Д.Т.Письменный. Конспект лекций по высшей математике
.pdff |
= ! + |
! |
CnAmC |
CnA |
AmC |
Таким образом, |
f |
• |
f |
AmCnA CnAmC
56.2. Вычисление криволинейного интеграла 11 рода
Вычисление криволинейного интеграла П рода, как и I рода, может
быть сведено к вычислению определенного интеграла.
Параметрическое представление кривой интегрирования
Пусть кривая АВ задана параметрическими уравнениями х = x(t)
и у = y(t), где функции x(t) и y(t) непрерывны вместе со своими про изводными x'(t) и y'(t) на отрезке [а;,8], причем начальной точке А
кривой соответствует значение параметра t =а, а конечной точке В -
значение t = ,8. И пусть функция Р(х; у) непрерывна на кривой АВ.
Тогда, по определению,
! |
P(x;y)dx = lim |
n |
"""'P(xi;Yi)дxi. |
||
n-+oo |
L..... |
|
АВ |
(Л-+0) |
i=l |
Преобразуем интегральную сумму к переменной t. Так как
дхi = Xi - Xi-I = x(ti) - x(ti-1),
то по формуле Лагранжа (см. (25.2)) имеем: дхi = x'(ci)дti, где Ci Е
Е (ti-1;ti), Лti = ti -ti-l·
Выберем точку (xi; Vi) так, чтобы Xi = x(ci), Yi = y(ci). Тогда пре-
п
образованная интегральная сумма 2::: P(x(ci); у(е;)) · x'(ci) · дti будет
i=l
интегральной суммой для функции одной переменной Р(х(t); у(t)) ·х'(t) на промежутке [а:;µ']. Поэтому
j |
P(x;y)dx = j/3 |
P(x(t);y(t))x'(t)dt. |
(56.2) |
АВ |
а |
|
|
Аналогично получаем:
J Q(x;y)dy= j/3 |
Q(x(t);y(t))y'(t)dt. |
(56.3) |
|
АВ |
а |
|
|
Складывая почленно полученные равенства (56.2) и (56.3), полу-
чаем:
{3
j Р(х;у) dx + Q(x; у)dy = J(P(x(t); y(t) )x'(t) +Q(x(t); y(t))y'(t)) dt.
АВ |
а |
(56.4)
410
Явное представление кривой интегрирования
Если кривая АВ задана уравнением у= <р(х), х Е [а; Ь], где функ ция ср(х) и ее производная ср1 (х) непрерывны на отрезке [а; Ь], то из формулы (56.4), приняв х за параметр, имеем параметрические урав нения кривой АВ: х = х, у= ср(х), х Е [а;Ь], откуда получим:
|
|
|
ь |
|
J Р(х;у) dx +Q(x; у) dy = J[Р(х;<р(х)) +Q(x; ср(х))1t1' (х)] dx. |
(56.5) |
|||
АВ |
|
а |
|
|
В частности, |
|
|
|
|
|
|
|
ь |
|
|
j Р(х;у) dx = j Р(х; ср(х)) dx. |
(56.6) |
||
|
АВ |
|
а |
|
Если АВ - |
гладкая пространственная кривая, которая описыва |
|||
ется непрерывными на отрезке [а;,В] функциями х = x(t), у= |
y(t) и |
|||
z = z(t), то криволинейный интеграл |
|
|||
j |
Р(х;у; z) dx + Q(x; у; z)dy + R(x; у; z) dz |
|
||
АВ |
|
|
|
|
вычисляется по формуле |
|
|
|
|
j Pdx + Q dy + Rdz = |
j/3 |
[P(x(t); y(t); z(t))x'(t)+ |
|
|
АВ |
|
а |
|
|
+Q(x(t); y(t); z(t))y'(t) + R(x(t); y(t); z(t))z'(t)]dt. |
(56.7) |
|||
За.ме-ч,ание. Криволинейные интегралы I и П рода связаны соотно |
||||
шением j Pdx + Qdy = |
j |
(Pcosa + Qcos,В) dl, где а и ,В - |
углы, |
|
АВ |
|
АВ |
|
|
образованные касательной к кривой АВ в точке М(х; у) с осями Ох и
Оу соответственно.
