Вища математика

Отже,

даний еліпсоїд має півосі: а = 2 У з ,

Ь = 3, с = у'б: його

центр

знаходиться в точиі О П; —2; 3).

•

7.7. Однопорожнинний

гіперболоїд

Однопорожнинним гіперболоїдом називається по­

верхня, яка в деякій прямокутній системі координат

визначається рівнянням

*Л

«.2

«2

_ і

Л— л - ± ____ і_

''

(83)

„ї

~

£2

^2

Рівняння (83) називається канонічним рівнянням

однопорожнинного гіперболоїда.

Досліджують рівняння (83),

як і в попередньому

Рис. 3.67

пункті, методом паралельних перерізів. Перетинаючи

однопорожнинний

гіперболоїд площинами,

паралель­

перетинати площинами х =

Н або у = Н, то в перерізі дістанемо гіпер­

боли.

Детальний аналіз цих перерізів показує, що

однопорожнинний гі­

перболоїд має форму нескінченної трубки,

яка необмежено розширю­

ється в обидва боки від найменшого еліпса,

по якому

однопорожнин­

ний гіперболоїд перетинає площину Оху (рис. 3.67).

П р и к л а д

X2

у 2

Знайти лінії перетину однопорожнинного

гіперболоїда —

—д - — - 16

1 площинами: а) Охг; б) Оху;

в) х = 4.

О

а)

Лінією перетину площини Охг з даним гіперболоїдом е гіпербола

г2

1,

у =

0,

або

^2

2®

1,

у =

0.

16

- Т -

— -ттг- =

б)

Лінією перетину

площини Оху з

даним

гіперболоїдом є еліпс:

V 2

у*

2

X*

и 2

7 2

1,

2 =

0,

або

4

+ "

=

1,

2 = 0.

• -|~ —д—

|0 =

9

4

4“

в)

Лінія

перетину

площини

х = 4

з даним

гіперболоїдом е гіпербола:

+

У*

і0

.

л

УІ

4 3

1 ,

ж —4. #

д —

— *>

х ~ 4. або ^

7.8.

Двопорожнинний

гіперболоїд

яка в де­

Двопорожнинним гіперболоїдом називається поверхня,

якій прямокутній системі координат визначається рівнянням

+

у*

■*“

о

--

1 •

(84)

ь2

* = 2 / + 2, у = -— і

1, г = 4 / + 10.

4< -|- 10 —

(2/ 4 - 2)г

= 2.

4 ~ + (— <— »)*: 4 < + 10 = 2/а + 4/ + 2; ^ = — 2,

прямокутній системі координат визначається

рівнянням

= 2 ,

(86)

(++4-)К— Н - ( І + *)(■ -*)•

(87)

Складемо систему рівнянь:

(88)

де к — довільний, відмінний від нуля, параметр.

однопорожнинних

гіперболоїдів

обертання.

П риклад

х2

у2

„

.

прямолінійні твірні гіперболічного

„.

..

Знай ги ті

параболоїда

х = - д - —

,

які проходять

через

точку

А ^4; 2;

- д - | .

О

Запишемо

задане

рівняння

у

вигляді

г

=

+

•

Складемо систему

рівнянь

З

2

’

Підставивши

координати

точки

З +

2

_ А *

Рис. 3.75

А в перше рівняння системи,

знайдемо к — - у . Отже, пряма

7 ’

( \4 х — 2 \у —- 18г = 0;

або

<

7

(2х — З у — 14 = 0

± . Л - ____

З +

2 ~

3 ’

х

І

У

и

З

+

2

— гк<

12. Яка поверхня визначається рівнянням у =

ха +

гг? Побудувати поверхню.

В і д п о в і д і . 10. х2 = у2 + г2 (рис. 3.73).

1 1 . Двопорожнинний гіперболоїд

обертання (рис, 3,74), 12. Параболоїд обертання

(рис,

3.75),

матиків 17— 18 ст. Обгрунтування

математичного аналізу за допомо­

гою поняття границі належить О.

Л. Коші.

