Д.Т.Письменный. Конспект лекций по высшей математике
.pdfобычно непосредственно определяют коэффициент с_1 в разложении функции в ряд Лорана.
Пример 77.1. Найти вычеты функции f(z) = |
~ + 24 |
в ее особых |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
-z |
|
|
|
|
|
точках. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q Решение: Особыми точками функции f(z) |
являются: z1 = 1 - |
про |
|||||||||||||||||||
стой полюс, z2 =О - |
полюс третьего порядка (m = 3). Следовательно, |
||||||||||||||||||||
по формуле (77 |
. |
4) имеем Res(J(z)· 1) - |
z + |
2 |
1 |
- |
1+2 - |
-3 |
. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
- |
(z3 - |
z4)' |
z=l - |
3 - |
4 - |
|
|
||||
Используя формулу (77.5), находим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
() |
; О |
) |
|
1 . |
( |
(z-0) |
3 |
z+2 )" |
1 |
. (z+2)" |
|
1 |
= |
3. |
8 |
||||||
Res(f z |
|
= - l1m |
|
z |
3 |
- z |
4 |
= - 11m |
- |
- |
|
= - ·6 |
|
||||||||
|
|
|
21. z-+0 |
|
|
|
|
2 z-+0 |
1 |
- Z |
|
|
2 |
|
|
|
|||||
Пример 77.2. |
Найти вычет функции f(z) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= ez |
в особой точке |
z =о.
О Решение: Лорановское разложение данной функции в окрестности
точки z = О было найдено в примере 76.4. Из него находим С-1 |
= 1, |
т. е. Res(f(z); О) = 1. |
8 |
Теорема о вычетах часто используется для вычисления интеграла от функции комплексного переменного по замкнутому контуру.
Пример 77.3. Вычислить f (z - l)~(z2 + l), гдеL-окружность
. |
../2. |
L |
у |
|
|
lz - 1 - il = |
|
|
|
|
|
Q Решение: |
Функция J(z) = (z _ l)2Cz2 + l) имеет |
|
|
|
|
в круге lz - |
1 - il < ../2 (см. рис. 301) простой полюс |
|
|
|
|
z1 = i и полюс второго порядка z2 = 1. Применяя |
о |
1 |
х |
формулы (77.2), (77.3) и (77.5), получаем:
Рис. 301
f (z-1
L
= 27ri.[1·lffi
z-+i
= 27ri·(l·lffi
z-+i
)~~z2 +1 ) = 27ri(Res(f(z);i) + Res(f(z); 1)) =
(z - |
1)2 |
z - i |
|
+ -1 l"lffi |
((z - |
1)2 |
|
1 |
) '] |
|
(z + i)(z - i) |
1! z-+1 |
|
|
(z -1)2 (z2 |
+ 1) |
|
||||
(z - |
1 |
+ 1lffi. |
-2z |
) = |
1Г"l·(1- - |
-1) = |
- -7Гi. |
• |
||
1)2 |
(z + i) |
z-+1 |
(z 2 + 1)2 |
|
2 |
4 |
2 |
2 |
570
211"
Определенный интеграл вида JR(sin х; cosx) dx с помощью заме-
о
ны z = eix в некоторых случаях удается преобразовать в интеграл по
замкнутому контуру izl = 1 от функции комплексного переменного, к
которому уже применима основная теорема о вычетах.
Прuмер 77.4. Вычислить с помощью вычетов интеграл
211"
dx
I= ! (3+2cosx) 2 .
