17. Свойства непрерывных функций.

1) Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная. (для частного кроме тех случаев, когда значение знаменателя равно нулю)

Пусть функции инепрерывны на некотором множестве Х и- любое значение из этого множества.

2) Пусть функции непрерывна в точке, а функциянепрерывна в точке. Тогдасложная функция , состоящая из непрерывных функций, непрерывна в точке.

В силу непрерывности функции ,, т.е. приимеем. В следствии непрерывности функцииимеем :

3) Если функция непрерывна и строго монотонна на [a;b] оси Ох, то обратная функция также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке [c;d] оси Oy.

18. Точки разрыва и их классификация.

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Если - точка разрыва функции, то в ней не выполняется по крайней мере одно из условий непрерывности функции.

1. Функция определена в окрестности точки , но не определена в самой точке.

2. Функция определена в точкеи в ее окрестности, но не существует пределаf(x) при

Точка называетсяточкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют конечные пределы слева и справа (односторонние пределы), т.е.и. При этом:

1. Если , то точканазываетсяточкой устранимого разрыва.

2. Если , то точканазываетсяточкой конечного разрыва

Величину называютскачком функции в точке разрыва первого рода.

Точка называетсяточкой разрыва второго рода функции , если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

19. Непрерывность функции на интервале и на отрезке.

Функция называетсянепрерывной на интервале (a;b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция называетсянепрерывной на отрезке [a;b], если она непрерывна на отрезке (a;b) и в точке x = a непрерывна справа , а в точкеx = b непрерывна слева .

20. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

1) Теорема Вейрштрасса. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

1’) Следствие. Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

2) Теорема Больцано-Коши. Если функция непрерывна на отрезке [a;b] и принимает на его концах неравные значения f(a) = A и f(b) = B, то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между А и В.

2’) Следствие. Если функция непрерывна на отрезке [a;b] и принимает на его концах разные по знаку значения, то внутри отрезка [a;b] найдется хотя бы одна точка с, в которой функция обращается в нуль. F(c) = 0

21. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.

Производной функции в точкеназывается предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

или

Функция , имеющая производную в каждой точке интервала (a;b), называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

22. Производная функции, ее геометрический и физический смысл.

Физический смысл. Производная – скорость протекания процесса.

Геометрический смысл. Производная в точке х равна угловому коэффициенту касательной (тангенсу угла наклона) к графику функциив точке, абсцисса которой равна х.

23. Уравнение касательной и нормали к кривой.

Уравнение касательной.

Уравнение нормали.

24. Односторонние производные функции в точке.

Возьмем функцию y = |x| в точке х=0. ,.

В таких случаях говорят, что функция имеет односторонние производные(или «производные слева и справа»), и обозначают соответственно и.

Если, значит, производная в точке не существует.

25. Основные правила дифференцирования.

Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций. .

Производная произведения двух функций равна произведению первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго: .

Производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведения знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя: . Выполняется, когда.