Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

kr_kriv_pov_int

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.02.2015

Размер:

675.9 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 104 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Пусть теперь на области Π задана кусочно-непрерывная функция f(P ),

ij		ij	è		i	j
P Π. Будем по-прежнему использовать обозначение f(x, y) = f					P (x, y) .
Выберем в каждой из частичных областей Π	точку P			обозначим (ξ , η )

ее криволинейные координаты. Ясно, что ξi [ξi−1, ξi], ηj [ηj−1, ηj]. Для функции f(P ), разбиения {Πij} и точек Pij для интеграла RR f(P )dS =

=f(x, y)dxdy запишем интегральную сумму:

σ= f(Pij)ΔSij,

i=1 j=1

ãäå Sij

= S(Πij).

Pij

(xi , yj ),

Декартовыми

координатами

точки

являются

ãäå

xi = x(ξi , ηj ), yj = y(ξi , ηj ). Поэтому

f(Pij) = f(xi , yj ) = f x(ξi , ηj ), y(ξi , ηj ) .

(1.32)

Каждая из областей Πij криволинейный параллелограмм, рассмот-

ренный в разд. 1.6. Для площади

Sij = S(Πij) ïðè

ξi

→ 0, ηj

→ 0

справедливо равенство

Sij =

J(ξi, ηj)

ξi

ηj

1 + o(1) ,

в котором величину o(1) можно

считать

íå

зависящей от

. Будем счи-

тать J(ξ, η) непрерывной, а значит, и равномерно непрерывной на Π функ-

цией. Поэтому

, ãäå

не зависит от

Следовательно,J(ξi, ηj) = J(ξi , ηJ ) 1 + o(1)

o(1)

Sij =

J(ξi , ηj ) ξi

ηj

1 + o(1) .

(1.33)

Из равенств (1.32) и (1.33) для

суммы

σ следует соотношение

интегральной

σ = σ0 1 + o(1) ,

(1.34)

n m

, то сумма

является инте-

плоскостьiс декартовыми координатами

ãäå σ0 =

x(ξi , ηj ), y(ξi , ηj )

J(ξi , ηj )

ξi

ηj

. Если рассмотреть

P P

O0ξη

σ0

=1 j=1

гральной суммой для области Π0 = (ξ, η) : α ≤ ξ ≤ β, γ ≤ η ≤ δ íà ýòîé

плоскости и функции f				x(ξ, η), y(ξ, η) J(ξ, η) , соответствующей разбие-
Ïðè ξi		0 è ηj		0 эта интегральная	сумма имеет пределом двойной0 0
нию этой области прямыми, параллельными координатным осям O ξ и O η.
	→		→

интеграл ZZ

f x(ξ, η), y(ξ, η) J(ξ, η) dξdη.

Π0

ответствующую Π0. ßñíî, ÷òî

Отметим, что для этого интеграла использовано обозначение, подчеркивающее, что ξ и η теперь играют роль декартовых координат (см. замечание

1.2).

С другой стороны, при ξi → 0, ηj → 0 ранг разбиения {Πij} области Π (в плоскости с координатами Oxy) имеет нулевой предел, так как длины сторон криволинейного параллелограмма Πij пропорциональны ξi

è ηj (см. разд. 1.6). Поэтому при ξi → 0,			ηj	→ 0 интегральная сумма
σ имеет пределом интеграл
	ZZ f(x, y)dxdy,
	Π
и из (1.34) следует, что
ZZ f(x, y)dxdy = ZZ f		x(ξ, η), y(ξ, η)		J(ξ, η) dξdη	(1.35)
Π	Π0

для рассматриваемой области Π (т. е. когда Π0 прямоугольник в плоскости с координатами O0ξη).

Покажем, что равенство (1.35) справедливо и для случая произвольной области D с кусочно-гладкой границей.

Итак, пусть D ограниченная область в плоскости Oxy с кусочно- гладкой границей, а D0 соответствующая ей ограниченная область в плоскости O0ξη. Òàê êàê D0 ограниченная область, то она содержится в некотором прямоугольнике1 Π0. Обозначим Π область плоскости Oxy, со-

D Π. Продолжим функцию f(P ) нулем на

область Π, т. е. примем

(

f˜(P ) = f(P ), P D; 0, P Π \ D.