При.мер 56.1. |
Вычислить I |
= j (х - у)2 dx + (х + у)2 dy, |
L - |
|
|
|
L |
|
|
ломаная ОАВ, где 0(0; О), А(2; О), В(4; 2). |
у |
|
||
Q Решение: Так как L = ОАВ = ОА + АВ (см. |
|
|
||
рис. 239), ТО I = ! = |
! + ! . |
|
О у=О 2 |
4 х |
L |
ОА АВ |
|
||
|
|
|
||
Уравнение отрезка ОА есть у= О, О~ х ~ 2; |
|
|
||
уравнение отрезка АВ: у = х - 2, |
х Е [2; 4]. Со- |
Рис. 239 |
|
411
гласно формуле (56.5), имеем:
|
2 |
4 |
|
|
|
l= j[(x-0) 2 +0]dx+ j[22 +(2x-2) 2 ·1)dx= |
|
|
|
|
о |
2 |
|
|
= |
х;1: + 4х1: + ~· (2х32)3 1: = i + (16 - 8) + ~(216 - 8) = |
1~6. |
8 |
|
|
Пример 56.2. Вычислить/= j y2 dx+(x2 +z)dy+(x+y+z2 )dz, |
|||
|
|
L |
|
|
L |
- отрезок прямой |
в пространстве от точки A(l; О; 2) |
до |
точки |
В(З; 1;4).
Q Решение: Составим уравнение прямой:, проходящей через точки А и
В: х 21 = l = z 22 или в параметрической форме: х = 2t + 1, у = t,
z = 2t +2. При перемещении от точки А к точке В параметр t меняется от О до 1. По формуле (56.7) находим, что
1 |
[t2 |
|
|
I = j |
• 2 + ((2t + 1)2 + 2t + 2) · 1 + (2t + 1 + t + (2t + 2)2 ) • 2] dt = |
||
о |
|
1 |
95 |
|
|
= ! |
(14t2 + 28t + 13) dt = 3. • |
о
56.З. Формула Остроградского-Грина
Связь между двойным интегралом по области D и криволиней ным интегралом по границе L этой области устанавливает формула Остроградского-Грина, которая широко применяется в математиче
ском анализе.
Пусть на плоскости Оху задана область D, ограниченная кривой,
пересекающейся с прямыми, параллельными координатным осям не
более чем в двух точках, т. е. область D - правильная.
Теорема 56.2. Если функции Р(х; у) и Q(x; у) непрерывны вместе
со своими частными производными ~~ 111 ~ в области D. то имеет
место формула
JJ(~~ - ~:)dxdy= f Pdx+Qdy, |
(56.8) |
где L - грани~В области D и интегрирЬвание вдоль кривой L произ
водится в положительном направлении (при движении вдоль кривой,
область D остается слева).
412
Формула (56.8) называется формулой Остроградского-Грина.
О Пусть у= <р1(х) - уравнение дуги АпВ, а у= <р2(х) - уравнение
дуги АтВ (см. рис. 240). Найдем сначала jj~~ dxdy. По правилу
вычисления двойного интеграла, имеем: D
дР |
ь |
rp2(x) |
дР |
у |
у= tp2(x) |
|
|
||||
jj ду |
dx dy = j dx |
j |
дуdy = |
|
|
D |
Ь а |
<р1(х) |
|
|
|
= ! dx · Р(х;у) lrp2(x) = |
|
||
|
|
|
<р1(х) |
|
ь |
а |
|
ь |
|
= j |
Р(х;<р2(х)) dx - j |
Р(х;<р1(х)) dx. |
о |
аа
Или, согласно формуле (56.6),
jj ~рdxdy = |
j Р(х;у)dx - |
j Р(х;у)dx |
D у |
АтВ |
АпВ |
в
у= tp1(x)
а ьх
Рис. 240
=
= - j |
Р(х; у) dx - j |
Р(х;у) dx = - j Р(х; у) dx. |
(56.9) |
ВтА |
АпВ |
L |
|
Аналогично доказывается, что |
|
|
|
|
jj ~~dxdy = j Q(x; у)dx. |
(56.10) |
|
|
D |
L |
|
Если из равенства (56.10) вычесть равенство (56.9), то получим |
|||
формулу (56.8). |
|
|
• |
Заме"iание. Формула (56.8) справедлива и для произвольной обла
сти, которую можно разбить на конечное число правильных областей.