елементи — малими. Якщо елемент х належить множині

X , то пишуть

х 6 X: запис х £ X або х £ X означає, що елемент х

не належить

множині X .

скінченною. Запис А

= [ац

...; ат } означає, що множина А

скін­

ченна і містить т елементів. Множина X

= {хг; х 2; ..., х п; ...

}, яка

містить нескінченну

кількість

елементів,

називається нескінченною.

множина дійсних коренів рівняння

Л'АПВ

у? + 1 =

0. Нехай задано дві мно­

жини А і В.

Якщо кожен елемент

множини

А є

елементом множини

В , то множину А називають під-

множиною множини В

і

пишуть

А а В

або В гз А («Л

міститься

в Ву> або «В містить Л»),

Напри­

клад, множина натуральних чисел е

ПІДМНОЖИНОЮ ЦІЛИХ ЧИСеЛ.

ОЧЄВИД-

р нс. 4 .1

но, що кожна множина

є своєю

ни. Якщо

множини

А і В містять одні і ті самі елементи, тобто А а

с= В і

В с: А, то їх

називають рівними і пишуть А —=В.

Визначимо деякі операції, які можна виконувати над множинами.

Множину С, яка містить елементи, кожен з яких належить

множи­

ні А або

множині

В, називають об'єднанням (сумою) множин

А, В

і позначають С =

А

и В (рис. 4.1, а). Отже,

Множину

а Є А

и В о

а Є А

або

а Є В.

В , що складається з елементів,

кожен з яких одночасно

належить множинам А і

В, називають перерізом (добутком)

множин

А \ В

\

позначають Б =

А Л В (рис. 4.1,

б). Отже, а 6 А

П В »

<=> а 6

В

і

а £ А.

Множину Е, що складається з елементів,

кожен з яких належить

множині

А і не належить множині В,

називають різницею множин

Л і В і

позначають

Е =

Л \

В (рис.

4.1, в). Отже, а Є А

\ В

«

А = { - 2 ;

- 1 ; 0; 1;

2},

В = {—

; 0;

; і} ,

то

С = А и

В = { — 2;

- 1 ;

- І - ;

0;

1; 2},

1 )

множина

натуральних чисел N = {1 ; 2 ;

п; ...};

2 )

множина

цілих невід’ємних чисел г о =

{0 ; 1 ; 2 ;

п;

...};

3)

множина

цілих чисел 2

= {0 ; ± 1 ,

± 2 ;

±гс; ...};

4)

множина

раціональних

чисел

СІ =

{рід | р Є 2.

<? Є Л^};

5)

множина

дійсних чисел

Я =

{х | х =

а, а ^ а д

...},

де а £ 1 ,

ріодичним

десятковим дробом. Ірраціональне

число — це нескін-

2

1

ченний неперіодичний десятковий дріб. Так,-^- =

0,4; -у = 0,333... —

раціональні

числа; У 2 =■ 1,4142..., я =3,1415 ... — ірраціональ­

ні числа.

Дійсні числа зображають точками (гл. 2. п. 2.2)

на координатній

осі або числовій прямій.

Таким чином, між множиною дійсних чисел

і множиною всіх

Це означає, що кожному числу

х в Я

відповідає певна точка пря­

мої і, навпаки, кожній точці прямої відповідає певне число.

1.3. Числові проміжки. Окіл точки

Нехай

а і Ь — дійсні числа, причому

а <ІЬ. Розглянемо числові

множини:

(а; + оо) = \ х \ а < х } ;

[а; Ь] = { х |а ^ х < ; Ь }

(а; Ь] = {х І а < х ^ Ь}

(— оо: Ь) — {х \ х < Ь};

(а; Ь) = { х | а < х < Ь}

[а; + оо) = {х І а ^ х};

[а; Ь) = \ x \ a ^ x c b }

( — оо; Ь] = {х І

(— оо; + оо) = { х | —, о о < х < + о о } .

Усі ці

множини називаються

числовими проміжками,

причому

la; b] — відрізок (сегмент),

(а; Ь), (а; +оо), (—оо; Ь), (— оо;

+ °°) —

Інтервали,

(а; Ь], [а; Ь),

[а;

+ о о ) ,

(— « о , fr] — півінтервали.

