kr_kriv_pov_int

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет ½ЛЭТИ“

Å.З. БОРЕВИЧ С. Б. КОЛОНИЦКИЙ

È.В. НЕЖИНСКАЯ С. И. ЧЕЛКАК

КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ

И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Учебное электронное издание

Санкт-Петербург Издательство СПбГЭТУ ½ЛЭТИ“

2011

СОДЕРЖАНИЕ

Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 1. Двойной интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1. Определение двойного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Свойства двойного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3. Повторный интеграл в декартовых координатах. . . . . . . . . . . . . . . .10 1.4. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах. . . .13

1.5. Геометрическая интерпретация двойного интеграла.

Вычисление объема. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18 1.6. Криволинейные координаты в R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.7. Вычисление двойного интеграла в криволинейных координатах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.8. Площадь поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2. Тройной интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.1.Определение тройного интеграла и его основные свойства . . . . .34

2.2.Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах . . . 36

2.3. Криволинейные координаты в R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.4. Вычисление тройного интеграла в криволинейных координатах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3. Криволинейные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.1. Криволинейный интеграл первого рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2. Вычисление криволинейного интеграла первого рода. . . . . . . . . . .49

II

3.3. Криволинейный интеграл второго рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.4. Теорема Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4. Поверхностные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62 4.1. Поверхностный интеграл первого рода. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62 4.2. Двухсторонние и односторонние поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.3. Поверхностный интеграл второго рода. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68 4.4. Теорема Гаусса-Остроградского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.5. Интегрирование по частям в R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.6. Теорема Стокса. Ротор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.7. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5. Элементы теории поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.1. Потенциальное поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.2. Соленоидальное поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.3. Представление градиента в криволинейных ортогональных координатах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.4. Представление дивергенции в криволинейных ортогональных координатах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.5. Представление ротора в криволинейных ортогональных координатах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.6. Оператор Лапласа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

III

Введение

В пособии рассматриваются разделы теории интегрирования функций двух и трех вещественных переменных, обычно включаемые в курс высшей математики для технических вузов. Изложены принципы построения и основные свойства двойных, тройных, криволинейных и повторных интегралов. Последняя часть пособия посвящена разделу теории интегрирования, обычно называемому теорией поля и связанному с приложением теории в физике. Этот материал является основой для специального курса математической физики.

Для большинства утверждений, сформулированных в пособии, приведены полные доказательства. Однако иногда такие доказательства оказываются столь громоздкими, что их приходится опускать. Но и некоторые из изложенных доказательств являются все-таки достаточно длинными; их можно (и, вероятно, целесообразно) не приводить в курсе лекций для технического вуза.

Рассматриваемым вопросам посвящено достаточно много литературы, из которой следует отметить учебники [1 4]. Книги [1, 2] предназначены для университетов, а [3] для студентов МФТИ. Эти учебники предполагают высокий уровень математической подготовки читателей и для студентов технических вузов являются, вероятно, слишком трудными. Книга [4] является вузовским учебником по рассматриваемым в данном пособии темам.

Построение теории интегрирования функций нескольких переменных тесно связано с такими основными геометрическими (или, точнее, топологическими) понятиями, как область, линия, поверхность и т. д. Довольно сложно дать точные геометрические определения этих понятий. Поэтому

естественно описывать такие объекты аналитически, т. е. как множества точек в R2 èëè R3, координаты которых удовлетворяют некоторым соот-

ношениям. Эти соотношения могут быть разными в различных случаях и приводят к различным аналитическим определениям кривых, поверхностей и т. д.; при этом такие объекты обладают и различными геометриче- скими свойствами.

Приведем те аналитические определения указанных геометрических

объектов, которые используются в данном пособии.

Кривые (линии) в R2 è R3. Пусть Oxy декартова система коор-

динат на плоскости. Непрерывной (жордановой) кривой называется множество точек ` = (x, y) : x = x(t), y = y(t), t [t(1), t(2)] , ãäå x(t) è y(t)

непрерывные на [t(1), t(2)] функции. Если ~r радиус-вектор1 точки (x, y),

1 Для вектора ~x R2 всюду в пособии используется обозначение ~x = [x1, x2]T , ãäå x1 è x2 декартовы координаты ~x. Аналогично, ~x = [x1, x2, x3]T вектор в R3 с декартовыми координатами x1, x2, x3.

1

то непрерывная кривая задается соотношениями:

~r = ~r(t) = x(t), y(t) T , t [t(1), t(2)], t(1) R, t(2) R.

Âчастности, непрерывными кривыми являются графики функций y =

=g(x), x [a, b], и x = h(y), y [c, d], если функции g(x) и h(y) непре-

рывны, соответственно, на промежутках [a, b] и [c, d].