Применим формулу (1.35) к функции f˜(P ) и области Π:

ZZ	f˜(x, y)dxdy = ZZ	f˜	x(ξ, η), y(ξ, η)	J(ξ, η) dξdη.
Π	Π0

В силу аддитивности двойного интеграла

ZZ	f˜(x, y)dxdy = ZZ	f(x, y)dxdy + ZZ f˜(x, y)dxdy = ZZ f(x, y)dxdy.
Π	D	Π\D	D
		Π\D

1 Отметим, что для обычно используемых систем координат расширение D0 для прямоугольника Π0 всегда возможно.

Аналогично, двойной интеграл по Π0 совпадает с соответствующим интегралом по D0. Поэтому

ZZ ZZ

f(x, y)dxdy = f x(ξ, η)y(ξ, η) J(ξ, η) dξdη (1.36)

D D0

для любой области D с кусочно-гладкой границей.

Так как в (1.36) в интеграле по области D0 координаты ξ è η èãðà-

ют роль декартовых координат, то этот интеграл может быть вычислен (см. разд. 1.4) как соответствующий ему повторный интеграл. Таким образом, равенство (1.36) дает новые возможности вычисления двойного интеграла. Формулу (1.36) называют формулой преобразования двойного интеграла при замене переменных.

В частности, для полярных координат |J| = ρ равенство (1.36) имеет

âèä:

ZZ f(x, y)dxdy = ZZ

f ρ cos ϕ, ρ sin ϕ ρdρdϕ.

(1.37)

Вычислим несобственный интеграл

∞e

x2 dx.

Пример 1.

−

Обозначим IR = R0

e−x2 dx, тогда

e−y2 dy dx= Z dxZ e−x2−y2 dy.

IR2 = Z

e−x2 dx Z

e−y2 dy = Z

e−x2 Z

Таким образом, IR является повторным интегралом. В соответствии с ра-

венством (1.13)

= ZZ e−x2−y2 dxdy,

IR2

R =

y ≥ 0,

+ ≤ R

четверть круга

ãäå Π =

(x, y) : x ≥ 0,

(x, y) : 0

≤ x ≤ R, 0

≤ y ≤ R

квадрат в плоскости Oxy.

Обозначим K

радиуса R с центром в начале координат. Так как K

Π, òî

IR2

≥ ZZ e−x2−y2 dx dy.

С другой стороны, область K√

R содержит Π, и потому

IR2

≤ ZZ e−x2−y2 dx dy.

K√

Для вычисления интеграла по KR перейдем к полярным координа-

там (ρ, ϕ). Соответствующая KR область KR0

в плоскости

O0ρϕ является

прямоугольником: K0

(ρ, ϕ) : 0

≤

R, 0

≤

. Поэтому, в

(1.37)

соответствии с формулой

ZZ e−x2−y2 dx dy = ZZ e−ρ2 cos2 ϕ−ρ2 sin2 ϕρdρ dϕ = ZZ e−ρ2 ρdρ dϕ =

KR0

π/2

= Z

dϕ Z ρe−ρ

dρ =

− e−R

dϕ =

− e−R

Таким образом,

1 − e−R

≤ IR2

≤

− e−2R

(1.38)

Переходя в

неравенствах (1.38) к пределу при

, найдем, что

∞

lim IR2 =

. Поэтому

→

R→∞

∞

√

e−x dx =

Пример 2. Вычислим площадь эллипса.

Уравнение

эллипса

декартовых

координатах

имеет вид:

= 1. Поэтому его площадь совпадает с интегралом

dxdy, ãäå

D = (x, y) : a2 + b2 ≤ 1 .

Для вычисления этого интеграла перейдем к так называемым обобщенным полярным координатам (ρ, ϕ), связанным с декартовыми коорди-

натами соотношениями x = aρ cos ϕ, y = bρ sin ϕ, a > 0, b > 0. Легко вы-

числить, что для этих координат J = abρ. Область D0

в координатах O0ρϕ

2π . Поэтому

(ρ, ϕ) : 0

≤

ρ ≤ 1,

является

прямоугольником:

≤

2π

= πab.

dx dy = ZZ

abρdρ dϕ = ab Z

dϕ Z

ρdρ = ab Z d2

1.8. Площадь поверхности

Площадь простейших поверхностей в R3 вычисляется в школьном кур-

се математики. Проще всего определяется и вычисляется площадь цилиндрической и конической поверхностей, так как для них возможна развертка

è Π(2)

связаны равенством

на плоскость. Для более сложных поверхностей площадь определить слож-

íåå.

