Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

kr_kriv_pov_int

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.02.2015

Размер:

675.9 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 109 10 > Следующая >>>

z . .

. .

. . . . . . . . .

. .

.. ~n+

Σ+

. .

... ......

. .

. . . . . . .. . . . . . . .

. .

Dxy

Ðèñ. 4.3

Пусть в области Ω задана непрерывно дифференцируемая функция
ным с некоторым поверхностным интегралом`H+ïî →−								. Для формулировки
~						~
f(P ). Криволинейный интеграл второго рода						(f, d`) оказывается связан-
							Σ+
соответствующего утверждения введем следующее определение.
Определение 4.4. Пусть (x, y, z) декартовы координаты в R3 è
~		~	~			~ непрерывно дифферен-
f(x, y, z) = fx(x, y, z)i + fy(x, y, z)j + fz(x, y, z)k
цируемая в точке P (x, y, z)									~
цируемая в точке P (x, y, z)			векторная функция. Ротором функции f в
точке P называется вектор			∂zx −		∂xz ~j +	∂xy		− ∂yx ~k,
rotf~ = ∂yz −		∂zy ~i +	∂zx −		∂xz ~j +	∂xy		− ∂yx ~k,	(4.22)
	∂f	∂f		∂f	∂f		∂f	∂f

где все частные производные вычислены в точке P .

Теорема 4.3. (Теорема Стокса). Пусть Ω ограниченная область

â R3, внутри которой лежит гладкая ориентированная поверхность Σ+ ñ кусочно-гладким краем `+ и направление на `+ согласовано с ориентацией

Σ+. Пусть также функция f(P ) непрерывно дифференцируема в Ω. Тогда

I (f, →− ) = ZZ			(	~	−→)
	~	d`		~				(4.23)
		d`		rotf, dσ .				(4.23)
`+		Σ+
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда поверхность									Σ
правильна относительно	плоскости		Oxy,			~	~(1)	(x, y, z)	=
правильна относительно	плоскости		Oxy,		à f =		f	(x, y, z)	=

=fx(x, y, z)i+fy(x, y, z)j. Правильная относительно Oxy поверхность Σ однозначно ортогонально проектируется на плоскость Oxy (ее проекцией яв-

ляется область Dxy), а кривая ` при этом проектируется в кусочно-гладкую

кривую `xy на плоскости Oxy, являющуюся границей Dxy. Ориентацию Σ+

выберем так, что в каждой точке

S нормаль ~n+ образует острый угол с

îñüþ Oz.

В рассматриваемом случае

~k,

rotf~ = rotf~(1)

∂f

= −

~i +

~j +

−

∂z

∂x

∂y

~n+ = "1 +

∂g

−1/2

−

∂g

−

∂g

∂x

∂y

∂x,

∂y, 1 ,

где z = g(x, y) уравнение поверхности Σ. Поэтому

rot

~(1)

dσ

(

, −→) =

Σ+

= ZZ "1 +	∂g	2	+	∂g	2	#	−1/2

	∂x			∂y

∂zy			∂x −	∂zx	∂y +		∂xy	−	∂yx dσ =
	∂f		∂g	∂f		∂g	∂f		∂f

= ZZ

∂f

∂z

∂x +

∂f

∂x

−

x, y, g(x, y)

∂g

x, y, g(x, y)

Dxy

∂y −

# dx dy.

−

∂z

∂f

∂y

(4.24)

∂f

x, y, g(x, y)

∂g

x, y, g(x, y)

Òàê êàê

∂x fy

∂y fx

x, y, g(x, y) =

∂f

∂x

∂f

∂z

∂x;

x, y, g(x, y) =

∂f

∂y

∂f

∂z

∂y,

x, y, g(x, y)

∂g

òî

ZZ (f

, −→) = ZZ

∂x fy

x, y, g(x, y)

− ∂y

x, y, g(x, y)

~(1)

∂

dx dy.

Σ+

Dxy

dσ

(4.25)

По теореме Грина

−

# dx dy = (F , →− )

∂x

∂y

∂fx

∂fy x, y, g(x, y)

x, y, g(x, y)

Dxy

~ d` ,

(4.26)

`xy

ãäå	~		~	fx	x, y, g(x, y) , fy	x, y, g(x, y)		T	+
	F	= F (x, y) =							, à `xy ориентиро-
			направление на которой согласовано с областью							Dxy.
ванная кривая `xy,					+
Отметим, что направление на `xy естественным образом согласовано и с
направлением на `+.
~	Рассмотрим криволинейный интеграл, входящий в формулу (4.23), для
	~(1)		. Пусть параметрические уравнения `+ имеют вид:
f = f
			~r = ~r(t) = [x(t), y(t), z(t)]T ,				t [t1, t2].