о
Q Решение: Произведем замену переменного, положив z = eix. Тогда
. |
ix |
+2е |
-ix |
z + !. 2 |
dz = ieixdx = izdx, cosx = е |
|
|
= ~ = z 2~ 1 . При изменении |
х от О до 27Г точка z опишет в положительном направлении окружность izl = 1. Следовательно,
211" |
dx |
|
dz |
|
|
1 |
f |
zdz |
_ I |
J (3+2cosx) 2 = |
f |
-----~= |
|||||||
iz(3 + 2z~t1 )2 |
i |
lzl=l |
(z 2 + 3z + 1)2 |
- · |
|||||
О |
|
lzl=l |
|
|
|
|
|
|
|
В круге izl < 1 функция f(z) ( |
2 |
z |
|
l) 2 |
имеет полюс второго |
||||
|
|
|
z |
|
+3z+ |
|
|
|
порядка Z1 = - 3 ;- J5. По формуле (77.5) находим
-3+ У§)
Res ( f(z); 2 =
- |
_.!:_ |
lim |
( ( z - -3 |
- |
1! |
~ |
|
|
z-t |
2 |
|
_ l |
. |
|
следовательно, I - |
Т · 27Г~ |
|
;;;) 2 |
|
|
|
z |
) / |
|
+ v 5 |
{z - |
|
|
|
|
|
2 |
~)2. (z - -з-.,15")2 |
||||
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
lim |
tiд_z |
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
----~ |
= 5.J§" |
|
|
|
|
|
~ (z + з+.Л)3 |
||
|
|
z-t |
2 |
2 |
• |
|
· |
3 -~ |
|
|
|
||
5.J§ - |
25 |
7Г. |
|
|
|
Глава XVlll. ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
1 Лекции 69-71 1
Операционное исчисление играет важную роль при решении при
кладных задач, особенно в современной автоматике и телемеханике. Операционное исчисление - один из методов математического ана
лиза, позволяющий в ряде случаев сводить исследование дифференци
альных и некоторых типов интегральных операторов и решение урав
нений, содержащих эти операторы, к рассмотрению более простых ал гебраических задач.
Методы операционного исчисления предполагают реализацию сле
дующей условной схемы решения задачи.
1.От искомых функций переходят к некоторым другим функци ям - их изображениям.
2.Над изображениями производят операции, соответствующие за данным операциям над самими функциями.
3.Получив некоторый результат при действиях над изображения ми, возвращаются к самим функциям.
Вкачестве преобразования, позволяющего перейти от функции к их изображениям, будем применять так называемое преобразование Ла
пласа.
§ 78. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
78.1. Оригиналы и их изображения
Основными первоначальными понятиями операционного исчисле ния являются понятия функции-оригинала и функции-изображения.
Пусть f(t) - действительная функция действительного перемен ного t (под t будем понимать время или координату).
~Функция f(t) называется оригиналом, если она удовлетворяет
следующим условиям:
1.f (t) =О при t < О.
2.f(t) - кусочно-непрерывная при t ~О, т. е. она непрерывна или
имеет точки разрыва I рода, причем на каждом конечном промежутке
оси t таких точек лишь конечное число.
Е§] 3. Существуют такие числа М > О и s0 ~ О, что для всех t выпол
няется неравенство lf(t)i ~ М·e80 t, т. е. при возрастании t функция f(t) может возрастать не быстрее некоторой показательной функции. Число so называется показателем роста f(t).
572
Условия 1-3 выполняются для большинства функций, описываю
щих различные физические процессы.
Первое условие означает, что процесс начинается с некоторого мо мента времени; удобнее считать, что в момент t = О. Третьему усло
вию удовлетворяют ограниченные функции (для них можно положить
2
s0 = О), степенные tn (п > О) и другие (для функций вида /(t) = aet
условие 3 не выполняется). Не является оригиналом, например, функ
ция f(t) = t (не удовлетворяет второму условию).
За.ме-чание. Функция f(t) может быть и комплексной функцией
f(t) = fi (t) +if2(t); она счи
тается оригиналом, если действительные функции fi (t) и / 2 (t) явля
~ИзобраЭ1Сением оригинала f(t) называется функция F(p) ком
плексного переменного р = s + iст, определяемая интегралом
F(p) = j00 f (t) · e-pt · dt. |
(78.1) |
о |
|
~Операцию перехода от оригинала /(t) к изображению F(p) назы-
вают преобразованием Лапласа. Соответствие между оригина
лом f(t) и изображением F(p) записывается в виде f(x) ~ F(p) или
F(p) ~ f(x) (принято оригиналы обозначать малыми буквами, а их
изображения - соответствующими большими буквами).
Теорема 78.1 (существование изображения). Для всякого ориги
нала /(t) изображение F(p) существует (определено) в полуплоскости Rep = s > s0 , где s0 - показатель роста функции /(t), причем функ ция F(p) является аналитической в этой полуплоскости (s > s0 ).
Q Докажем первую часть теоремы. Пусть р = .............
