_Files_MethodAtom3_corrected_02112012

Из выражений (7.5) видно, что вероятность туннельного прохождения частицей потенциального барьера существенно зависит от энергии частицы и ширины потенциального барьера. Качественные представления о виде функций (7.5) можно получить из рис. 7.1,б. Вероятность туннелирования частицы принято характеризовать коэффициентом прохождения (коэффициентом прозрачности) потенциального барьера, который определяется отношением квадратов модулей волновой функции ψ3 и первого слагаемого из ψ1, описывающего падающую на барьер волну. Коэффициент прозрачности барьера описывается выражением

3. Туннельный эффект составляет физическую основу действия обширного класса полупроводниковых приборов — туннельных диодов (ТД). Принцип работы ТД можно пояснить с использованием представлений о зонной энергетической структуре твердого тела. В процессе образования твердого тела электронные энергетические уровни отдельных атомов вследствие взаимодействия электронов смещаются и образуют энергетические полосы (разрешенные зоны), чередующиеся с зонами энергий, значений которых электроны принимать не могут (запрещенными зонами). Энергетическая ширина как разрешенной, так и запрещенной зоны порядка единиц эВ (~10–19 Дж). Энергетический зазор между отдельными уровнями разрешенной зоны около 10–22 эВ (~10–41 Дж); поэтому обычно считают, что энергетический спектр электронов внутри разрешенной зоны практически непрерывен. Наиболее сильно расщепляются энергетические

51

уровни валентных электронов, образуя так называемые валентную зону и зону

проводимости.

Многие электрофизические свойства твердых тел связаны с электронами в частично заполненных зонах, так как в пределах этих зон электроны могут изменять свою энергию под действием внешних факторов и способны, в частности, участвовать в процессе электропроводности.

Вероятность заселения электронами энергетических уровней в зонах определяется статистикой Ферми — Дирака, описывающей энергетическое распределение частиц, подчиняющихся принципу Паули. Вероятность того, что состояние с энергией Е при температуре T занято электроном, определяется функ-

цией Ферми

w(E, T ) 1 exp (E EF )kT 1 .

Величину EF называют энергией (уровнем) Ферми. Легко видеть, что при T = 0 К функция w(E, 0) = l, если E<EF, и равна нулю, если E>EF. При любой другой температуре энергия Ферми совпадает с энергией того уровня, вероятность заполнения которого равна 0,5.

Если бы энергетические уровни в зоне были распределены равномерно, то число электронов, имеющих энергию Ei в небольшом интервале dE, определялось бы из функции Ферми (заштрихованная площадь на рис. 7.2,а). Однако вблизи дна зоны проводимости энергетические уровни расположены реже, чем в ее верхней части. Распределение энергетических уровней характеризуют функцией F(Е) – плотностью энергетических состояний. С хорошим прибли-

жением считается, что F(E) в одномерном случае имеет вид

где m — масса (эффективная) электрона, Eс — энергия, соответствующая дну зоны проводимости. Плотность заполнения электронами уровней энергетической зоны описывается функцией распределения

ее график изображен на рис. 7.2, б.

52

Общая концентрация электронов в зоне пропорциональна заштрихованной площади на рис. 7.2, б. Аналогичные результаты справедливы и для материала с дырочной проводимостью с тем отличием, что энергия отсчитывается от значения Еv (энергия потолка валентной зоны) в сторону убывания.

Рис. 7.2. Функция Ферми при различных температурах (а) и плотность заполнения электронами частично заполненной зоны (б)

4. При контакте материалов с различным типом электропроводимости образуется р–n-переход. Если материалы относятся к вырожденным полупроводникам, то при малой толщине перехода (~10–8 м) возникают условия, благоприятствующие туннелированию носителей сквозь потенциальный барьер р–n- перехода. В вырожденных полупроводниках уровень Ферми находится не в запрещенной зоне, а смещен в полупроводнике n-типа в зону проводимости, объединенную с так называемой примесной зоной, образующейся из энергетических уровней доноров при их высокой концентрации (~1024—1026 м–3). В вырожденном полупроводнике р-типа уровень Ферми находится в верхней части валентной зоны, объединенной с примесной зоной акцепторов.

Процесс формирования вольт-амперной характеристики туннельного диода можно проследить по рис. 7.3 и 7.4. Если напряжение на диоде равно нулю, ток через диод также равен нулю, так как число переходов электронов слева и справа на рис. 7.3, а одинаково. При приложении к диоду прямого напряжения (рис. 7.3, б) энергетические уровни в р-области смещаются вниз в сравнении с уровнями в n-области; границы зон будут сближаться. Число переходов электронов из области п в область р увеличивается, так как большей плотности занятых состояний в области п будет соответствовать большая плотность свобод-

53

ных состояний («дырок») в области р; одновременно уменьшается число переходов электронов из р-области в n-область (рис. 7.4). Ток будет увеличиваться (рис. 7.5) до тех пор, пока не произойдет совпадения максимумов функций распределения (черные точки на рис. 7.4); дальнейшее увеличение прямого смещения вызывает уменьшение туннельного тока. По достижении напряжения Umin (совпадение границ зон проводимости и валентной) туннельные переходы прекращаются, так как против занятых электронами уровней будут находиться запрещенные энергетические состояния. Отличие от нуля тока Imin (рис. 7.5) и дальнейшее увеличение прямого тока по мере возрастания напряжения объясняются обычным механизмом инжекции носителей зарядов.