Пример 56.3. С помощью формулы Остроградского-Грина вы
числить |
|
|
|
|
|
|
l= j |
Jx 2 +y2 dx+y·(xy+ln(x+Jx2 +y2))dy, |
|||
|
L |
|
|
|
|
где L - |
контур прямоугольника с вершинами А(З; 2), |
В(6; 2), С(6; 4), |
|||
D(З; 4). |
|
|
|
|
|
Q Решение: На рисунке 241 изображен контур интегрирования. По- |
|||||
скольку |
дQ = у· (У· Jx2 +у2 + 1); |
дР = |
У |
, по форму- |
|
ле (56.8) |
дх |
Jх2 + у2 |
ду |
J х2 + |
у2 |
имеем: |
|
|
|
|
413
I = JJ(y(yJxz + у2 + 1) - |
у |
)dxdy = |
|
||
D |
Jх2 + у2 |
Jх2 + у2 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
4 |
|
|
|
= JJу2dx dy = j |
dx Jу2 dy = 56. 8 |
|
|
|
|
D |
3 |
2 |
|
|
|
у |
|
|
у |
|
|
|
|
|
24 |
D |
с |
|
|
|
~~~~~~0 |
|
|
|
||
|
л: |
:в |
|
|
|
''
''
о |
3 |
6 х |
о |
х |
|
Рис. 241 |
|
|
Рис. 242 |
56.4. Условия независимости криволинейноrо интеграла 11 рода от пути интегрирования
~Пусть А(х1;У1) и В(х2;У2) - две произвольные точки односвязной области D плоскости Оху (область D называется односв.яз
ноiJ, если для любого замкнутого контура, лежащего в этой области, ограниченная им часть плоскости целиком принадлежит D (область
без «дыр»)). Точки А и В можно соединить различными линиями (на рис. 242 это L 1 , L 2 и L3 ). По каждой из этих кривых интеграл
I = j Р(х; у) dx + Q(x; у) dy
АВ
имеет, вообще говоря, свое значение.
Если же его значения по всевозможным кривым АВ одинаковы, то говорят, что интеграл I не зависит от вида пути интегрирования. В
этом случае для интеграла I достаточно отметить лишь его начальную
точку А(х1; У1) и его конечную точку В(х2; У2) пути. Записывают:
(х2;у2) |
|
|
I = j |
Р(х; у) dx + Q(x; у) dy. |
(56.11) |
(х1;у1)
Каковы же условия, при которых криволинейный интеграл П рода
не зависел от вида пути интегрирования?
414
Теорема 56.3. Для того чтобы криволинейный интеграл
I = f Pdx+Qdy
L
не зависел от пути интегрирования в односвязной области D, в кото
рой функции Р(х; у), Q(x; у) непрерывны вместе со своими частными
производными, необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке этой области выполнялось условие
дР |
дQ |
(56.12) |
|
ду - |
ах· |
||
|
Q Докажем достаточность условия (56.12). Рассмотрим произвольный
замкнутый контур АтВпА (или L) в области D (см. рис. 243). Для
него имеет место формула Остроградского-Грина (56.8). В силу усло
вия (56.12) имеем:
f Рdx + Q dy = О, или |
f Рdx + Q dy = О. |
L |
AmBnA |
Учитывая свойства криволинейного ин
теграла, имеем:
|
f |
Pdx+Qdy= |
|
AmBnA |
|
||
= |
J |
Рdx + Q dy + J Рdx + Q dy = |
|
|
AmB |
BnA |
Рис. 243 |
|
J Pdx+Qdy- J Pdx+Qdy =О, |
||
AmB |
AnB |
|
|
т. е. |
|
J Рdx + Q dy = |
J Рdx + Q dy. |
|
|
||
|
|
AmB |
AnB |
|
Полученное равенство означает, что криволинейный интеграл не |
||
зависит от пути интегрирования. |
• |
liJ В ходе доказательства теоремы получено, что если выполняется
условие ~f; = ~, то интеграл по замкнутому контуру равен ну
лю: |
f Pdx + Qdy = О. |
|
L
Верно и обратное утверждение.