Пусть в R3 заданы декартова система координат Oxyz и поверхность

ласть			Oxy			f(x, y)
Σ =		(x, y, z) : (x, y)		Dxy, z = f(x, y) , ãäå Dxy ограниченная об-
	на плоскости				с кусочно-гладкой границей, а функция

непрерывно дифференцируема на Dxy. Таким образом, Σ является частью графика функции f, лежащей над Dxy.

Рассмотрим разбиение {Di} области Dxy c рангом λ и возьмем точки Pi Di. Так как функция f дифференцируема, то поверхность Σ имеет в точке Pi касательную плоскость Πi. Цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной Oz, и направляющей, совпадающей с границей Di, вырезает на плоскости Πi некоторую область σi, площадь которой обозна-

÷èì σi.

Рассмотрим сумму P σi. Эта сумма является площадью кусочно-

i=1

линейной поверхности Σ0, являющейся объединением рассмотренных ча- стей плоскостей, касательных к Σ. Естественно считать рассматриваемую сумму приближением к площади поверхности Σ. Поэтому разумно принять следующее определение.

Определение 1.3. Если существует предел

		n
	Xi
	S = lim	σi,
	λ→0	=1
то он называется площадью поверхности Σ.
Замечание 1.4. Отметим, что кусочно-линейная поверхность Σ0, ïëî-
функции. Иначе говоря, Σ0	n			“.
функции. Иначе говоря, Σ0	P			“.
щадью которой является	σi,	является	графиком разрывной
	i=1
	не ½сплошная поверхность
Покажем, что вычисление площади поверхности сводится к вычисле-
нию некоторого двойного интеграла. Область σi			лежит в плоскости Πi è

при ортогональном проектировании на Oxy переходит в область Di. Îáî- значим αi угол между плоскостями Πi è Oxy. Óãîë αi совпадает с углом

между нормалью ~	~
Ni	к плоскости Πi и осью Oz, а нормаль Ni является

нормалью к поверхности Σ в точке Pi. Поэтому αi угол между нормалью к Σ в точке Pi è Oz.

Площади областей σi è Di

σi| cos αi| = S(Di).

(1.39)

Это соотношение очевидно, если Di è σi являются прямоугольниками. В

общем случае равенство (1.39) доказывается следующим образом. Рассмотрим две плоскости Π(1) с углом α между ними и введенными на

них декартовыми системами координат Ox1y2 è Ox2y2 так, как указано на

ðèñ. 1.7.

Π(2) .

y2 .

. . . . . . .. . . . . .....

(1)

. Π

. .

. . . .α. . . . . . . ........

(2)

D(1)

x1 .....

. . x2

Ðèñ. 1.7

Тогда

x2 = x1;

y2 =

(1.40)

Далее,

| cos α|

S(D(1))

cos α

S(D(2)) =

dx2dy2 =

|J|dx1dy1 =

dx1dy1 =

(2)

(1)

так как якобиан J преобразования координат (1.40) равен 1/ cos α.

Таким образом,

S = lim

cos αi

Si,

λ→0

ãäå Si = S(Di) и, по определению двойного интеграла,

(1.41)

S = ZZ

| cos α|,

dx dy

Dxy

где α угол между нормалью N к Σ и осью Oz.

Вычислим

cos α. Â

качестве

нормали

можно

взять

вектор

∂f

N~ = h −

, −

, 1i

. Тогда

∂x

∂y

cos α =

(N, k)

s ∂x

+ ∂y

+ 1

∂f

Поэтому

S = ZZ	s							(1.42)
S = ZZ	s	∂x			+	∂y	+ 1 dx dy.	(1.42)
			∂f	2		∂f	2

Dxy

Равенство (1.42) дает способ вычисления площади поверхности Σ, т. е. поверхности, являющейся графиком функции z = f(x, y). Такую поверхность любая прямая, параллельная оси Oz, пересекает не более одного раза. Если же поверхность Σ такова, что каждая прямая, параллельная оси Oy, пересекает ее не более одного раза, то Σ является частью графика функции y = g(x, z). В этом случае справедлива аналогичная (1.42) формула

S = ZZ	s							(1.43)
S = ZZ	s	∂x			+	∂z	+ 1 dx dz,	(1.43)
			∂g	2		∂g	2

Dxz

ãäå Dxz область в плоскости Oxz, являющаяся ортогональной проекцией Σ на эту плоскость.