Так как кривая `+ лежит на поверхности S, то z(t) = g

x(t), y(t) . Исполь-

зуя определение криволинейного интеграла и

параметрические уравнения

`+, получим:

~(1)

I (f

, →− ) =

x(t), y(t), g

x(t), y(t)

(t) + fy

x(t), y(t), g

x(t), y(t)

y0(t) dt.

= Z

Проекция `xy+

(4.27)

кривой `+ на плоскость Oxy имеет параметрические уравне-

íèÿ:

~r = ~r(t) = [x(t), y(t), 0]T ,

t [t1, t2].

Следовательно,

F t y

t dt

(F , →− ) =

x( )

0( ) +

y( )

0( )

`xy

x(t), y(t), g

x(t), y(t)

(t) + fy

x(t), y(t), g

x(t), y(t)

y0(t) dt.

= Z

Теперь из равенств (4.24) (4.27) следует равенство

~(1)

, dσ

(4.28)

Z (f

ZZ (

, →− ) =

−→)

Σ+

т. е. теорема Стокса при

~(1)

в случае поверхности Σ+ , правильной

f = f

относительно Oxy.

Аналогично рассматриваются случаи, когда Σ+ правильна относитель-

но плоскости

Oxz,

~(2)

и когда

Σ+ правильна относи-

f = f

= fxi + fzk

~ ~(3)

тельно Oyz и f = f

=fyi + fzj. При этом получаются равенства:

I (	~(2)	→− ) = ZZ	(f	, −→);
	f	, d`		dσ	(4.29)

`+ Σ+

I (f	, →− ) =	ZZ (	~(3)	−→)
~(3)	d`		~(3)	, dσ .	(4.30)
	d`		f	, dσ .	(4.30)
`+		Σ+

Åñëè Σ+ правильна, т. е. правильна одновременно относительно всех трех плоскостей Oxy, Oxz и Oyz, то справедливы все три равенства (4.28)

(4.30). Òàê êàê ~(1)	~(2)	~(3)	~	~	~	то складывая эти
f	+ f	+ f	= 2fxi + 2fyj + 2fzk ,

равенства, получаем соотношение (4.23) в случае правильной поверхности

Σ+.

Для завершения доказательства теоремы Стокса остается заметить, что гладкую поверхность с кусочно-гладким краем всегда можно разбить на конечное число частей, являющихся правильными поверхностями. Так как для каждой из полученных частей справедливо равенство (4.23), то, складывая все такие равенства, получим теорему Стокса для произвольной гладкой поверхности с кусочно-гладким краем.

Отметим, что теорема Грина является частным случаем теоремы Стокса и соответствует тому случаю, когда Σ является частью плоскости Oxy,

~n+ = ~k è f~ = fx~i + fy~j. Ïðè ýòîì rotf~ =	∂xy		−	∂yx	~k.
		∂f		∂f

4.7.Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования

Пусть в области Ω R3 задана такая непрерывно дифференцируемая

функция ~

f(P ), ÷òî

rot ~	~	(4.31)
f = 0.

Пусть также `+ замкнутая ориентированная кусочно-гладкая кривая, целиком лежащая в области Ω. Будем вначале считать, что кривая `+ не имеет самопересечений. Предположим, что можно построить 1 такую гладкую ориентированную несамопересекающуюся поверхность Σ+, ëåæà-

щую в Ω, для которой кривая `+ является краем и направление на `+ согла-
совано с ориентацией	Σ+	. Так как из (4.31) следует, что	(	f,	−→) = 0		,
			RR
			Σ+

1 Это условие подразумевает, что Ω односвязанная область, т. е. что любую замкнутую кривую, лежащую в						Ω,

можно стянуть в точку, не выходя за Ω. Например, тор не является односвязанной областью. Отметим, что даже для

односвязанной области, требуемую поверхность можно построить не всегда; например, такой несамопересекающейся поверхности не существует для кривой ` в виде простого узла. Отметим, однако, что и для таких случаев последующие

утверждения остаются верными, но их доказательство существенно усложняется.

то по теореме Стокса	I (f,	→− ) = 0.
	I (f,	→− ) = 0.
	~	d`	(4.32)

Если же кривая `+ имеет конечное число самопересечений, то `+ будет объ-

единением конечного числа замкнутых кривых `(i) , и интеграл	~ d`
+	(Hi)
+	(f, →− )
	`+
будет суммой конечного числа таких же интегралов по кривым	`+ , êàæ-

дый из которых равен нулю в соответствии с равенством (4.32). Поэтому равенство (4.32) является верным и для кривой `+ с конечным числом са- мопересечений.

