або як замінити систему координат, щоб задане рівняння лі­ нії спростилось? Подібні задачі ми розглядатимемо при вивченні лі­ ній другого порядку.

Усе сказане тут про залежність рівняння лінії на площині від ви­ бору системи координат однаково стосується і рівнянь поверхонь та ліній у просторі. Про це йтиметься в § 2.

З а в д а н н я д л я с а м о к о н т р о л ю

1. Що називається рівнянням з двома змінними? Яка різниця між рівнянням

ітотожністю?

2.Що називається рівнянням лінії на площині?

3.Яка лінія називається алгебраїчною? Що називається порядком алгебраїч­ ної лінії? Як записуються в загальному вигляді алгебраїчні лінії першого та другого порядків?

71

4.Як знайти рівняння лінії за її геометричними властивостями?

5.Що називається полярним рівнянням лінії? Навести приклади.

72

між трьома змінними величинами х, у, г.

Рівність (3) називають рівнянням з трьома змінними х ,у ,г , якщо ця рівність не виконується для всіх трійок чисел X, у , г, і тотожністю,

Уо* го)-

Сукупність всіх розв’язків г рівняння (3), які відповідають певним значенням х та у, визначає в просторі деяке геометричне місце точок М (х; у\ г), яке називається поверхнею (рис. 3.14), а рівняння (3) — рівнянням цієї поверхні.

Отже, рівняння (3) називається рівнянням поверхні відносно зада­ ної системи координат, якщо це рівняння задовольняють координати

Поверхнею, заданою рівнянням (3) відносно певної системи коор­ динат, називається геометричне місце точок М (х; у\ г), координати яких х, у, г задовольняють дане рівняння.

Якщо вираз ґ (х; у; г) в рівнянні (3) є многочленом від х, у, г, тобто сумою скінченного числа одночленів ах',утгр із сталими коефіцієнтами а і невід’ємними цілими показниками к, т, р, то поверхня, яка задається цим рівнянням, називається алгебра­ їчною.

Неалгебраїчні поверхні називаються трансцендентними. Поряд­ ком алгебраїчної поверхні називається степінь многочлена, яким

73

2.2. Рівняння лінії в просторі

УЛінію І в просторі можна розглядати

Векторному параметричному рівнянню (5) відповідають скалярні параметричні рівняння

X = x(t), y = y ( t) , Z = z(t)

— проекції вектора (5) на осі координат. Таким чином, векторні рів­ няння лінії на площині і в просторі мають однаковий вигляд і однако­ ву суть, а відповідні параметричні рівняння відрізняються лише кіль­ кістю рівнянь, яка залежить від числа базисних векторів на площині і в просторі.

Приклади

1. Якщо деяка точка М рівномірно рухається по твірній кругового циліндра, а сам циліндр рівномірно обертається навколо своєї осі, то точка М опнсує криву,

яка називається гвинтовою лінією.

Радіусом гвинтової лінії називають радіус циліндра, а її віссю — вісь циліндра. Відстань, на яку зміститься точка вздовж твірної при повному оберті циліндра, на­ зивається кроком гвинта і позначається через h. Щоб вивести рівняння гвинтової лінії, візьмемо вісь циліндра за вісь Ог, а площину Охг — за початок відліку кута

74

*= R sin /, де R — радіус циліндра. Щоб визначити координату z, побудуємо розгортку циліндра N N J ) ^ (рис. 3.16, в), в якій NNY— 2nR, NlD1 = ND = h, NB = Rt, BM = z. З подібності трикутників NMB і ND^N^ дістанемо

Таким чином, параметричні рівняння гвинтової лінії мають вигляд

утворюється при перетині циліндричної та сферичної поверхонь (§ 7) і називається

лінією Вівіані (рис. 3.17).

З а в д а н н я д л я с а м о к о н т р о л ю

1.Що називається рівнянням поверхні?

2.Що називається алгебраїчною поверхнею n-го порядку?

3.Як аналітично задати лінію, яка утворюється при перетині двох повер­

хонь?

75

б 3. П Р Я М А Н А ПЛ О Щ И Н І

3.1. Різні види рівнянь прямої на площині Пряма на площині геометрично може бути задана різними способа­

ми: точкою і вектором, паралельним даній прямій; двома точками; точкою і вектором, перпендикулярним до даної прямої, тощо. Різним способам задания прямої відповідають у прямокутній системі коорди­ нат різні види її рівнянь.