=s + iст произвольная точка полуплоскости
Rep = s |
> s0 |
(см. рис. 302). Учитывая, что |
|
.............. |
lf(t)I:::; М ·esot, |
находим: |
|
||
|
.. .... .... .. ... . .. .. ... . |
|||
11f(t) |
· e-pt dt\ :::; f lf(t) ·e-ptl dt:::; |
|
||
|
............ |
|||
|
. .. . . . .... .. .. |
|||
о so |
·S |
|||
|
Рис. 302 |
оо
573
так как s - s0 > О и le-pt 1 = le-st · |
e-iut 1 = e-st · 1 cos at - |
i sin ati = e-st. |
Таким образом, |
|
|
IF(p)I = 1/00 f(t) |
· e-pt dtl ~ __!!___. |
(78.2) |
|
S - Во |
|
о |
|
|
Отсюда вытекает абсолютная сходимость интеграла (78.1), т. е. изобра
жение F(p) существует и однозначно в полуплоскости Rep = s > s0 . 8
Следствие 78.1 (необходимый признак существования изобра
жения). Если функция F(p) является |
изображением функции f(t), |
||
то |
lim F(p) =О. |
|
|
|
|
||
|
р-+оо |
|
|
Это утверждение непосредственно вытекает из неравенства (78.2), |
|||
когда Re р = в --+ +оо. |
|
|
|
Так как F(p) - |
аналитическая |
функция в |
полуплоскости |
Rep > s0 , то F(p) --+ |
О при р --+ оо по любому направлению. Отсю |
||
да, в частности, следует, что функции F(p) = 5, F(p) |
= р2 не могут |
быть изображениями.
Отметим, что из аналитичности функции F(p) следует, что все ее
особые точки должны лежать левее прямой Re р = в = в0 или на са
мой этой прямой. Функция F(p), не удовлетворяющая этому условию,
не является изображением функции f(t). Не является изображением, например, функция F(p) = tgp (ее особые точки расположены на всей
оси s).
Теорема 78.2 (о единственности оригинала). Если функция F(p) служит изображением двух оригиналов / 1 (t) и f2(t), то эти оригиналы
совпадают друг с другом во всех точках, в которых они непрерывны.
(Примем без доказательства.)
Пример 78.1. Найти изображение еди
ничной функции Хевисайда
l(t) = {
~ при t;::: О,
при t <О
(см. рис. 303).
1 (t)
11 -------
о
Рис. 303
574
Q Решение: По формуле (78.1) при s = Rep >О (s0 =О) находим:
00 |
ь |
1 |
ь |
1 |
|
F(p) = j |
1 · e-pt dt = lim |
j e-pt dt = |
lim -- · e-ptl |
|
= -, |
|
b--too |
|
Ь--tоо р |
О |
р |
о |
|
о |
|
|
|
т. е. F(p) =~'или, в символической записи, l(t) ~~'или 1 ~ ~- 8
Заме"tание. В дальнейшем функцию-оригинал будем кратко запи
сывать в виде f(t), подразумевая, что
f(t) = {f(t) при t ~О,
Опри t <О.
Пример 78.2. Найти изображение функции f(t) = eat, где а -
любое число.
Q Решение: Данная функция является оригиналом. По формуле (78.1)
имеем |
|
|
|
|
|
00 |
ь |
|
|
1 |
ь |
F(p) = j eate-pt dt = lim j e-(p-a)t dt = - |
lim -- · e-(p-a)tl = |
||||
|
Ь--tоо |
|
Ь--tоо р - а |
О |
|
о |
о |
|
|
|
|
|
= |
. ( |
1 |
е-(р-а)·Ь) |
1 |
|
11m |
--- |
= -- , |
||
|
|
Ь--+оо р - а |
р - а |
р - а |
|
если Re(p- а) >О. Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
> Rea). |
(78.3) |
|
|
eat =-- (Rep |
||||
|
. р-а |
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
Пример 78.3. |
Найти изображение функции f(t) = t. |
|
Q Решение: В этом случае преобразование Лапласа имеет вид
00 |
ь |
[ и = t |
1 du = dt |
] |
[ |
t · e-pt dt = ь~~[ te-pt dt = |
dv = e-pt dt |
v = -~e-pt |
= |
|
= |
. |
|
( |
t |
- |
Р |
tlь |
1 - |
Р |
tjь) |
|
11m |
|
-- · е |
|
О |
- -е |
О |
||||
(Т. К. lim 11 ·Ь· е-рЬ1 = |
|
Ь--+оо |
|
р |
|
|
р2 |
|
|||
l |
· lim |
Ь· e-sb = 0), Т. е. |
|
|
|||||||
Ь--tоо р |
J 8 2 + (]'2 |
Ь--tоо |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
. |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t=;=2· |
|
|
|
|
|
|
|
|
р
= -1
р2
(78.4)
•
575
l1i\I |
Заме'Чание. Функция F(p) = - - |
является аналитической не |
|
1 |
|
~ |
р-а |
только в полуплоскости Rep > Rea, где интеграл (78.1) сходится,
а на всей комплексной плоскости р, кроме точки р = а. Такая особен ность наблюдается и для многих других изображений. Далее для нас будет более важным, как правило, само изображение функции, а не
область, в которой оно выражается интегралом (78.1).