415
Следствие 56.1. Если выполнено условие (56.12), то подынтеграль ное выражение Р(х; y)dx + Q(x; y)dy является полным дифференци алом некоторой функции и= и(х;у) (см. (44.5)), т. е.
|
|
|
Р(х; у) dx + Q(x; у) dy = dU(x;y). |
(56.13) |
|
Тогда (см. (56.11)): |
|
|
|||
|
(х2;у2) |
|
(х2;у2) |
|
|
I= |
J |
Р(х;у) dx + Q(x; у) dy = |
J dU(x; у) = |
|
|
|
(х1;у1) |
|
(х1;у1) |
|
|
|
|
|
= И(х;у)l(x2;y2) = И(х2;У2) - U(x1;y1), |
||
|
|
|
(х1;у1) |
|
|
т. е. |
(х2;у2) |
|
|
|
|
|
J |
Р(х; у) dx + Q(x; у) dy = U(x2;y2) - И(х1; У1) |
(56.14) |
(х1;у1)
Формула (56.14) называется обобщенной формулой Ньютона
Лейбница для криволинейного интеграла от полного дифференциала.
Следствие 56.2. Если подынтегральное выражение Pdx + Qdy есть полный дифференциал и путь интегрирования L замкнутый, то
f Рdx + Q dy = О.
L
Заме-ч,аии.я.
1.Чтобы не спутать переменную интегрирования х с верхним пре делом х, переменную интегрирования обозначают другой буквой (на
пример, t, ~'и т.д.).
2.Функцию И= U(x; у), удовлетворяющую условию (56.12), можно
найти, используя формулу
х |
|
у |
|
И(х; у) = JР(х;Уа) dx + j |
Q(x; ~) d~ +С. |
(56.15) |
|
хо |
Уо |
|
|
В качестве начальной точки (хо; Уо) обычно берут точку (О; О) - |
начало |
||
координат (см. пример 56.5). |
|
|
|
3. Аналогичные результаты справедливы для криволинейного ин
теграла
j Рdx + Q dy + R dz
L
416
по пространственной кривой. Условие (56.12), равенство (56.13), фор мулы (56.14) и (56.15) имеют соответственно вид:
|
дР |
- |
дQ |
' |
дQ дR дR дР |
|
|
ду |
дх |
' - = - ; |
|||
|
|
|
дz ду дх дz |
|||
|
Pdx+Qdy+Rdz =dU(x;y;z), |
|||||
(ж2;у2;z2) |
|
|
|
|
|
|
J |
Рdx + Q dy + Rdz = И(х2; У2; z2) - |
И(х1; у1;z1), |
||||
|
ж |
|
|
|
у |
z |
U(x;y;z) = JP(x;yo;zo)dx+ JQ(x;{;zo)~+ |
JR(x;y;()d(+C |
|||||
|
жо |
|
|
|
Уо |
ZQ |
(см. пример 73.1). |
|
|
|
|
|
(1;1)
Пример 56.4. Найти 1 = J ydx + xdy.
(О;О)
Q Решение: Здесь Р =у, Q = х, ~; = ~ = 1. Согласно вышепри
веденной теореме, интеграл не зависит от пути интегрирования. В ка
честве пути интегрирования можно взять отрезок прямой у = х, дугу
параболы у= х2 и т. д. или воспользоваться формулой (56.14). Так как ydx + xdy = d(xy), то
(1;1) |
(1;1) |
|
1= J d(x·y)=xyl |
=1-0=1. |
8 |
(О;О) |
(О;О) |
|
|
|
|
Пример 56.5. Убедиться, что выражение е-У dx - |
(2у +хе-У) dy |
представляет собой полный дифференциал некоторой функции И(х; у)
и найти ее.
Q Решение: Для того чтобы указанное выражение являлось полным
дифференциалом, необходимо выполнение условий (56.12):
д |
д |
= -е-У |
-(е-У) = -е-У; -(-(2у+хе-У)) |
||
ду |
дх |
|
-условия выполнены, следовательно, е-Уdx - (2у +xe-Y)dy = dU (х; у).
Атак как полный дифференциал имеет вид
|
д |
д |
|
dU(x;y) = дхИ(х;у)dх+ дуИ(х;у)dу |
|
||
(см. п. 44.3), то верны соотношения |
|
|
|
д |
д |
-(2у +хе-У). |
(56.16) |
дх И(х; у)= е-У; |
ду И(х; у) = |
417
Интегрируем по х первое из уравнений, считая у постоянным, при этом
вместо постоянной интегрирования следует поставить tp(y) - неизвест
ную функцию, зависящую только от у:
U(x; у) = J е-У dx =хе-У+ rp(y).
