Треугольник Паскаля

Рассмотрим задачу, сочетающую правило сложения и нахождение числа сочетаний. Вывести рекуррентную формулу для подсчета биномиальных коэффициентов.

Выделим из n элементов один и разобьем все k-элементные подмножества на два класса:

- содержащие выделенный элемент и

- не содержащие его.

Первых будет , так как один элемент уже выбран, и из оставшихся n-1 элементов надо выбрать еще k-1 элемент.

Вторых будет , так как один элемент запрещается выбирать, и надо выбрать все k элементов из оставшихся n-1.

Так как любое подмножество (сочетание) принадлежит либо одному, либо другому классу и классы не пересекаются, получаем рекуррентную формулу:

Процесс вычислений по этому рекуррентному соотношению можно представить в виде пирамиды, которая называется треугольником Паскаля:

В этом треугольнике каждое число по выведенной рекуррентной формуле есть сумма двух, стоящих над ним, а по границам треугольника стоят единицы.

1

1. 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

………………..

Например, (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴.

Серия задач по комбинаторике на различные методы решения

1. При одном бросании монеты возможно 2 исхода: орел или решка. Сколько исходов возможно при 5 бросаниях монеты?

2. На конференции каждый из 30 участником обменялся рукопожатием со всеми остальными. Сколько было сделано рукопожатий?

3. Сколько диагоналей в 100-угольнике?

4. Сколько делителей у числа ?

5. Сколькими нулями оканчивается число 100!? (имеется в виду факториал).

6. Сколькими способами можно выбрать 3 дежурных в классе из 25 человек?

7. На сколько частей делят плоскость 20 прямых, никакие две из которых не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке?

8. На какое наибольшее количество частей можно разделить круг n прямыми?

9. На какое наименьшее число прямых можно разделить круг n прямыми?

10. Сколько вариантов трехцветного флага из трех горизонтальных полос можно составить, если имеется выбор из шести цветов материи?

11. Пять писем разложены по пяти конвертам, по одному в каждом. Сколько способов разложить их так, чтобы ровно два письма попали не в тот конверт?

12. Сколько способов разложить их так, чтобы ровно одно письмо попало не в тот конверт?

13. Есть 10 школьников: 5 мальчиков и 5 девочек. Сколько способов рассадить их на 10 стульев, стоящих в ряд, чтобы мальчики чередовались с девочками?

14. Сколько существует шестизначных чисел, в записи которых все цифры нечетны?

15. Сколько существует шестизначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна четная цифра?

Ответы к серии задач на различные сюжеты.

1. .

2. .

3.

4. делителей.

5. 24.

6. .

7. 211.

8. .

9. Ответ: n + 1.

10. .

11. .

12. Ни одного способа.

13. .

14. .

15. .

Материалы для семинаров

(Задача 6 – это ознакомительный материал!)

ОТВЕТЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

В задаче номер 4 решение аналогично решению для систем счисления (вспомните тему «Целые числа»!), а в задаче номер 3 надо воспользоваться правилом произведения, а в некоторых случаях – и правилом перехода к дополнению.

Графы (ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ)

Определение

Граф — это совокупность непустого множества вершин и множества пар его вершин.

Обычно связи между вершинами представляют как дуги, соединяющие эти вершины.

Граф называют ориентированным, если отмечено направление всех дуг (от одной вершины к другой).

Граф называют планарным, если можно изобразить его на плоскости.

Пример.

Квадрат с диагоналями является планарным графом (проверьте!). А пятиугольник с диагоналями не является планарным графом.

Деревья *

Дерево или древовидный граф – это связный граф без циклов.

Такое название дано потому, что любой древовидный граф можно нарисовать так, что он будет похож на дерево-растение. На таком изображении видны «корень» и «ветви». Листьями в дереве называются вершины, соединённые с графом только одной дугой.

В деревьях число вершин всегда на единицу меньше числа дуг. В самом деле, если мы будем отстригать от дерева листья вместе с дугами, на которых они висят, то разность между числом вершин и числом дуг меняться не будет. В конце стрижки останется одинокая вершина. Следовательно, эта разность равна единице.

В ориентированном дереве, в котором дуги идут от корня к ветвям, выходящие дуги связывают родительскую вершину с дочерними, а входящие – с родительскими.

Особую популярность имеют двоичные деревья, в которых у каждой вершины может быть не более двух детей – правая ветвь и левая. Информацию об этом дереве можно хранить, например, так: каждая вершина содержит ссылку на своих детей и своего родителя.

Применение древовидных графов.

1. Древовидная файловая система, или дерево директорий.

2. Дерево поиска, при котором все потомки с левой стороны всегда меньше родителя, а в правом не меньше.

3. Дерево для вычисления математических формул – например, префиксной и постфиксной формы записи.

Задачи по теме «Деревья»

1. Какое максимальное количество листьев может быть у дерева из n вершин? А минимальное?

2. Могут ли в дереве две вершины соединяться двумя различными путями?

3. Существует ли дерево, у которого одна вершина является и листом, и корнем?

4. Докажите, что в ориентированном дереве у каждой вершины не более одного родителя.

Связные графы

Определение

Если из каждой вершины можно попасть в каждую, то граф отношения называют связным.

Подмножество графа, в котором из каждой вершины можно попасть в каждую, называют компонентой связности.

Из определения можно увидеть, что если граф состоит из одной компоненты связности, он называется связным. Если из более чем одной компоненты связности, он называется несвязным.

Двудольные графы