13. Гармонические колебания. Смещение, скорость, ускорение при гармонических колебаниях. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

Простейшим частным случаем периодических колебаний являются гармонические, т. е. такие, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Этот вид колебаний особенно важен по следующим причинам:

1) колебания в природе и технике часто имеют характер, близкий к гармоническому;

2) периодические колебания иной формы (с иной зависимостью от времени) могут быть представлены как наложение нескольких гармонических колебаний.

Примером таких колебаний может служить изменение проекции радиус-вектора А, вращающегося с постоянной угловой скоростью ₀ (рис. 7.1). При этом координата x конца радиус-вектора изменяется по гармоническому закону: xAcos(₀t₀), или xAsin(₀t₀), где А, ₀, ₀ – постоянные величины. Координату x в данный момент времени называют смещением.

Максимальное значение A колеблющейся величины называется амплитудой. Выражение ₀t  ₀ называется фазой колебания и определяет значение величины x в данный момент времени. Величина ₀ определяет значение фазы в момент времени t  0 и называется начальной фазой. Смысл фазы в том, что она отражает состояние колебательного процесса. Зная фазу , можно по уравнению x  Acos найти значение колеблющейся величины, а также характер ее изменения. Например, если фаза    / 3, то это означает, что x  A/2, и в данный момент величина x убывает. Таким образом, значения колеблющейся величины и скорости ее изменения вполне определяют состояние колебательного процесса.

Последовательно продифференцировав уравнение гармонических колебаний по времени, получим выражения скорости v и ускорения a материальной точки вдоль оси X:

где v₀ А₀ и а₀ А₀². Из приведенных выражений видно, что скорость частицы v также

изменяется по гармоническому закону, причем амплитуда скорости равна А₀. Сравнивая выражение скорости с выражением смещения x, находим,

что скорость опережает координату x в данный момент времени по фазе на  / 2 (рис. 7.2).

Выражение для a также позволяет сделать вывод, что ускорение из-

меняется по гармоническому закону с амплитудой А₀². Отсюда же следует, что ускорение и смещение находятся в противофазе. Это означает, что, когда смещение достигает наибольшего положительного значения, ускорение достигает наибольшего отрицательного значения, и наоборот (рис. 7.2).

Из сказанного следует, что если материальная точка совершает гармонические колебания, то справедливо уравнение а    ₀² x.

Математически можно показать, что эта связь ускорения и смещения является необходимым и достаточным условием того, чтобы тело совершало гармонические колебания около положения равновесия. Следовательно, если при анализе поставленной задачи будет найдено, что а  Cx, где С – положительная константа, то тело будет совершать гармонические колебания около положения равновесия с циклической частотой   .

По второму закону Ньютона mа_XF_рез.X, где F – проекция результирующей всех сил, действующих на тело, на ось X, вдоль которой совершаются колебания. В результате получаем F_рез.X m²x.

Из этого уравнения следует, что равнодействующая всех сил, действующих на тело, совершающее гармонические колебания, прямо пропорциональна смещению и направлена в сторону, противоположную ему. Силы, пропорциональные смещению и направленные в противоположную сторону, т. е. удовлетворяющие условию F_X  kx, но имеющие иную природу, чем упругие, называются квазиупругими. Гармонические колебания совершаются под действием упругих и квазиупругих сил.

Дифференциальное уравнение