Вища математика

формулою

61

З а в д а н н я д л я с а м о к о н т р о л ю

1. Дати означення векторного добутку двох векторів.

2. Сформулювати властивості векторного добутку.

3. Записати і вивести формулу для обчислення векторного добутку двох векто­ рів, заданих координатами в прямокутній системі координат.

4. Довести, що (а + 6) X (я — 6) = 2 (6 X а).

5. Довести тотожність: (а X Ь)г + (а ■Ь)%= 0*6*.

в. Знвнти площу паралелограма, побудованого нв векторах а — т — 2л, 6 —

$ 6. М ІШ А Н И Й ДО БУТОК В ЕК ТО РІВ

6.1. Означення і обчислення мішаного добутку

—Ь —¥

При множенні двох векторів а і Ь вище було визначено два види до-

—♦ —*

бутків: скалярний, результатом якого є число а • Ь, і векторний, ре­

зультатом якого є вектор а X Ь.

Множення трьох векторів а, Ь і с можна виконати різними способа­ ми. Зокрема, можно утворити такі добутки:

(а ■Ь) • с, (а х Ь) X с, (а х Ь) ■с.

—♦ —»

Перший з цих добутків відповідає множенню скаляра а • Ь на

вектор с і не розглядається. Те саме стосується добутків (а • с) • Ь та

(Ь • с) • а.

—>

Результатом другого добутку є вектор <1, який називається подвій­ ним векторним або векторно-векторним добутком даних трьох век­

торів: _ _ _ _

й — (а х Ь) X с.

Для знаходження подвійного векторного добутку застосовують формули

(а х Ь) х с = (а • с)Ь — (Ь ■с) а;

а х (Ь х с) = (а ■с)Ь — (а -Ь)с.

Подвійний векторний добуток часто зустрічається у векторному чис­ ленні, але певного геометричного змісту не має.

Останній з наведених добутків (а х Ь) ■с — це скалярний добу­

ток вектора а X Ь на вектор с; його називають мішаним добутком

62

векторів а, Ь і с. Цей добуток має чіткий геометричний зміст і широко використовується в задачах.

Знайдемо мішаний добуток векторів а, Ь, с, заданих координатами:

Координати вектора а х Ь визначаються за формулою (39):

( а х Ь) - с — (Ь х с) • а — (с х а) • Ь.

Справді, при циклічній перестановці міняються місцями два рази множники, або, що те саме, у визначнику (40) рядок міняється місцем два рази, а від цього визначник не змінюється.

3°. У мішаному добутку знаки векторного і скалярного добутків можна міняти місцями:

(а X Ь) • с = а • (b X с).

Дійсно, з властивості 2° і комутативності скалярного добутку маємо

(а х Ь) • с = (Ь х с) • а = а • (Ь х с).

У зв’язку з цим мішані добутки (а х Ь) • с (векторно-скалярний

добуток) і а • (b X с) (скалярно-векторний добуток) скорочено позна­

чають так: abc.

63

4°. Модуль мішаного добутку abc

= |( а х & ) - с | = |а Ь с |. #

5и. Якщо мішаний добуток a bc додатний, то вектори а, Ь, с утворю­ ють праву трійку, а якщо від’ємний, то ліву.

О Відомо, що об’єм тетраедра VABCD, побудованого на векторах А В , АС, A D ,

дорівнює шостій частині об’єму паралелепіпеда, побудованого на цнх векторах. То-

64

му за формулою (41) маємо

У = - і- | ЙВ ЛС М) |.

впрямокутній системі координат?

3.У чому полягає геометричний зміст мішаного добутку?

4.У чому полягає умова компланарності трьох векторів?

5.Довести, що коли вектори а, Ь, с утворюють праву трійку, то а Ь с > 0, а коли

ліву трійку, то аЬс <С0.

65

Г л а в а З ЕЛЕМЕНТИ АНАЛІТИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ

Аналітична геометрія — це розділ математики, в якому властивос­ ті геометричних об’єктів (точок, ліній, поверхонь, фігур, тіл тощо) вивчаються засобами алгебри на основі методу координат.