Нехай пряма (на площині чи в просторі) проходить через задану

-—>

точку М 0 паралельно заданому ненульовому вектору й, який назива­ ється напрямним вектором прямої. Пряма має безліч напрямних век­ торів, їхні відповідні координати пропорційні. Точка М 0 і її напрям­ ний вектор цілком визначають пряму, тому що через точку УИ„ можна

провести лише одну пряму, паралельну вектору в. Складемо рівняння цієї прямої. Позначимо через М (рис. 3.18) довільну точку прямої і

Змінна £ у формулі (6) може набувати довільних дійсних значень і називається параметром, а рівняння (6 ) називається векторним пара­ метричним рівнянням прямої.

Векторне параметричне рівняння прямої має однаковий вигляд і

Рівняння (7) називаються параметричними рівняннями прямої, а рівняння (8) — її канонічним рівнянням.

76

Як відомо, добуток середніх членів пропорції дорівнює добутку край­

тину прямої з віссю Оу Якщо пряма проходить через початок коорди­ нат, то Ь = 0 і рівняння такої прямої має вигляд

Рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки М г (д^; у^ та М 3 (ха; у2), дістанемо з рівняння прямої, що проходить через точку

ЛІ! і має напрямний вектор в =

77

Рис. 3.20 Рис. 3.21

Рівняння (12) називається рівнянням прямої, яка проходить через дві задані точки.

Зокрема, якщо пряма прохо ить через точки А (а; 0) та В (0; Ь), тоб­

Мі (хг-, уі) перпендикулярно до заданого ненульового вектора п —

= 04; В).

Візьмемо на прямій І довільну точку (рис. 3.21) М (х; у) і введемо

Рівняння (14) називається рівнянням прямої, яка проходить через задану точку перпендикулярно до заданого вектора.

Вектор п = (А; В) називається нормальним вектором прямої.

Пряма має безліч нормальних векторів. Усі вони паралельні, отже, їхні відповідні координати пропорційні.

3.2.Загальне рівняння прямої та його дослідження

Усі одержані вище рівняння прямої лінії є рівняннями першого степеня відносно змінних х і у , тобто лінійними рівняннями. Отже, рівняння будь-якої прямої, яка лежить в площині Оху, є лінійним рів­ нянням відносно X і у.

Покажемо, що правильним буде й обернене твердження: кожне

з двома змінними х і у визначає на площині в прямокутній системі координат п яму лінію.

78

ДІЙСНО, ЯКЩО (*!, г/х) — будь-який розв’язок рівняння (15), то

Рівняння (17) еквівалентне рівнянню (15) і згідно з формулою (14) визначає на площині Оху пряму, яка проходить через точку Мі (хи

Уі) перпендикулярно до вектора п = (А ; В), тобто рівняння (15) та­ кож визначає пряму і називається загальним рівнянням прямої. Кое­ фіцієнти А і В при невідомих х і у загального рівняння є координата­ ми її нормального вектора.

Кожне з рівнянь (7) — (14) зводиться до рівняння (15), отже, кож­ на пряма лінія задається рівнянням (15), і навпаки, кожне рівняння (15) визначає на площині Оху пряму. Це означає, що кожна пряма — це лінія першого порядку, і навпаки, кожна лінія першого порядку є пряма.

Дослідимо загальне рівняння, тобто розглянемо окремі випадки розміщення прямої в системі координат Оху залежно відзначень кое­

паралельна осі Оу і проходить через точку ^ о | .

79

3.3. Кут між двома прямими. Умови паралельності і перпендику­

лярності двох прямих

Кут між двома прямими вимірюється кутом між їхніми напрямними векторами. При цьому слід зазначити, що, вибравши на одній із пря­ мих напрямний вектор, напрямлений в протилежну сторону, дістане­

I Si І К І V mt+rfVml + nl

Якщо прямі /х і / 2 паралельні, то вектори sx і Sa теж паралельні, тому їхні координати пропорційні, тобто

(19)

— умова паралельності двох прямих. Якщо прямі Іг і /а перпендикуляр-

ні, то вектори sx і s2 теж перпендикулярні і їхній скалярний добуток дорівнює нулю, отже,

<22>

3) умову перпендикулярності прямих Іг і /е:

80