Σ = (x, y, z) : (

)

yz2

= (

) , òî

Наконец, если

x, z

, x

h y, z

S = ZZ

(1.44)

∂y

∂z

+ 1 dy dz.

∂h

Dyz

В общем случае поверхность Σ обычно возможно разбить на конечное

число таких частей, что для вычисления их площадей можно применить одну из формул (1.42) (1.44).

Рассмотрим теперь вопрос о вычислении площади поверхности Σ, заданной параметрически. Пусть параметрические уравнения Σ имеют вид:

~r = ~r(ξ, η) = [x(ξ, η), y(ξ, η), z(ξ, η)]T ,	(ξ, η) Dξη.		(1.45)
Для гладкой поверхности выполнено условие [~r 0	, ~r 0	] = ~0. В этом случае, в
ξ	η	6

окрестности каждой своей точки поверхность Σ является графиком либо функции z = f(x, y), либо функции y = g(x, z), либо функции x = h(y, z),

и вся поверхность Σ может быть разбита на конечное число таких окрестностей. Рассмотрим, например, такую часть Σ(1), в которой Σ является графиком функции z = f(x, y). Пусть ей соответствует часть Dξη(1) области Dξη. Обозначим Dxy(1) ортогональную проекцию Σ(1) на плоскость Oxy. В

соответствии с (1.41) площадь S(1)	поверхности Σ(1) вычисляется по фор-
ìóëå		dx dy
S(1) = ZZ
			.
		\| cos α(x, y)\|

Dxy(1)

В этом двойном интеграле перейдем от декартовых координат к координатам (ξ, η), т. е. примем

(y = y(ξ, η).

(1.46)

x = x(ξ, η);

Тогда

|J(ξ, η)|dξ dη

S(1) =

Dξη

cos α x(ξ, η), y(ξ, η)

(1)

где J якобиан преобразования (1.46).

Нормалью к Σ(1) является вектор

∂η ∂ξ

~j + ∂ξ ∂η

− ∂η ∂ξ

[~r ξ0 , ~r η0 ] =

∂ξ ∂η −

∂η ∂ξ ~i +

∂ξ ∂η −

~k,

∂y ∂z

∂z ∂x

∂x ∂y

ãäå ~, ~

, ~

орты декартовой системы координат. Поэтому

i j

| cos α| =

−

| |

∂x ∂y

k k

(N, k)

òàê êàê

∂x ∂y

J =

∂ξ

∂η

−

∂η

∂ξ

. Таким образом,

S(1) =

Dξη

(1)

Аналогично вычисляются площади и остальных частей поверхности Σ.

Суммируя площади всех частей, получим формулу для вычисления площади поверхности, заданной соотношениями (1.45):

S = ZZ	[~r ξ0 , ~r η0 ] dξ dη.	(1.47)
Dξη

2. Тройной интеграл

2.1.Определение тройного интеграла и его основные свойства

Определение тройного интеграла и его свойства аналогичны опреде-

лению и свойствам двойного интеграла.

Рассмотрим ограниченную замкнутую область Ω R3 с кусочно- гладкой границей. Для такой области определено понятие объема. Как и

в случае плоскости, назовем d = sup ρ(P 0, P 00) диаметром множества

P 0, P 00 X

X R3; ρ(P 0, P 00) расстояние между точками P 0 è P 00.

Пусть на области Ω задана вещественная функция f(P ), P Ω. Рассмотрим произвольное разбиение {ωi} области Ω на частичные об-

ласти ωi, i = 1, 2, . . . , n, с кусочно-гладккими границами, которые могут пересекаться между собой разве лишь по своим границам. Назовем рангом

разбиения число λ = max d(ωi). Выберем произвольные точки Pi Ωi è

рассмотрим сумму

f(Pi)ΔVi,

(2.1)

i=1

ãäå Vi = V (ωi) объем области ωi. Сумма (2.1) называется интегральной суммой для функции f(P ), области Ω, разбиения {ωi} и точек Pi.