Известно, что множество точек, являющееся жордановой (т.е. непрерывной) кривой, может быть весьма сложным с геометрической точки зрения. Поэтому оказывается целесообразным выделить среди этих кривых

более узкий класс. Так, жорданову кривую назовем гладкой, если функция ~r(t) дифференцируема на [t(1), t(2)] è k~r 0(t)k 6= 0. Вектор ~r 0(t) является

касательным вектором к гладкой кривой. Будем называть жорданову кривую кусочно-гладкой, если отрезок [t(1), t(2)] может быть разбит на конечное

число отрезков [ti−1, ti], ãäå t(1) = t0 < t1 < . . . < tn = t(2), и каждая из

Число L(`) называется длиной `.

Кривая ` называется замкнутой, если ~r(t(1)) = ~r(t(2)). Замкнутая кривая ` гладкая, если ` гладкая кривая и ~r 0(t(1)) = ~r 0(t(2)). Если ` кусочногладкая кривая и ~r(t(1)) = ~r(t(2)), то ` замкнутая кусочно-гладкая кривая.

Åñëè ~r(t ) = ~r(t ) ïðè t [t(1), t(2)], t [t(1), t(2)] è t 6= t , òî кривая ` имеет точку самопересечения. Всюду в данном пособии предпо-

лагается (и особо не оговаривается), что рассматриваемые кривые точек самопересечения не имеют, хотя многие из формулируемых утверждений

справедливы и без этого ограничения.

Понятия жордановой, гладкой и кусочно-гладкой кривых в R3 анало-

гичны случаю плоскости.

Области в R2. Для точек плоскости определено понятие расстояния

между ними и, тем самым, понятие окрестности. Для любого множества X R2 обычным образом определяются его внутренние и граничные точ-

êè.

Назовем множество D точек плоскости ограниченной областью, если множество граничных точек D (граница D) является кусочно-гладкой

замкнутой несамопересекающейся кривой на плоскости. В случае, когда граница D не принадлежит D, область D называется открытой. Если же

граница D принадлежит D, то D называется замкнутой областью. Везде в данном пособии области на плоскости предполагаются замкнутыми, и в

2

большинстве случаев это условие явно не формулируется. Некоторые из приводимых в пособии утверждений верны и для открытых областей.

Для рассматриваемых в пособии областей определено понятие их площади, которая в простейших случаях вычисляется с помощью определенного интеграла. Площадь области D обозначим S(D). Отметим используемые

далее естественные свойства площади:

1) S(D) ≥ 0 для любой области D, для которой понятие площади

определено;

2) если области D1 è D2 имеют площади S(D1) è S(D2) соответственно, D = D1 D2 è D1 è D2 не пересекаются, т. е. D1 ∩ D2 = , то S(D) также определено и S(D) = S(D1) + S(D2).

Второе из указанных свойств называется аддитивностью площади. Важно отметить, что если D1 è D2 замкнутые области с кусочно-гладки-

ми границами, то равенство S(D) = S(D1) + S(D2) справедливо и в том случае, когда D1 è D2 имеют общие точки, но только такие, которые являются граничными точками как области D1, так и области D2 (будем при этом говорить, что области D1 è D2 пересекаются разве лишь по своим

границам).

Поверхности в R3. Пусть Oxyz декартова система координат в R3. Непрерывной поверхностью Σ в R3 называется множество точек, радиусвекторы которых задаются соотношениями

гладких поверхностей. Назовем непрерывную поверхность Σ гладкой, если функция ~r(ξ, η) имеет непрерывные на Dxy производные

~

изведение векторов ~a и b.

Поверхность Σ будем называть кусочно-гладкой, если всюду на Dξη,

самопересечения. Будем везде рассматриваемые поверх-

ности не имеют точек самопересечения.

3

Для гладкой поверхности может быть определено понятие ½ край поверхности“. Привести здесь точное определение этого понятия не пред-

ставляется возможным, поэтому в тех случаях, когда оно используется,

приходится ограничиваться наглядным геометрическим представлением. Область в R3. Для множества X R3 также естественно опреде-

ляются его внутренние и граничные точки. Ограниченной областью в R3 будем называть множество Ω в том случае, если множество его гранич- ных точек (граница Ω) является кусочно-гладкой поверхность Σ. Поверх-

ность Σ в этом случае называется замкнутой. Определения открытых и замкнутых областей в R3 аналогичны случаю плоскости. Все области в R3

предполагаются замкнутыми.

В школьной программе по математике рассматривается понятие объе-

ма для простейших геометрических тел. Это понятие может быть распространено и на более сложные множества X R3. При этом объем V (X)

множества X обладает следующими естественными свойствами:

1)V (X) ≥ 0 для любого X R3, объем которого определен;

2)åñëè X = X1 X2 è X1 ∩X2 = и существуют V (X), V (X1), V (X2), òî V (X) = V (X1) + V (X2).