Основоположником аналітичної геометрії вважають Р. Декарта, який вперше в 1637 р. у своїй книзі «Геометрія» дав чіткий виклад ідеї методу координат на площині. Р. Декарт запропонував положення точки на площині відносно заданої системи координат визначати за допомогою двох чисел— її координат, а кожну лінію на площині розглядати як множину точок, заданих певною геометричною умовою. Ця умова записується у вигляді рівняння, яке зв’язує змінні коорди­ нати точки, що належить даній лінії, і називається рівнянням цієї лінії. Такий спосіб дослідження геометричних об’єктів і називають методом координат.

Наступний важливий вклад в аналітичну геометрію зробив фран­ цузький учений Ж.-Л. Лагранж, який вперше в 1788 р. у своєму творі «Аналітична механіка» запропонував положення вектора визначати за допомогою чисел — його проекцій на координатні осі. Розвиток ідей Лагранжа привів до створення векторної алгебри.

Метод координат та апарат векторної алгебри широко використо­ вуються в сучасній аналітичній геометрії.

яка зв’язує змінні величини х та у.

Рівність (1) називають рівнянням з двома змінними х і у, якщо ця рівність виконується не для всіх пар чисел х, у, і тотожністю, якщо

Рівняння (1) називається рівнянням лінії І, яка задана на площині відносно певної системи координат, якщо це рівняння задовольняють

визначає (або задає) лінію І. Отже, якщо лінія задана рівнянням, то про кожну точку площини можна сказати, чи лежить вона на цій лі­ нії, чи не лежить. Якщо координати точки задовольняють рівняння лінії, то точка лежить на ній, якщо не задовольняють, то не лежить.

66

Лінія, яка задана рівнянням (1) відносно певної системи коорди­ нат у площині, є геометричним місцем точок, координати яких задо­ вольняють задане рівняння.

Змінні х і у в рівнянні (1) лінії І називаються змінними координата­ ми її точок.

Нехай лінія / відносно системи координат Оху визначається рів­ нянням (1). В аналітичній геометрії лінії класифікують залежно від властивостей цього рівняння. Якщо вираз ґ (х, у) в рівнянні (1) є многочленом від змінних х та у (тобто сума скінченного числа одночле­ нів ахЬу"1, де а — сталий коефіцієнт, а показники к і т — цілі додат­ ні числа або нулі), то лінія, що задається цим рівнянням, називається

алгебраїчною.

Алгебраїчні лінії розрізняють залежно від їхнього порядку. Сте­ пенем одночлена ахкут називається сума к + т показників при змін­ них. Степенем рівняння (1) називається найвищий степінь одночлена, що входить до його складу. Алгебраїчною лінією /2-го порядку нази­ вається лінія, що виражається рівнянням я-го степеня. Порядок ал­ гебраїчної лінії не змінюється при заміні однієї декартової системи на іншу.

Лінія, яка не є алгебраїчною, називається трансцендентною. Ми вивчатимемо лише лінії першого та другого порядків, тобто лінії, що задаються рівняннями

ах + Ьу + с = 0 та ах2 + Ьу2 4 - сху + йх 4 - еу + / = 0.

Таким чином, лінію на площині можна задати геометрично як сукуп­ ність точок з певними геометричними властивостями і аналітично — за допомогою рівняння. У зв’язку з цим виникають дві типові для ана­ літичної геометрії задачі: скласти рівняння лінії, яка задана геомет­ рично, і навпаки, встановити геометричний образ лінії, заданої аналі­ тично. Зазначимо, що в аналітичній геометрії друга задача розв’язу­ ється лише для алгебраїчних ліній першого та другого порядків. За­ гальний метод дослідження ліній, заданих рівняннями, дається в курсі математичного аналізу.

3.Рівняння Xі 4- у2 = 0 задовольняє лише одна точка О (0; 0). У подібних ви­ падках кажуть, що рівняння визначає вироджену лінію.

4.Рівняння Xі + У2 4- 1 = 0 не визначає ніякого геометричного місця точок,

оскільки для будь-яких значень х та у маємо х2 4 - у2 + 1 > 0.

