Вища математика

Упорядкований набір п чисел (х°и хі, ..., х°) називається розв’яз­ ком системи (9), якщо при підстановці цих чисел замість невідомих х1г х2, ..., хп усі рівняння системи перетворюються в тотожності. Таку систему чисел називають також п-вимірним вектором, або точкою «-ви­ мірного простору (див. п. 2.6, гл. 2).

Система рівнянь називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв’язок, і несумісною, якщо вона не має жодного розв’язку.

Сумісна система називається визначеною, якщо вона має єдиний роз­ в’язок, тобто існує тільки один набір п чисел х°, х%, .... х„, який пере­ творює всі рівняння системи (9) в тотожності.

Сумісна система називається невизначеною, якщо вона має більше, ніж один розв’язок.

Дві системи лінійних рівнянь називаються еквівалентними, якщо вони мають одну й ту ж множину розв’язків. Еквівалентні системи ді­ стають, зокрема, внаслідок елементарних перетворень даної системи. Елементарні перетворення системи лінійних рівнянь відповідають еле­ ментарним перетворенням матриці (п. 2.4) за умови, що вони викону­ ються лише над рядками матриці.

3.2. Розв’язування систем лінійних рівнянь за формулами Крамера

. &2іХ + а22у — Ь%.

Виконаємо такі елементарні перетворення системи (10): спочатку помножимо перше рівняння на а22, друге — на —а12, а потім складемо їх; після цього перше рівняння помножимо на а21, а друге — на —аи і складемо їх. Дістанемо систему

Визначник А, складений з коефіцієнтів системи (10), називається визначником системи. Визначники Дж та Дв утворюються з визначника Д відповідно заміною стовпців при невідомих х та у вільними членами.

21

При розв’язуванні рівнянь (12) можуть бути такі випадки. 1) Д Ф 0, тоді система (10) має єдиний розв’язок:

Формули (13) вперше вивів К- Крамер і вони називаються форму­

Розглянемо тепер систему трьох лінійних рівнянь з трьома неві­

Якщо визначник системи Д Ф 0, то система (14) має єдиний розв’я­

Доведемо, наприклад, другу з формул (15). Помножимо перше, друге і третє рівняння системи (14) на алгебраїчні доповнення відпо­ відних коефіцієнтів при у, тобто на А 12, Л2а, Ла2, а потім складемо їх:

За теоремою 2 вирази в дужках при х і г в цій рівності дорівнюють ну­ лю, а за теоремою 1 вираз в дужках при у і права частина дорівнюють відповідно Д і Ду, тобто Ау = Д • у.

22

Аналогічно доводяться формули Крамера для знаходження неві­ домих х і г. Якщо задано п лінійних рівнянь з п невідомими (п > 3)

і визначник системи Д Ф 0, то така система має єдиний розв’язок, який знаходиться за формулами Крамера, аналогічними до формул (13) і (15):

У випадку, коли визначник системи (14) чи (16) дорівнює нулю, фор­ мули Крамера (15) і (17) не мають змісту. Такі системи, а також сис­ теми, у яких число невідомих не дорівнює числу рівнянь і до яких, очевидно, формули Крамера теж не можна застосувати, розглянемо в п. 3.5.

П риклад

Розв’язати системи за формулами Крамера:

б) Розв’язок дістанемо за формулами (15). Маємо

23

3.4. Розв’язування систем лінійних рівнянь методом Гаусса Одним з найпоширеніших методів розв’язування систем лінійних

рівнянь є метод послідовного виключення невідомих, або метод Гаус­ са. Цей метод запропонований К. Гауссом І .грунтується на елементар­ них перетвореннях системи рівнянь (п. 2.1).

Нехай маємо систему (9), яка містить т рівнянь і п невідомих. Оче­ видно, серед коефіцієнтів аі{ хоча б один відмінний від нуля. Якщо ж а11 = 0, то першим в системі (9) запишемо те рівняння, в якому кое­

тього і т. д. При цьому може статись так, що друге невідоме х2 також не входить в усі рівняння з номером і > 1. Нехай хк — невідоме з найменшим номером, яке входить в будь-яке рівняння, не рахуючи першого. Дістанемо систему

Застосовуючи до всіх рівнянь, крім першого, таку саму процедуру

25

Якщо продовжити цей процес, то матимемо систему

Таку систему рівнянь називають східчастою або трапецієподібною* Дослідимо цю систему.

них невідомих за означенням г. Надаючи вільним невідомим довільні значення і підставляючи ці значення в рівняння системи, з г-го рів­ няння знайдемо Підставляючи це значення в перші г — 1 рівнянь і, піднімаючись вгору по системі, знайдемо всі основні невідомі. Оскіль­ ки вільні невідомі можуть набувати будь-яких значень, система має безліч розв’язків.

3. Нехай в системі (22) г = п. Тоді вільних невідомих немає, тоб­ то всі невідомі основні і система (22) має так званий трикутний вигляд ;

З останнього рівняння системи знайдемо хп, і, піднімаючись по си­ стемі вгору, знайдемо всі інші, невідомі. Отже, в цьому випадку сис­

ключення змінних називають ще алгоритмом Гаусса. Він складається

нянь методом Гаусса зручніше приводити до трикутного чи трапеціє­ подібного вигляду не саму систему рівнянь, а розширену матрицю цієї системи, тобто матрицю, утворену приєднанням до матриці її коефіці­ єнтів стовпця вільних членів. Виконуючи над рядками розширеної мат­ риці елементарні перетворення, приходимо до розв’язку системи.

26

П риклад

Розв’язати системи рівиянь методом Гаусса:

О а) Виконуємо елементарні перетворення над рядками розширеної матриці даної системи (позначатимемо це символом =>):

Таким чииом, система а) еквівалентна системі

х — у + 2г = — 1 ;

О - х + у — г = 2;

, 0 - * + 0- у + 0- г = 2.

В останньому рівияині вільний член дорівнює двом, а коефіцієнти при невідомих дорівнюють нулю (тобто 0 = 2), тому система несумісна,

б) Маємо

27

Отже, система в) еквівалентна системі трапецієподібного вигляду

3.5. Однорідна система лінійних рівнянь Нехай задано однорідну систему т лінійних рівнянь з п невідомими

нують) системи (23) можна знайти методом Гаусса.

Покажемо, що для однорідної системи трьох рівнянь з трьома не­ відомими можна знайти загальні формули, що виражають ненульові розв’язки через коефіцієнти системи.

Розглянемо систему

(24)

Якщо визначник системи А Ф 0, то система має єдиний нульовий

28

Візьмемо ті рівняння системи (24), що містять відмінний від нуля

порядку дорівнюють нулю. Це значить, що коефіцієнти всіх трьох рів­ нянь (24) пропорційні, тому система зводиться до одного рівняння з

29