Пусть теперь в области Ω (рис. 4.4) зафиксированы две точки P1è P2.

Рассмотрим две различные кусочно-

гладкие кривые `+(1)

è `+(2), целиком

z. .

(2)

лежащие в Ω, каждая из которых

соединяет точки P1

è P2, и ориен-

+ . .

•

тированные так, что P

P1 .

является их

•

начальной точкой, а P2 конечной.

`+(1)

Обозначим `

(2)

кривую `

(2)

, ориен-

−

x. .

тированную в противоположном по

сравнению с `+(2)

направлении (на-

Ðèñ. 4.4

чалом `(2) является точка P2, концом

−

è `−(2)

P1). Ясно, что объединение ориентированных кривых `+(1)

äàåò îðè-

ентированную замкнутую кусочно-гладкую кривую, которую обозначим

`+.

для функции ~

Åñëè

области

Ω выполнено

условие (4.31), то

f â

. По свойству аддитивности криволинейного интеграла

`H+ (f,

→− ) = 0

→− ) = (

→− ) + (f, →− ) = 0

(

f, d`

(1)

(2)

`−

Из соотношения (3.9) следует:

→− ) =

(f, →− )

(

−

f, d`

(2)

`−

и, следовательно,

(

→− ) = (f, →− )

d` .

(4.33)

f, d`

(1)

(2)

Равенство (4.33) означает, что при выполнении указанных условий криволинейный интеграл второго рода не зависит от пути интегрирования,

а зависит только от его начальной и конечной точек. Поэтому для непрерывно дифференцируемых функций ~

f, удовлетворяющих условию (4.31),

P2 ~ →−

криволинейный интеграл второго рода записывают часто в виде: (f, d`).

5. Элементы теории поля

В физике принято называть функции, заданные в R3, термином ½по- ле“. Мы также будем сейчас использовать эту терминологию: если рас-

сматривается функция f : R3							R, то будем говорить о скалярном поле,
если функция ~				3			векторном поле. Декартовы координаты в
	3	обозначим	f : R		→ R			, ~.
R			(x, y, z)			, а соответствующие координатные орты ~, ~
							i j	k

5.1. Потенциальное поле

Определение 5.1. Векторное поле ~	~	~	~	называется
f = fxi + fyj + fzk

потенциальным (в области Ω), если существует такая непрерывно дифференцируемая на Ω скалярная функция ϕ: R3 → R, что в каждой точке

Ω выполнено равенство

(5.1)

f = gradϕ.

Скалярное поле ϕ называется при этом потенциалом поля f.

Отметим, что из условия (5.1) следуют равенства:

∂ϕ

fx =

;

fy =

;

fz =

(5.2)

∂x

∂y

∂z

Приведем одно важное свойство потенциального поля.

Теорема 5.1. Åñëè ïîëå ~

fпотенциально в области Ω и потенциал ϕ

является дважды непрерывно дифференцируемой в Ω функцией, то

rot ~

(5.3)

f = 0.

∂ϕ

Доказательство. Так как в соответствии с (5.2) fz =

è fy =

∂z

∂ϕ ∂fz

∂fy

∂2ϕ ∂2ϕ

, òî

−

= 0, так как вторые частные произ-

∂y

∂z

∂y∂z

∂z∂y


водные потенциала ϕ		предполагаются непрерывными. Аналогично доказы-
∂fx			∂fz		∂fy		∂fx
ваются равенства		−		= 0,		−		= 0. Теперь из определения
	∂z		∂x		∂x		∂y
ротора (4.22) следует		справедливость равенства (5.3).

Теорема 5.1 означает, что равенство (5.3) является необходимым усло-

вием потенциальности гладкого поля. Это же условие оказывается и достаточным для того, чтобы непрерывно дифференцируемое поле ~

f имело

потенциал.