Второе свойство, как и для площади, называется аддитивностью объема. Для Ω1 è Ω2, являющихся областями в R3 ñ кусочно-гладкими ãðà-

ницами, равенство V (Ω) = V (Ω1) + V (Ω2) справедливо и в том случае, когда Ω1 è Ω2 пересекаются, но разве лишь по своим границам. Из отме- ченных свойств объема следует, в частности, что если Ω1 и Ω области с кусочно-гладкими границами и Ω1 Ω, òî V (Ω1) ≤ V (Ω).

В пособии изучаются функции, заданные на кривых, областях или поверхностях. Часто будет использоваться следующее утверждение (теорема Вейерштрасса): если функция f(P ), P D, определена и непрерывна на

ограниченной замкнутой области D, то f(P ) ограничена на D и достигает своих наибольшего и наименьшего значений, т. е. существуют такие точки

Справедлива теорема (Вейерштрасс): если функция непрерывна на замкнутом ограниченном множестве X, то она равномерно непрерывна на X.

Функцию f(P ), P D, будем называть кусочно-непрерывной на D, если область D (замкнутую) можно разбить на конечное число замкнутых областей Di, пересекающихся между собой разве лишь по своим границам,

4

и f(P ) непрерывна на каждой области Di.

1. Двойной интеграл

1.1. Определение двойного интеграла

Рассмотрим в R2 некоторую ограниченную замкнутую область D с

кусочно-гладкой границей. Для любого ограниченного множества X точек из R2 определим его диаметр d(X) равенством

d(X) = sup ρ(P 0, P 00) ,

P 0 X,P 00 X

ãäå ρ(P 0, P 00) расстояние между P 0 è P 00. В частности, для ограниченной

замкнутой области диаметром является наибольшая хорда.

Обозначим S(D) площадь области D. Всюду далее будем считать, что для рассматриваемых областей выполнено неравенство S(D) > 0.

Пусть на области D задана вещественная функция f : D → R. Рассмотрим разбиение {Di} области D на частичные (замкнутые) об-

ласти Di, i = 1, 2, . . . , n, с кусочно-гладкими границами, которые могут пересекаться между собой разве лишь по своим границам. Для областей Di также определены их площади, которые обозначим Si, i = 1, 2 . . . , n.

Обозначим λ = max d(Di) наибольший из диаметров частичных обла-

i=1,2,...,n

стей и назовем λ рангом разбиения. В каждой из областей Di выберем произвольную точку Pi Di и рассмотрим сумму

n

X

f(Pi)ΔSi,

i=1

называемую интегральной суммой для функции f(P ), области D, разбиения {Di} и точек Pi.

Определение 1.1. Число I называется двойным интегралом от функции f(P ) по области D, если для любого ε > 0 существует та-

кое δ > 0, что для любого разбиения {Di} с рангом, удовлетворяющим условию λ < δ, и любого выбора точек Pi Di справедливо неравенство

Функция f(P ) называется в этом случае интегрируемой по области D и для двойного интеграла используется обозначение

ZZ

I = f(P )dS.

D

5

Двойной интеграл существует не для всякой функции f(P ). Необхо-

димым условием существования интеграла является ограниченность функции f(P ).

Теорема 1.1. Если функция f(P ) интегрируема по области D, то f(P ) ограничена на D.

Доказательство. Действительно, предположим, например, что f(P ) не ограничена сверху на D. Тогда существует такая последовательность

{Pk} точек Pk D, ÷òî lim f(Pk) = +∞. При любом разбиении {Di}

k→∞

в какую-либо из частичных областей попадет бесконечно много точек из последовательности {Pk}. Тогда, последовательно выбирая эти точки в ка-

честве соответствующей точки Pi, получим последовательность интегральных сумм, не ограниченную сверху. Следовательно, требуемого в соответствии с определением 1.1 числа I в этом случае существовать не может,

что и доказывает теорему1. Утверждение, обратное теореме 1.1, не является верным: ограниченно-

сти функции f(P ) не достаточно для ее интегрируемости. Сформулируем

без доказательства простейшую теорему о достаточных для интегрируемости f(P ) условиях.

Теорема 1.2. Если функция f(P ) кусочно-непрерывна в замкнутой области D, то она интегрируема по D.

Условие кусочной непрерывности f(P ) является весьма сильным огра-

ничением и может быть в значительной степени ослаблено. Мы не будем приводить соответствующие точные формулировки, поскольку в приложениях двойного интеграла обычно достаточно рассматривать кусочнонепрерывные функции.

Понятие двойного интеграла естественным образом распространяется на комплекснозначные функции, определенные на D. Так, если f(P ) =

= f1(P ) + if2(P ), то по определению

ZZ ZZ ZZ

f(P )dS = f1(P )dS + i f2(P )dS

D D D

в том случае, когда функции f1(P ) è f2(P ) интегрируемы по D.

1.2. Свойства двойного интеграла

Основные свойства двойного интеграла аналогичны свойствам опреде- ленного интеграла. Сформулируем их для случая вещественных функций.

1 Çíàê означает конец доказательства.

6