Определение 2.1. Число I называется тройным интегралом функции f(P ) по области Ω, если для любого ε > 0 существует та-

кое δ > 0, что для любого разбиения {ωi}, ранг которого удовлетворяет условию λ < σ, и любых точек Pj Ωi справедливо неравенство:

			n	f(Pi)ΔVi − I		< ε.
		i=1
			X
Функция		называется			в этом случае		интегрируемой по области
	f(P )

ω, а для ее интеграла используется обозначение

ZZZ

I = f(P )dV.

Как и для двойного интеграла, необходимым условием интегрируемости функции f(P ) является ее ограниченность на области Ω, а достаточным

условием ее кусочная непрерывность на Ω.

Перечислим основные свойства тройного интеграла, доказательства которых аналогичны доказательствам, приведенным в разд. 1.2 для двойного интеграла:

RRR

1)dV = V (Ω);

2) åñëè α1 R, α2 R è f1(P ), f2(P ) интегрируемы по Ω, то функция α1f1(P ) + α2f2(P ) тоже интегрируема по Ω и

ZZZ		α1f1	(P ) + α2f2	(P ) dV = α1	ZZZ	f1(P )dV + α2	ZZZ f2(P )dV ;
Ω					Ω		Ω

3) åñëè Ω = Ω1 Ω2 и области Ω1 è Ω2 пересекаются разве лишь по своим границам, то

ZZZ	f(P )dV = ZZZ	f(P )dV + ZZZ f(P )dV,
Ω	Ω1	Ω2

при этом, если функция f(P ) интегрируема по Ω, то она интегрируема и по областям Ω1, Ω2 и наоборот, если f(P ) интегрируема по каждой из областей Ω1 è Ω2, то она интегрируема и по области Ω;

4) åñëè f1(P ) ≤ f2(P ) для всех точек P Ω и функции f1(P ), f2(P ) интегрируемы по Ω, то

ZZZ	f1(P )dV ≤ ZZZ f2(P )dV ;
Ω	Ω

5) если f(P ) интегрируема по Ω, то функция |f(P )| также интегрируема по Ω и

ZZZ ZZZ

f(P )dV ≤

|f(P )|dV ;


Ω	Ω

6) для интегрируемой по Ω функции f(P ) справедливы неравенства

	mV (Ω) ≤ ZZZ f(P )dV ≤ MV (Ω),
	Ω
ãäå m = inf f(P ), M = sup f(P );
P Ω	P Ω

7) если функция f(P ) непрерывна в области Ω (замкнутой), то существует такая точка P Ω, что

ZZZ

f(P )dV = f(P )V (Ω).

2.2.Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах

Пусть в R3 введена декартова система координат Oxyz и на области Ω задана функция f(P ). Как и в случае двойного интеграла, будем исполь-

зовать обозначение f(x, y, z) ≡ f P (x, y, z) .

Рассмотрим правильную относительно плоскости Oxy область Ω, т. е. область, декартовы координаты (x, y, z) точек которой удовлетворяют соотношениям: (x, y) Dxy, g1(x, y) ≤ z ≤ g2(x, y), ãäå Dxy замкнутая огра- ниченная область с кусочно-гладкой границей в плоскости Oxy а g1(x, y) è g2(x, y) непрерывные на Dxy функции.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 104 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
19.11.201992.67 Кб2kontrolnaya_2(1).doc
#
09.02.201517.91 Кб17Kontrolnye_voprosy.docx
#
09.02.201524.84 Кб21Kontrolnye_voprosy_r_8jq_kf_t_1.docx
#
09.02.20152.45 Mб11KRC.pdf
#
09.02.2015684.6 Кб99kr_int_met.pdf
#
09.02.2015675.9 Кб12kr_kriv_pov_int.pdf
#
09.02.201551.59 Кб30KSEIDZ2.docx
#
21.04.20191.11 Mб10KSYe.doc
#
09.02.20151.21 Mб5Kun T. Struktura nauchnih revolyuciiy.doc
#
09.02.2015212.68 Кб34Kurs1.pdf
#
07.12.2018584.7 Кб1kursach(2).doc