Волны электрического напряжения и тока в линии передачи

Телеграфные уравнения. Линия передачи, эквивалентная схема отрезка которой приведена на рис. 7, характеризуется следующими погонными параметрами линии передачи: индуктивностьюL₁, сопротивлениемR₁, емкостьюC₁и проводимостьюG₁.Запишем для этой линии телеграфные уравнения:

. (28)

Входное комплексное сопротивление отрезка линии передачи. Указанное сопротивление отрезка линии передач, нагруженной на импеданс Z_н определяется как

, (29)

где – волновое сопротивление отрезка линии передачи;l – длина линии передачи; – постоянная распространения.

Рассмотрим не схему, а реальный отрезок линии передачи длиной l, имеющий волновое сопротивление Z₀. Запишем решения телеграфных уравнений (28) в виде суммы падающей и отраженной волн для разности потенциалов и для тока в проводниках:

.

Если в линии присутствуют и падающая и отраженная волны, то импеданс в данном сечении линии является функцией координат:

. (30)

Сформулируем граничные условия на концах отрезка линии, т. е. в точках z= –lиz= 0. Для точкиz= 0 и точкиz= –lсоотношения (29) и (30) приводят к следующим равенствам:

, . (31)

Из (31) получим систему уравнений относительно амплитуд падающей и отраженной волн:

Решение полученной системы уравнений имеет следующий вид:

; (32)

. (33)

Вернемся к выражению для импеданса линии. Найдем его в точке z= –l. При этом используем полученные выражения дляU_падиU_отр. В результате получим

Z(–l) называется входным комплексным сопротивлением отрезка линии передачи длиной l. Использование формул Эйлера позволяет получить требуемое выражение для входного комплексного сопротивления, которое широко используется при анализе СВЧ-цепей:

.

Коэффициент отражения. Найдем коэффициент отражения Г, который определяется как отношение комплексной амплитуды отраженной волны к комплексной амплитуде падающей волны:

. (34)

Подставив (32) и (33) в (34), получим в точке подключения нагрузки (z= 0)

Рассмотрим три примера, непосредственно связанных с понятием и определением коэффициента отражения.

1. При каких условиях коэффициент отражения равен нулю (в линии передачи отсутствует отраженная волна, при этом говорят, что линия работает в режиме согласования, т. е. согласована)? [Ответ: Z_н = Z₀].

2. Каким будет коэффициент отражения при коротком замыкании на конце линии передачи (Z_н = 0)? [Ответ: Г = –1].

3. Каким будет коэффициент отражения при холостом ходе на конце линии передачи (Z_н  )? [Ответ: Г = 1].

Теорема Пойнтинга

Вектор называется вектором Пойнтинга. Вектор Пойнтинга представляет собой плотность потока энергии, переносимой электромагнитным полем.

Теорему Пойнтинга для напряженностей поля и тока в форме вещественных величин можно представить следующим образом:

. (35)

Слагаемые в (35) представляют собой:

–скорость изменения энергии, запасенной электрическим и магнитным полями в объеме V;– энергия, которая выделяется (или поглощается) в объеме за единицу времени за счет протекания тока; – поток энергии, переносимой электромагнитным полем за единицу времени через поверхность S.

Теорема Пойнтинга формулируется следующим образом: скорость изменения электромагнитной энергии, запасенной в объеме, равна сумме потока мощности через поверхность, ограничивающую этот объем, и мощности, поглощаемой или выделяемой протекающими в объеме токами.

Рассмотрим пример использования теоремы Пойнтинга. На рис. 8 показана полосковая линия, по проводникам которой течет постоянный токI. Между проводниками существует разность потенциаловU. Вдоль линии слева направо переносится мощность. В конец линии включен пленочный резистор (2 на рис. 8), поглощающий мощность, переносимую током. Цифрами обозначены:1 и 3 – проводящие пластины, 4 – изолятор.Для простоты расчета будем пренебрегать полями рассеяния, тогда силовые линииЕ иН будут приблизительно соответствовать силовым линиям, показанным на рис. 9.

Определим переносимую мощность и запасенную энергию в рассматриваемой полосковой линии. Поскольку в принятом приближении напряженности электрического и магнитного полей в пространстве между проводящими пластинами не зависят от координат, интегралы можно заменить произведением подынтегральных величин. В результате получим следующие равенства:

,

где S – площадь поверхности, перпендикулярной направлению течения тока. Энергия, запасаемая электрическим полем:

.

Из полученного равенства следует, что .

Энергия, запасаемая магнитным полем:

,

следовательно, .

Объем пространства между проводниками полосковой линии определяется как V = dwl. Приведенные выражения дляLиCсправедливы для отрезка полосковой линии длинойlв пренебрежении полями рассеяния.

Таким образом, получим следующие соотношения:

; ;;

; .

Эти соотношения непосредственно следуют из теоремы Пойнтинга. Они также известны из электротехники, где они выводятся другим способом.

Рассмотрим примет расчета изменения напряжения во времени для полосковой линии передачи, геометрические размеры которой соответствуют размерам, указанным на рис. 9. Пусть в момент времени к торцу линии подключили проводящую пластину с сопротивлением .Согласно закону Ома плотность тока в проводниках линии, где σ – удельная проводимость металла. Напряженность электрического поля в линии.

Тогда можно записать: , гдеV = dwl –объем пластины толщинойl и сопротивлением R.

Полосковая линия передачи представляет собой заряженный конденсатор. Полная энергия, запасенная в таком конденсаторе, определяется следующим образом: . Теорема Пойнтинга позволяет записать: .Возьмем производную по времени от квадрата разности потенциалов:, и получим дифференциальное уравнение для разности потенциалов между пластинами конденсатора, нагруженного на резистор с сопротивлениемR:

. (36)

Начальное условие для дифференциального уравнения (36): при.При таком начальном условии решение уравнения (36) имеет вид.

Этот пример показывает, что теорема Пойнтинга содержит в себе потенциальные возможности исследования большого числа самых разнообразных процессов сохранения или переноса энергии электромагнитного поля.