Подставляя полученное выражение во второе из уравнений (56.16), най
дем tp(y):
д |
|
|
|
-(хе-у+ ср(у)) =-хе-У+ ср1 (у) = -(2у +хе-У); |
|
||
ду |
|
|
|
tp1(y) = -2у, |
rp(y) = -у2 +с. |
• |
|
Таким образом, U(x; у) =хе-У - |
у2 +с. |
||
|
Отметим, что функцию И проще найти, используя формулу (56.15):
ху
U(x;y) = J e-0 dx+ J<-Ц+xe-f.)df.+C=
оо = х -у2 +хе-у - х +С= хе-у -у2 +С.
56.5.Некоторые приложения криволинейного интеграла 11 рода
Площадь плоской фигуры
Площадь S плоской фигуры, расположенной в плоскости Оху и ограниченной замкнутой линией L, можно найти по формуле
S = ~ f хdy - уdx, |
(56.17) |
L |
|
при этом кривая L обходится против часовой стрелки.
О Действительно, положив в формуле Остроградского-Грина (56.8)
Р(х;у) =О, Q(x;y) = х, получим:
jj(I - O)dxdy = f О· dx +xdy,
D |
L |
|
или |
|
|
S= f xdy. |
(56.18) |
|
|
L |
|
Аналогично, полагая Р = |
-у, Q = О, найдем еще одну формулу |
для вычисления площади фигуры с помощью криволинейного инте
грала: |
f ydx. |
(56.19) |
S = - |
L
418
Сложив почленно равенства (56.18) и (56.19) и разделив на два,
получим: |
• |
L |
|
S = ~ f xdy-ydx. |
|
Формула (56.17) используется чаще, чем формулы (56.18) и (56.19).
Работа переменной силы
Переменная сила F(P(x; у); Q(x; у)) на криволинейном участке АВ
производит работу, которая находится по формуле |
|
А= f Рdx + Q dy. |
(56.20) |
АВ
Q Действительно, пусть материальная точка (х; у) под действием пе ременной силы F перемещается в плоскости Оху по некоторой кривой
АВ (от точки А до точки В).
Разобьем кривую |
АВ точками |
|
|
|
Мо = А,М1,М2, ... ,Мп =В на п «эле |
у |
|
|
|
ментарных» дуг Mi-1Mi длины дli и |
|
|
|
|
в каждой из них возьмем произвольную |
|
|
|
|
точку Ci(xi;Yi), i |
1;2;".;п (см. |
|
|
|
рис. 244). Заменим |
каждую дугу |
|
|
|
Mi-1Mi вектором Mi-1Mi=(дxi; дуi), |
|
|
|
|
а силу F будем считать постоянной на |
|
|
|
|
векторе перемещения Mi-1Mi и равной |
О |
хн х; х; |
х |
|
заданной силе в точке Ci дуги Mi-1Mi: |
|
Рис. 244 |
|
|
Fi = (P(xi;Yi);Q(xi;Yi)). |
|
|
|
|
Тогда скалярное произведение Fi · Mi-tMi можно рассматривать как приближенное значение работы Fi вдоль дуги Mi-1Mi:
Ai ~ Fi · мi-1Mi = P(xi; fii) ·дхi + Q(xi; Yi) · дуi.
Приближенное значение работы А силы F на всей кривой составит
величину |
п |
п |
п |
|
А = L Ai ~ L P(xi; Yi) · дхi + L Q(xi; Yi) · дуi. |
||
|
i=l |
i=l |
i=l |
За точное значение работы А примем предел полученной суммы при
Л = |
max |
дli ---+ О (тогда, очевидно, дхi ---+О и дуi ---+ О): |
|
|
|
1::;;i::;;n |
|
J P(x;y)dx+Q(x;y)dy. |
|
|
|
п |
||
А= |
lim |
""'P(xi;Yi)·дxi+Q(xi;Yi)·дyi= |
||
|
л~о |
L..J |
|
8 |
|
(п~оо) i=l |
АВ |
|
За.ме.,,ание. В случае пространственной кривой АВ имеем:
А= J Р(х; у; z) dx + Q(x; у; z) dy + R(x; у; z) dz.
АВ
419