78.2. Свойства преобразования Лапласа
Находить изображения, пользуясь только определением изображе
ния, не всегда просто и удобно. Свойства преобразования Лапласа су щественно облегчают задачу нахождения изображений для большого
числа разнообразных функций, а также задачу отыскания оригиналов по их изображениям.
Линейность
Линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линей
ная комбинация изображений, т. е. если fi (t) ~ F1 (р), f 2 ( t) ~ F2 (р), с1
и с2 - постоянные числа, то С1 · fi(t) + с2 · f2(t) |
~ С1 · F1 (р) + С2 · F2(p). |
||
О Используя свойства интеграла, находим |
|
|
|
00 |
· e-pt dt = |
|
|
J(с1 · fi(t) + с2 · f2(t)) |
|
|
|
о |
|
|
|
00 |
00 |
|
|
= с1 · Jfi (t) · e-pt dt + с2 |
J-f2(t) · e-pt dt = с1 |
·F1 (р) + с2 • F2(p). |
• |
оо
Пример 78.4. Найти изображения функций sinwt, coswt (w -
любое число), с (const), chwt, shc.vt.
Q Решение: Пользуясь свойством линейности, формулой (78.3), нахо
дим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
eiwt - e-i<.Jt |
. |
1 ( |
|
1 |
1 ) |
c.v |
||
SШ c.vt = |
2i |
= - |
|
--- - --- |
- р2 + w2 ' |
||||
|
· |
2i |
р - |
ic.v |
р + iw |
||||
т. е. |
|
. |
t . |
|
|
(;) |
|
(78.5) |
|
|
|
sшw |
:::;= |
|
р2 +w2. |
||||
Аналогично получаем формулу |
|
|
|
|
|
|
|||
|
coswt |
:::;=. |
|
2 |
р |
2. |
(78.6) |
||
|
|
|
|
|
|
р |
+w |
|
|
Далее, с= с· 1 ~ с· 1, т. е. |
|
|
. |
с |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
р |
|
|
с - |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
....,.. р" |
|
|
|
576
Наконец, chwt = e t + e-OJt |
=1. _1_ + 1. - - = |
Р |
т е |
||||
01 |
. 2 р - (А) |
1 |
р2 - "-12 |
• • |
|||
2 |
2 р + (А) |
||||||
|
chwt ф |
2 |
р |
2 • |
|
(78.7) |
|
|
|
|
р -(А) |
|
|
|
|
Аналогично получаем формулу |
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
. |
|
(А) |
|
|
(78.8) |
|
swt::т |
2 |
|
2 • |
|
||
|
|
|
р |
-(А) |
|
|
|
•
ПОАОбие
Если f(t) Ф F(p), Л > О, то f(Лt) Ф ! ·F(x), т. е. умножение
аргумента оригинала на положительное число Л приводит к делению изображения и его аргумента на это число.
Q По формуле (78.1) имеем
f(Лt) ф j00 f(Лt) · e-pt · dt = [положив Лt = t 1] =
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
/00 |
! (t1). е |
_E.t1 |
1 |
/00 |
f(t). е |
_E.t |
1 |
(р) |
= л . |
|
А |
. dt1 = л . |
|
А |
. dt = л .F |
л |
оо
(так как безразлично, какой буквой обозначена переменная интегриро
вания). |
|
|
|
|
8 |
Например, пусть cos t Ф р2 |
~ 1 . Тогда |
|
|
|
|
1 |
Е. |
= |
|
|
р |
cos wt Ф - · |
~ |
р |
2 |
2 • |
|
w |
(~) |
+ 1 |
|
±w |
Смещение (затухание)
Если f(t) ф F(p), а= const, то eat · f(t) ф F(p- а), т. е. умножение
оригинала на функцию eat влечет за собой смещение переменной р.