Теорема 5.2. Если векторное поле ~

f непрерывно дифференцируемо в

односвязанной области Ω и выполнено условие (5.3), то f является потенциальным полем, т. е. существует потенциал ϕ, удовлетворяющий равенству (5.1). При дополнительном условии ϕ(P0) = ϕ0, ãäå P0 íåêî- торая фиксированная точка области Ω, потенциал ϕ определяется единственным образом и может быть вычислен по формуле:

(P ) =

→− )

0 + Z (f,

(5.4)

Доказательство. Отметим, прежде всего, что так как rot ~

~, òî

криволинейный интеграл

(f,

→− )

f = 0

висит от пути

в соответствии с разд. 4.7 не за-

`+(P0, P ), соединяющего точки P0 è P , à

`+(P0,P )

интегрирования

зависит только от самих точек P0 и P . Именно поэтому в равенстве (5.4) в

обозначении криволинейного интеграла указаны только P0 è P .

Докажем сначала, что функция ϕ, определяемая равенством (5.4), яв-

ляется потенциалом поля ~

f. Для этого достаточно доказать справедливость

равенств (5.2).

Обозначим (x1, y1, z1) декартовы координаты точки P1 и рассмотрим

точку

P10

координатами

(x1, y1 +

y, z1). Будем обозна-

z. .

(x1

, y1

просто

. .P1

. .

÷àòü

P1(x1, y1, z1)

z1 .. .

. Тогда

. .

ϕ(P 0) = ϕ(x , y + y, z ) =

•

...

.P 0 .

P 0

. .

.. •

O . .

. . .

(5.5)

....

+ (f, →− )

. . . .

. .

и написанный

криволинейный

x.1 . . .. . .. . . .

x .

интеграл

íå

зависит

îò ïóòè

Ðèñ. 5.1

интегрирования, соединяющего

точки P0 è P10. Выберем этот путь так, чтобы он проходил через точку P1 и его часть между точками P1 è P10 являлась отрезком (рис. 5.1).

ßñíî, ÷òî åñëè P è P 0 внутренние точки области Ω и y достаточ-

но мало, то такой выбор пути интегрирования всегда возможен. Тогда по свойству аддитивности криволинейного интеграла

P 0

(

P 0

Z (

→− ) = Z

→− ) + Z (f, →− )

f, d`

и из равенств (5.4) и (5.5) получим:

(

) =

(

P 0

→− )

) + Z (f,

ϕ x, y

y, z

x, y, z

(5.6)

Параметрическими уравнениями отрезка с началом в P и концом в P 0

являются:

t [0, y].

~r = ~r(t) = [x, y + t, z]T ,

Поэтому ~r 0(t) = [0, 1, 0]T

P 0

→− ) = Z

Z (f,

x, y

t, z

)

dt.

Применяя к полученному определенному интегралу теорему о сред-

нем, получим равенство:

P 0

→− ) = fy(x, y , x)Δy,

Z (f,

где y [y, y + y]. Теперь из равенства (5.6) найдем:

ϕ(x, y + y, z) − ϕ(x, y, z) = fy(x, y , z). y

Так как функция fy непрерывна, то, переходя в этом равенстве к пределу при y → 0, получим соотношение:

lim	ϕ(x, y +	y, z) − ϕ(x, y, z)	=	∂ϕ(x, y, z)		= fy(x, y, z),
		y			∂y
y→0

т. е. второе из равенств (5.2). Два других равенства (5.2) доказываются

аналогично, и, значит, функция ϕ является потенциалом поля f.

Для завершения доказательства теоремы осталось доказать только единственность потенциала ϕ.

Предположим, что существуют две такие функции ϕ1 è ϕ2, äëÿ êî-

	~
торых gradϕ1 = gradϕ2 = f, ϕ1(P0) = ϕ2(P0) = ϕ0. Тогда для функции
ψ = ϕ1 −ϕ2	получим равенства grad	~	,	ψ(P0) = 0		, из которых следует,
ψ = ϕ1 −ϕ2		ψ = 0		ψ(P0) = 0
что ψ ≡ 0 в области Ω и, значит, ϕ1 ≡ ϕ2.					~


В физических задачах чаще всего вектор
					f является силой, при этом
говорят о силовом поле. В этом случае интеграл `+(PR1,P2) (f,							→− )
						~	d`	называется

работой A силового поля f вдоль пути `+(P1, P2) с началом в точке P1 è концом в P2. Для потенциального поля работа поля зависит от точек P1 è P2 и не зависит от пути, соединяющего эти точки, т. е. в этом случае A = A(P1, P2). Из равенства (5.4) следует, что для потенциального поля A(P, P0) = ϕ(P ) − ϕ(P0) и, значит (из-за аддитивности криволинейного интеграла), A(P1, P2) = ϕ(P2) − ϕ(P1) для любых точек P1 è P2, лежащих в области Ω. Это известный физический закон: работа поля равна разности

потенциалов конечной и начальной точек.