Проміжки [а; Ь], {а;

Ь), (а; Ь],

[а; Ь) називаються скінченними і

позначаються спільним символом

(а; Ь);

точки а і b називають від­

повідно лівим і правим

кінцем цих проміжків.

волами

—оо

і + оо неприпустимі.

Вважають, що будь-яке дійсне

число

х більше, ніж —оо, і менше,

ніж +оо:

— оо <; х < +

°о.

Введемо інтервали, що називаються околами точки. Нехай

х0 —

довільне дійсне число. Околом точки

називають будь-який інтервал

(а; Р),

що містить цю точку, тобто

а < х0 <

р. Так,

околами точки

х0 = 1

£ інтервали (—0,5;

1,5^, (0;

2)

і т. д.

е-околом

Інтервал

(х0 — є; х0 +

є), де є >

0 , називають

точки

х0, причому точку х0 називають центром, а число є — радіусом околу.

Цей окіл називають досить малим,

якщо число

є досить мале.

1.4. Модуль (абсолютна величина) дійсного числа

Модулем дійсного числа х називають число | X |, яке визначається

за формулою

якщо

х >

0 ;

х,

0 ,

якщо

х =

0 ;

І— х,

якщо

х <

0 .

Так, | 5 | = 5, | —4 | = 4, | я — Б | = 5 — я,

х — 3,

х > 3 ;

|х — 3 1 = 0 ,

х — 3;

З — х,

х < 3 .

Геометрично число

| х | визначає

відстань

від початку відліку

0 до точки, відповідної числу х на числовій осі.

Розглянемо арифметичне значення

кореня

У а2, де а — довільне

дійсне число. Очевидно,

що

а,

а >

0 ;

V а2 =

0 ,

а =

0 ;

— а.

а <

0 .

Отже,

= І а |.

Сформулюємо властивості модуля дійсного числа.

1°.

Рівні між собою числа мають рівні між собою модулі:

а =

Ь=>\а\ = ІЬ І.

2 °.

Модуль числа є число невід'ємне:

| * | > 0 .

3°. Число не більше

свого

модуля:

х ^ \ х \ .

\ х - у \ = \ х \ \ у \ .

8 °. Модуль частки дорівнює частці

модулів діленого і дільника:

± \ = \ Ц ,

у ф 0 .

У І

І У І

9°. Якщо

а >» 0,

то нерівності | х | ^

а

та — а ^

х ^

а рівно­

сильні:

У й > 0 : | х | ^ а « { х | —

10°. Д л я

довільного числа а ;> 0

нерівності | х | >

а

та

х ^

— а

або х 2 ^ а рівносильні:

( У а > 0 : |л : |^ а ) о { л : |л : ^ — а

або

X ^

а}.

Користуючись поняттям модуля, деякі

з наведених вище проміж­

ків можна

записати

у вигляді

—

— а; а] о | х | ^ а;

— о о < х < + о о « ( — о о ;

о

І х І < С + 0 0 -

Зокрема,

є-окіл точки

х0 записується

у вигляді

х0 — е <

х <

< х0 + є «

(х0 — є;

х0 4 - є) «

І х

— а:0 І <

е; цей

самий окіл з

ви­

колотою точкою х0 записується так:

0 < І х — х0 1 < є.

ПриНлад

Розв’язати нерівності: а) | 2х — 3 | < 5; б)

(ж — 2)а ^

9.

О а) За властивістю 9° маємо

—5 < 2х — 3 < 5,

або

—2 <

2х <

8, або —1 <

х

< 4 .

Отже, дана

нерівність

виконується

для

тих

значень х,

які належать інтервалу

( - 1 ; 4).

_

б) Оскільки у 'а 2 = І о І, то У (х — 2)а — \ х — 21 і за

властивістю

10° маємо

х — 2 ;> 3 або х — 2 ^

—3 => х ;> 5 або х ^

— 1. Таким чииом, дана

нерівність

справедлива

для всіх значень

х £ (— оо;

— 1]

и [5;

+ о о ) .

•