Q В силу формулы (78.1) имеем
eat · f (t) ф j00 eat · f (t)e-pt dt = j00 f(t)e-(p-a)t dt = F(p - а)
оо
(Re(p - а) > so). |
• |
|
577
Благодаря этому свойству можно расширить таблицу соответствия между оригиналами и их изображениями:
|
at |
· |
|
t |
· |
|
W |
+w2 , |
(78 |
|
9) |
||
е |
|
|
·SШW |
|
:::;= |
(р |
-а)2 |
|
. |
|
|||
|
at |
· cosw |
t . |
|
р- а |
(78.10) |
|||||||
е |
|
|
|
:::;= |
(р-а) 2 |
+w2 , |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
е |
at |
· s |
h |
wt |
. |
|
W |
|
|
|
|
||
|
|
:::;= |
(р-а) 2 -w2 , |
|
|
|
|||||||
|
|
at |
|
h |
t . |
|
р- а |
|
|
|
|||
е |
|
· с |
|
w |
|
:::;= |
(р |
-а)2 -w2 . |
|
|
|
Пример 78.5. Найти оригинал по его изображению
2р-5
F(p) = р2 - 6р+ 11 ·
Q Решение: Преобразуем данную дробь так, чтобы можно было вос
пользоваться свойством смещения:
F(p) _ |
2р - |
5 |
_ 2(р - 3) + 1 _ |
|
|
|
- р2 - 6р + 11 - (р - 3) 2 + 2 - |
|
|
||||
|
=2· |
|
р-3 |
+__!__· |
v'2 |
= |
|
|
(р - |
3)2 + (J2)2 |
v'2 |
(р - 3)2 + (J2)2 . |
|
|
|
|
~ 2 · e3t · cos v'2t + ~ ·e3t sin v'2t = f(t). |
|||
(См. формулы (78.9), |
(78.10) и свойство линейности.) |
8 |
||||
Запаздывание |
|
|
|
|
|
|
Если f(t) ~ |
F(p), т > О, то |
f(t - т) |
~ е-ртF(p), |
т. е. запаздыва |
ние оригинала на положительную величину т приводит к умножению
изображения оригинала без запаздывания на е-рт.
О Положив t - т = t 1 , получим
00 |
00 |
|
f(t - т) ~ Jf(t - т) · e-pt dt = |
j |
f(t1)e-p(ti+т) dt1 = |
о-т
= j00 |
f (t1)е-рт · e-pti dt1 = е-рт |
j00 |
f(t)e-pt dt = е-ртF(p). |
• |
о |
|
о |
|
|
Поясним термин «запаздывание». Графики функции f(t) и f(t-т)
имеют одинаковый вид, но график функции f(t-т) сдвинут на т единиц
578
Рис. 304 Рис. 305
вправо (см. рис. 304). Следовательно, функции f(t) и f(t-т) описывают
один и тот же процесс, но процесс, описываемый функцией !(t - т),
начинается с опозданием на время т.
Свойство запаздывания удобно применять при отыскании изобра жения функций, которые на разных участках задаются различными аналитическими выражениями; функций, описывающих импульсные
процессы. |
|
|
|
Функция 1(t-т) = { 1 |
при t |
~ т, называется обобщенноii, едини"t- |
|
0 |
при t |
< т |
|
нoii. функи,иеii. (см. рис 305). |
|
|
|
Так как l(t) ~~'то l(t - т) ~ ~ · е-Рт. |
|
||
Запаздывающую функцию |
|
|
|
g(t) = |
{ ~(t- |
т) при t |
~ т, |
|
|
при t |
< т |
можно записать так: g(t) = f(t - т) · 1(t - т). |
|
||
Пример 78.6. Найти изображение f(t) |
= t - 1. |
Q Решение: Для того чтобы быть оригиналом, функция j(t) должна
удовлетворять условиям 1-3 (см. п. 78.1). В этом смысле исходную
задачу можно понимать двояко.
Если понимать функцию f(t) как
f(t) = { ~- 1 при t ~О,
при t <О,
т. е. f (t) = (t - 1) · l(t) (см. рис. 306, а), то, зная, что t ~ ~ (см.
р
формулу (78.4)), 1 ~~и, используя свойство линейности, находим
f (t) = (t - 1) ·l(t) ~ |
1 |
1 |
F(p). |
2 |
- - = |
||
|
р |
р |
|
579