Рис. 7.3. Зонные диаграммы туннельного диода при нулевом смещении (а), прямом смещении (б) и обратном смещении (в)

54

7.2.Исследуемые закономерности

Вработе исследуется вольт-амперная характеристика германиевого туннельного диода (например, типа ГИ 305 или родственных ему), теоретически и экспериментально определяется положение экстремальных точек характеристики. Проводится оценка энергии Ферми и энергии, соответствующей максимумам функции плотности распределения носителей в зонах материала туннельного диода.

7.3.Экспериментальная установка

Снятие вольт-амперной характеристики ТД отличается рядом особенностей, обусловленных отрицательным динамическим сопротивлением диода на падающем участке характеристики от Imax до Imin. Если внутреннее сопротивление источника смещения больше, чем от-

ток ТД, который контролируется миллиамперметром РА в коллекторной цепи транзистора КТ605. Напряжение на ТД измеряется вольтметром PU.

7.4.Указания по подготовке к работе

1.Изучить теорию туннельного эффекта для прямоугольного потенциального барьера. Получить выражение (7.6) для коэффициента прозрачности прямоугольного барьера.

55

E (Em Ec ) (EF Ec ) 1,1 kT , высоту барьера определить выражени-

ем Ep0 2(EF Ec ) Eg .

6. По формуле

Imax eSND Em Ec 2m

оценить ток в максимуме вольт-амперной характеристики диода. Результат сравнить со значением Imax для исследуемого диода.

7.5. Указания по выполнению наблюдений

Включить установку. Изменяя потенциометром R (ручка «Смещение» на панели прибора) ток диода, снять вольт-амперную характеристику диода. Интервал прямых напряжений на диоде (0—0,5 В) разбить на 15— 20 значений, в каждой точке устанавливать по возможности неизменное напряжение (с погрешностью, допускаемой вольтметром), по миллиамперметру определять ток диода. Повторить снятие вольт-амперной характеристики 5—7 раз в обе стороны (при увеличении и уменьшении напряжения на диоде). Данные представить в виде таблицы. Особое внимание обращать на фиксацию результатов в экстремальных точках.

7.6.Указания по обработке результатов и содержанию отчета

1.По результатам измерений построить график зависимости тока диода от напряжения смещения (вольт-амперную характеристику). Для каждой пары значений ток — напряжение указать на графике доверительные интервалы.

2.Из графика найти значения Umax, Umin и Imax. Оценить доверительную погрешность этих результатов.

3.По полученным результатам Umax, Umin и Imax оценить положение уровня Ферми, максимума плотности распределения электронов в зоне проводимости по отношению к дну зоны проводимости Ec, а также вероятность туннелирования электронов через р–n-переход. Экспериментальные результаты сравнить с результатами предварительных расчетов.

4.Сформулировать выводы по работе.

57

Список литературы

1.Савельев И. В. Курс общей физики. — М.: Наука. 1979, т. 3, § 26, 52—53.

2.Пасынков В. В., Чиркин Л. К., Шинков А. Д. Полупроводниковые приборы. — М.: Высшая школа, 1966, гл. 4.

3.Справочник по полупроводниковым диодам, транзисторам и интегральным схемам. / Под ред. Н. Н. Горюнова.—М.: Энергия, 1976.

4.Методические указания к курсу лекций по физике (Твердое тело), / Сост. Г. Ф. Холуяиов, Б. Ф. Алексеев. — Л.: ЛЭТИ, 1982.

Работа 8. КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТУННЕЛЬНОГО ЭФФЕКТА

Цель работы: Ознакомление с компьютерным экспериментом на примере исследования эффекта туннелирования и надбарьерного отражения микрочастицы.

Приборы и принадлежности: Персональный компьютер, оснащенный интерактивной программой для решения одномерного стационарного уравнения Шредингера.

Общие сведения: Для описания движения микрочастиц используется аппарат квантовой механики. Состояние микрочастицы в квантовой механике задается волновой функцией x, y, z,t , аргументами которой являются координаты

x, y, z и время t . Квадрат модуля волновой функции 2 характеризует объ-

ёмную плотность вероятности обнаружения частицы: dB x, y, z,t 2 dV ,

где dB – вероятность обнаружения частицы в элементарном объеме dV , находящимся в точке с координатами x, y, z в момент времени t . Вероятность нахождения частицы в конечном объеме V определяется интегралом

B x, y, z,t 2 dV . В предельном случае V значение B , согласно усло-

V

вию нормировки -функции, асимптотически приближается к единице.

58

Определение типа волновой функции производится с помощью уравнения Шредингера. Если потенциальная энергия Ep (x) не зависит от времени (ста-

ционарное состояние квантово-механической системы) и зависит только от одной координаты, то уравнение Шредингера принимает вид:

альная энергия, характеризующая взаимодействие частицы с окружающими объектами. Решения уравнения (8.1) должны удовлетворять стандартным условиям: волновая функция и её производные конечны и не имеют разрывов во всех точках пространства.

Для повышения точности решения уравнения Шредингера численным методом необходимо записать (8.1) в виде соотношения, содержащего безразмерные величины:

электрона; Ep ER – относительная энергия взаимодействия частицы с ок-

ружающими объектами.

Моделируемые закономерности

При движении частицы в однородном потенциальном поле Ep x, y, z const

вероятность её обнаружения в любой точке пространства одинакова. В неоднородном поле Ep x, y, z var условие постоянства dB x, y, z const не выпол-

няется.

59

(7.3)

Слагаемые в правой части (8.3), содержащие коэффициенты A , описывают движение частицы слева направо, слагаемые содержащие коэффи-

коэффициент B1 – вероятность возврата частицы в область I. Из условия непрерывности функции и её производной в точках 0 и d следует система линейных уравнений (8.4), содержащих неизвестные коэффициенты

B1, A2, B2, A3 .

60