Добавим, что если силовое поле потенциально, то в физике принято говорить о консервативных системах. Наоборот, если силовое поле не является потенциальным, то соответствующие системы обычно называют диссипативными; это будет, например, в том случае, если среди сил, действующих в системе, имеются силы трения.

В качестве примера найдем потенциал кулоновского поля, для ко-

торого f~

= ~r/ ~r 3 ïðè ~r = ~0.

В этом случае f = x(x2 + y2 + z2)−3/2,

fy = y(x

+ y

| |2

3/2

+ y

)−

3/2

+ z

)−

, fz = z(x

+ z

. Поэтому

(rotf~)x =

∂fz

−

∂fy

−3yz(x2 + y2 + z2)−5/2 + 3yz(x2 + y2 + z2)−5/2 = 0.

∂y

∂z

= 0. Таким образом, куло-

Аналогично получим, что (rotf)y

= (rotf)z

новское поле потенциально. Для вычисления его потенциала по формуле (5.5) выберем точку P1 íà ëó÷å OP òàê, ÷òî |~rP1 | = |~rP0 | = r0u и возьмем путем интегрирования кривую P0P1P, ãäå P0P1 часть окружности r = r0,

		~
à P1− отрезок P1P. Тогда на P0P1 вектор f ортогонален к окружности
r = r0; поэтому	(f,	−→) = 0
Z	(f,	−→) = 0
	~	d`

P0P1

Äëÿ P1P в качестве параметрических уравнений возьмем:

(xP − xP1 )t + xP1 ~r = (~rP − rP1 )t + ~rP1 = (yP − yP1 )t + yP1 (zP − zP1 )t + zP1

, t [0, 1].

Тогда

Z (f,

→− ) = Z

(f,

→− ) = Z0

(f, (~rP

− ~rP1 ))dt =

P0P

P1P

−

= −

|~rP |

|~rP1 |

|~rP |

|~rP0 |

Следовательно, ϕ(P ) = −

+ ϕ(P0). Если взять ϕ(P0) = −

|~rP |

|~rP0 |

то для потенциала кулоновского поля получим: ϕ(P ) =

−1

|~rP |

5.2. Соленоидальное поле

Определение 5.2. Непрерывно дифференцируемое			векторное поле
~	~	~ называется соленоидальным в области		Ω	, åñëè
~v = vxi + vyj + vzk				Ω
		div~v = 0			(5.7)
в каждой точке Ω.
Определение 5.3. Если для поля ~v существует такая непрерывно
дифференцируемая функция ~
		A, ÷òî
		rot ~			(5.8)
		A = ~v			(5.8)

в области Ω, то A называется векторным потенциалом поля ~v.

Важным является следующее утверждение.

Теорема 5.3. Если поле ~v имеет в области Ω дважды непрерывно

дифференцируемый векторный потенциал ~

A, то ~v соленоидально в Ω.

Доказательство. Так как в области Ω справедливо равенство (5.8), то в соответствии с (4.22)

∂Az

∂Ay

∂Ax

∂Az

∂Ay

∂Ax

vx =

−

, vy =

−

, vz =

−

∂y

∂z

∂x

∂y

Поэтому

∂vx

∂vy

∂vz

∂2Az

∂2Ay

∂2Ax

∂2Az

∂2Ay

∂2Ax

div~v =

−

= 0,

∂x

∂y

∂z

∂x∂y

∂x∂z

∂y∂z

∂y∂x

∂z∂x

∂z∂y

так как все эти частные производные по условию непрерывны. Аналогично случаю потенциального поля, не только из равенства (5.8)

следует соотношение (5.7), но и наоборот, из условия (5.7) следует суще-

ствование вектора ~

A, удовлетворяющего (5.8). Это означает, что любое

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 109 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
19.11.201992.67 Кб2kontrolnaya_2(1).doc
#
09.02.201517.91 Кб17Kontrolnye_voprosy.docx
#
09.02.201524.84 Кб21Kontrolnye_voprosy_r_8jq_kf_t_1.docx
#
09.02.20152.45 Mб11KRC.pdf
#
09.02.2015684.6 Кб99kr_int_met.pdf
#
09.02.2015675.9 Кб12kr_kriv_pov_int.pdf
#
09.02.201551.59 Кб30KSEIDZ2.docx
#
21.04.20191.11 Mб10KSYe.doc
#
09.02.20151.21 Mб5Kun T. Struktura nauchnih revolyuciiy.doc
#
09.02.2015212.68 Кб34Kurs1.pdf
#
07.12.2018584.7 Кб1kursach(2).doc