1.2. Знаходження рівняння лінії за її геометричними властивос­ тями

Зупинимося детальніше на задачі про складання рівняння лінії, заданої геометрично. Для її розв’язання потрібно встановити геомет­

67

ричну властивість, яку задовольняють лише точки даної лінії, і за­ писати цю властивість у вигляді рівняння. Таке рівняння пов’язує змінні координати точок даної лінії і ті відомі сталі величини, які гео­ метрично визначають саме цю лінію.

Приклади

1.Скласти рівняння лінії, сума квадратів відстаней кожної точки якої до то­

рази далі, ніж від точки В (—2; 0).

О Позначимо змінну точку лінії через М (де; у), тоді за умовою A M — 2ВМ , тобто

/ ( * - ! > * + ( 0 - 2 ) * = 2 "|/"(де4~ 2)* 4~Уіш

Перетворюючи це рівняння, маємо

Зха 4- Зу* 4- І8* 4- 4«/ -f 1і = 0. •

1.3. Полярні рівняння лінії Рівняння Ф (р, ф) = 0 називається рівнянням лінії І в молярних

координатах, або полярним рівнянням, якщо його задовольняють полярні координати р і ф будь-якої точки лінії і і не задовольняють координати жодної точки, яка не лежить на цій лінії. Щоб від поляр­ ного рівняння лінії перейти до рівняння (1 ), потрібно полярні коорди­ нати в рівнянні Ф (р, ф) = 0 виразити через декартові (п. 2.3, гл. 2).

При к лади

1.Спіраллю Архімеда називається лінія, описана точкою, що рівномірно ру­

хається по променю, який сам рівномірно обертається навколо свого початку. Рів­

величиною. У декартових координатах координатні лінії утворюють два сімейства прямих, паралельних одній з осей координат (рис. 3.5, а). У полярних координатах лінії р = const утворюють сімейство концентричних кіл з центром у полюсі, а ЛІНІЇ

68

Змінна t називається параметром і визначає

переміщується, описуючи деяку лінію І. Та­ кий спосіб задання лінії називається параме­ тричним, а рівняння (2 ) — параметричними рівняннями лінії І. Щоб від рівняння (2)

перейти до рівняння ( 1 ), потрібно будь-яким способом з двох рів­ нянь (2 ) виключити параметр t (наприклад, з першого рівняння виразити через х і результат підставити в друге рівняння). Але такий перехід не завжди доцільний і не завжди можливий, тому доводиться користуватись параметричними рівняннями (2 ).

Приклади

1.Розглянемо траєкторію точки кола, яке котиться без ковзання вздовж не

рухомої прямої. Якщо вздовж осі Ох котиться без ковзання коло радіуса R, то будьяка нерухома точка кола описує криву, яка називається циклоїдою (рис. 3.6) і зада­ ється рівнянням

x = R ( t — sin /). y = R ( 1 — cos/); — о о < / < + оо.

Якщо параметр і змінюється від 0 до 2л, то дані рівняння визначають першу арку циклоїди, якщо 2л < t < 4л — то другу арку і т. д.

Циклоїда є найпростішою з кривих, які описує на нерухомій площині точка од­ нієї лінії, що котиться без ковзання по другій лінії.

Рис. 3.3.

Р и с . 3.4

69

Механічне креслення евольвенти виконується так: на коло туго намотують гнуч­ ку й нерозтяжну иигку, закріплену в точці А (рис. 3.9), і з вільним кінцем М в цій точці. Відтягуючи нитку за вільний кінець, змотують її з кола; точка М при цьому описує дугу евольвенти кола, тобто, якщо М — довільна точка евольвенти, то дов­ жина дуги АВ дорівнює довжині відрізка MB.

Профілі переважної більшості зубців зубчастих коліс окреслені з боків дугами евольвенти кола.

1.5. Векторне рівняння лінії

^ —►

Лінію можна задати також векторним рівнянням r = r (f), де / — скалярний змінний параметр. Кожному значенню і0 відповідає ціл-

70